新教材高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)12蝗制及其與角度制的換算課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)含解析新人教B版必修

04/505/5/弧度制及其與角度制的換算(15分鐘30分)1.5弧度的角的終邊所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因?yàn)镼UOTEπ<5<2π所以5弧度的角的終邊在第四象限.2.下列各式不正確的是()A.45°=QUOTE B.60°=QUOTEC.-210°=-QUOTE D.725°=QUOTE【解析】選D.由題意,根據(jù)角度制與弧度制的互化公式,可得45°=QUOTE,60°=QUOTE,-210°=-QUOTE是正確的,而725°=4π+QUOTE,所以D是不正確的.3.(2020·莆田高一檢測)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,卷一《方田》中有如下兩個(gè)問題:[三三]今有宛田,下周三十步,徑十六步.問為田幾何?[三四]又有宛田,下周九十九步,徑五十一步.問為田幾何?翻譯為:[三三]現(xiàn)有扇形田,弧長30步,直徑長16步.問這塊田面積是多少?[三四]又有一扇形田,弧長99步,直徑長51步.問這塊田面積是多少?則下列說法正確的是()A.問題[三三]中扇形的面積為240平方步B.問題[三四]中扇形的面積為QUOTE平方步C.問題[三三]中扇形的面積為60平方步D.問題[三四]中扇形的面積為QUOTE平方步【解析】選B.依題意,問題[三三]中扇形的面積為QUOTElr=QUOTE×30×QUOTE=120(平方步),問題[三四]中扇形的面積為QUOTElr=QUOTE×99×QUOTE=QUOTE(平方步).4.如果一扇形的圓心角為60°,半徑等于3cm,則該扇形的弧長為cm,面積為cm2.?【解析】圓心角為60°,即等于QUOTE,由弧長公式可得l=αr=QUOTE×3=π,由扇形面積公式可得S=QUOTElr=QUOTE×π×3=QUOTE.答案:πQUOTEπ5.已知角α=-920°.(1)把角α寫成2kπ+β(0≤β<2π,k∈Z)的形式,并確定角α所在的象限;(2)若角γ與α的終邊相同,且γ∈(-4π,-3π),求角γ.【解析】(1)因?yàn)?920°=-3×360°+160°,160°=QUOTE,所以α=-920°=-3×2π+QUOTE.因?yàn)榻铅僚cQUOTE終邊相同,所以角α是第二象限角.(2)因?yàn)榻铅门cα的終邊相同,所以設(shè)γ=2kπ+QUOTE(k∈Z).因?yàn)棣谩?-4π,-3π),由-4π<2kπ+QUOTE<-3π,可得-QUOTE<k<-QUOTE.又因?yàn)閗∈Z,所以k=-2.所以γ=-4π+QUOTE=-QUOTE.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分.多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.一場考試需要2小時(shí),在這場考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí),轉(zhuǎn)過的角度為2π,按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,所以經(jīng)過2小時(shí),時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為-QUOTE×2π=-QUOTEπ.2.將-1485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是()A.-QUOTE-8π B.QUOTEπ-8πC.QUOTE-10π D.QUOTEπ-10π【解析】D.-D.-1485°=-5×360°+315°,化為α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式為QUOTE-10π.3.如圖,2弧度的圓心角所對的弦長為2,這個(gè)圓心角所對應(yīng)的扇形面積是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.tan1【解析】選B.在三角形AOB中,QUOTE=sin1,則r=QUOTE,扇形的面積S=QUOTEαr2=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知扇形△AOB的周長為4,當(dāng)扇形的面積取得最大值時(shí),扇形的弦長AB等于.?【解析】設(shè)扇形的半徑為r,可得出扇形的弧長為l=4-2r(0<r<2),所以扇形的面積為S=QUOTElr=QUOTEr(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1,當(dāng)r=1時(shí),該扇形的面積取到最大值1,扇形的弧長為l=4-2r=2,此時(shí)∠AOB=QUOTE=2,如圖所示,取AB的中點(diǎn)C,連接OC,則OC⊥AB,且∠AOC=1,因此AB=2AC=2rsin1=2sin1.答案:2sin14.