新教材高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念與性質(zhì)階段小卷（七）-4（含解析）新人教A版必修

06/605/6/階段小卷(七)[時間：40分鐘滿分：100分]一、選擇題(本大題共7個小題，每小題5分，共35分)1．給出下列說法：①冪函數(shù)的圖象均過點(1，1)；②冪函數(shù)的圖象均在兩個象限內(nèi)出現(xiàn)；③冪函數(shù)在第四象限內(nèi)可以有圖象；④任意兩個冪函數(shù)的圖象最多有兩個交點．其中說法正確的有(A)A．1個B．2個C．3個D．4個【解析】根據(jù)冪函數(shù)圖象的特征可知①正確，②③④錯誤．2．一列貨運火車從某站出發(fā)，勻加速行駛一段時間后開始勻速行駛，過了一段時間，火車到達下一站停車，裝完貨以后，火車又勻加速行駛，一段時間后再次勻速行駛，下列圖象可以近似地刻畫出這列火車的速度變化情況的是(B)【解析】根據(jù)題意，知這列火車從靜止開始勻加速行駛，所以排除A，D；然后勻速行駛一段時間后又停止了一段時間，排除C.故選B.3．設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))eq\s\up12(－2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(－2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－2)，則a，b，c的大小關(guān)系是(A)A．a(chǎn)>b>cB．c>a>bC．a(chǎn)<b<cD．b>c>a【解析】∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))eq\s\up12(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(－2)，函數(shù)y＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且eq\f(1,6)<eq\f(2,5)<eq\f(3,4)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(－2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(－2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－2)，即a>b>c.故選A.4．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2－4m＋3是冪函數(shù)，且其圖象與y軸沒有交點，則實數(shù)m等于(D)A．2或－1B．－1C．4D．2【解析】因為函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，所以m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1，又因為函數(shù)f(x)的圖象與y軸沒有交點，所以m2－4m＋3<0，代入檢驗知m＝2.5．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米，按每立方米m元收費；用水量超過10立方米，超過部分按每立方米2m元收費．某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水量為(A)A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米【解析】該單位職工每月應(yīng)繳水費y(元)與實際用水量x(立方米)滿足的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x>10，令2mx－10m＝16m，解得x＝13.6．根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c為常數(shù)).已知該工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是(D)A．75，25B．75，16C．60，25D．60，16【解析】因為組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，所以eq\f(c,\r(A))＝15①，所以必有4<A，且eq\f(c,\r(4))＝eq\f(c,2)＝30②，聯(lián)立①②解得c＝60，A＝16.7．eq\a\vs4\al(【多選題】)已知函數(shù)f(x)＝xα圖象經(jīng)過點(4，2)，則下列命題正確的是(ACD)A．函數(shù)為增函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若x＞1，則f(x)＞1D．若0＜x1＜x2，則eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))【解析】將點(4，2)代入函數(shù)f(x)＝xα得2＝4α，則α＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\r(x)，顯然f(x)在定義域[0，＋∞)上為增函數(shù)，所以A項正確；因為f(x)的定義域為[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B項不正確；當(dāng)x＞1時，eq\r(x)＞1，即f(x)＞1，所以C項正確；當(dāng)0＜x1＜x2時，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x1）＋f（x2）,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x1)＋\r(x2),2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(x1＋x2,2))))eq\s\up12(2)＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2\r(x1x2)－x1－x2,4)＝－eq\f(（\r(x1)－\r(x2)）2,4)＜0.即eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，所以D項正確．二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分)8．冪函數(shù)y＝x－1在[－4，－2]上的最小值為__－eq\f(1,2)__．【解析】∵y＝x－1在[－4，－2]上單調(diào)遞減，∴x＝－2時，ymin＝(－2)－1＝－eq\f(1,2).9．若冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm2－2m－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則m＝__－1__．【解析】由冪函數(shù)的定義可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，當(dāng)m＝－1時，y＝x2，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)m＝2時，y＝x－1，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意，所以m＝－1.10．甲、乙兩人在一次百米賽跑中，路程與時間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象回答：(1)甲、乙兩人中先到達終點的是__甲__；(2)乙在這次賽跑中的速度為__8__m/s.【解析】(1)由于甲到達終點用了12s，乙到達終點用了12.5s，故甲先到達終點．(2)總路程為100m，而乙所用的時間為12.5s，故乙在這次賽跑中的速度為eq\f(100,12.5)＝8m/s.11．某商品的單價為5000元，若一次性購買超過5件，但不超過10件時，每件優(yōu)惠500元；若一次性購買超過10件，則每件優(yōu)惠800元．某單位需要購買x(x∈N*，x≤15)件該商品．設(shè)購買總費用是f(x)元，則f(x)的解析式是__f(x)＝____eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5000x，x∈{1，2，3，4，5}，,4500x，x∈{6，7，8，9，10}，,4200x，x∈{11，12，13，14，15}))__．【解析】當(dāng)x≤5，x∈N*時，f(x)＝5000x；當(dāng)5<x≤10，x∈N*時，f(x)＝(5000－500)x＝4500x；當(dāng)10<x≤15，x∈N*時，f(x)＝(5000－800)x＝4200x.所以f(x)的解析式是f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5000x，x∈{1，2，3，4，5}，,4500x，x∈{6，7，8，9，10}，,4200x，x∈{11，12，13，14，15}．))12．某水池有2個進水口，1個出水口，每個進水口進水量與時間的關(guān)系如圖甲所示，出水口出水量與時間的關(guān)系如圖乙所示．某天0時到6時，該水池的蓄水量與時間的關(guān)系如圖丙所示．(至少打開一個水口)給出以下3個判斷：①0時到3時只進水不出水；②3時到4時不進水只出水；③4時到6時不進水不出水．則上述判斷中一定正確的序號是__①__．【解析】設(shè)進水量為y1，出水量為y2，時間為t，由圖象知y1＝t，y2＝2t.由圖丙知，從0～3時蓄水量由0變?yōu)?，說明0～3時兩個進水口均打開進水且不出水，故①正確；3～4時蓄水量隨時間增加而減少且每小時減少一個單位，若3～4時不進水只出水，應(yīng)每小時減少兩個單位，故②不正確；4～6時為水平線說明水量不發(fā)生變化，因為至少打開一個水口，所以是所有水口都打開，進出均衡，故③不正確．三、解答題(本大題共3個小題，共40分)13．(12分)小劉周末自駕游，早上8時從家出發(fā)，駕車3小時到達景區(qū)停車場，其間小劉的車所走的路程s(單位：km)與離家的時間t(單位：h)的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝－5t(t－13).由于景區(qū)內(nèi)不能駕車，小劉把車停在景區(qū)停車場，在景區(qū)玩到16時，小劉駕車從停車場以60km/h的速度沿原路回家．(1)求這天小劉的車所走路程s(單位：km)與離家時間t(單位：h)的函數(shù)解析式；(2)在距離小劉家60km處有一加油站，求這天小劉的車途經(jīng)該加油站的時間．解：(1)依題意得，當(dāng)0≤t≤3時，s(t)＝－5t(t－13)，所以s(3)＝－5×3×(3－13)＝150，即小劉家距景點150km.因為小劉的車在景點停留時間為16－8－3＝5(h).所以當(dāng)3<t≤8時，s(t)＝150.小劉從景區(qū)回家所花時間為eq\f(150,60)＝2.5(h).所以當(dāng)8<t≤10.5時，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.故s(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5t（t－13），0≤t≤3，,150，3<t≤8，,60t－330，8<t≤10.5.))(2)當(dāng)0≤t≤3時，令－5t(t－13)＝60，得t2－13t＋12＝0，解得t＝1或t＝12(舍去).當(dāng)t＝1時，時間為9時．當(dāng)8<t≤10.5時，令60t－330＝240，解得t＝eq\f(19,2)，此時時間為17時30分．答：小劉這天途經(jīng)該加油站的時間分別為9時和17時30分．14．(14分)某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2.(注：利潤和投資單位：萬元)(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配這18萬元資金，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？解：(1)根據(jù)題意可設(shè)f(x)＝k1x(k1≠0)，g(x)＝k2eq\r(x)(k2≠0)，由題圖數(shù)據(jù)可知，f(x)＝eq\f