(多選題)下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是()A.67°30′化成弧度是QUOTEB.-QUOTE化成角度是-600°C.-150°化成弧度是QUOTED.QUOTE化成角度是5°【解析】選AB.對于A,67°30′=67.5°×QUOTE=QUOTE,正確;對于B,-QUOTE=-QUOTE×QUOTE=-600°,正確;對于C,-150°=-150°×QUOTE=-QUOTE,錯(cuò)誤;對于D,QUOTE=QUOTE×QUOTE=15°,錯(cuò)誤.【光速解題】C選項(xiàng)角度為負(fù)值而化為弧度時(shí)成了正值,故錯(cuò)誤,其次D選項(xiàng)形式較為簡單,易驗(yàn)證錯(cuò)誤,從而得到正確答案.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},則A∩B=.?【解析】如圖所示,所以A∩B=[-4,-π]∪[0,π].答案:[-4,-π]∪[0,π]6.(2020·南京高一檢測)分別以邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B,C為圓心,1為半徑作圓弧AC,BD交于點(diǎn)E,則△BCE的周長為,曲邊三角形ABE的周長為.?【解析】因?yàn)閮蓤A半徑都是1,正方形邊長也是1,所以△BCE為正三角形,所以△BCE的周長為3.圓心角∠EBC,∠ECB都是QUOTE,QUOTE=QUOTE×1=QUOTE,∠EBA=QUOTE-QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE×1=QUOTE,所以曲邊三角形ABE的周長是1+QUOTE+QUOTE=1+QUOTE.答案:31+QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,已知一長為QUOTEdm,寬為1dm的長方體木塊在桌面上做無滑動(dòng)地翻滾,翻滾到第四次時(shí)被一小木板擋住,使木塊底面與桌面成30°的角.則點(diǎn)A走過的路徑長及走過的弧所在扇形的總面積分別為.?【解析】QUOTE所在的圓半徑是2dm,圓心角為QUOTE;QUOTE所在的圓半徑是1dm,圓心角為QUOTE;QUOTE所在的圓半徑是QUOTEdm,圓心角為QUOTE,所以點(diǎn)A走過的路徑長是三段圓弧之和,即2×QUOTE+1×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE(dm).三段圓弧所在扇形的總面積是QUOTE×π×2+QUOTE×QUOTE×1+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE(dm2).答案:QUOTEdm,QUOTEdm2三、解答題7.(10分)已知一扇形的圓心角是α,所在圓的半徑是R.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧長及該弧長所在的弓形面積;(2)若扇形的周長是30cm,當(dāng)α為多少弧度時(shí),該扇形有最大面積?【解析】(1)設(shè)弧長為l,弓形面積為S弓,因?yàn)棣?60°=QUOTE,R=10cm,所以弧長l=αR=QUOTE(cm).S弓=S扇-S△=QUOTE×QUOTE×10-2×QUOTE×10×sinQUOTE×10×cosQUOTE=50QUOTE(cm2).(2)由l+2R=30,所以l=30-2R(0<R<15),從而S=QUOTE·l·R=QUOTE(30-2R)·R=-R2+15R=-QUOTE+QUOTE.所以當(dāng)半徑R=QUOTEcm時(shí),l=30-2×QUOTE=15(cm),扇形面積的最大值是QUOTEcm2,這時(shí)α=QUOTE=2rad.所以當(dāng)扇形的圓心角為2rad,半徑為QUOTEcm時(shí),面積最大,為QUOTEcm2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.如圖,以正方形ABCD中的點(diǎn)A為圓心,邊長AB為半徑作扇形EAB,若圖中兩塊陰影部分的面積相等,則∠EAD的弧度數(shù)大小為.?【思路導(dǎo)引】先根據(jù)兩塊陰影部分的面積相等列方程再解方程求∠EAD的弧度數(shù).【解析】設(shè)AB=1,∠EAD=α,因?yàn)镾扇形ADE=S陰影BCD,由題意可得QUOTE×12×α=12-QUOTE,所以α=2-QUOTE.答案:2-QUOTE2.如圖,C為半圓內(nèi)一點(diǎn),O為圓心,直徑AB長為2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,將△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′,點(diǎn)C′在OA上,則邊BC掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為cm2.?【解析】由題意可知OB=OA=1,OC=OC′=QUOTE?BC=B′C′=QUOTE,∠B′OC=∠B′OC′=60°,扇形AOB′的面積為QUOTEπ,Rt△C′OB′的面積為QUOTE,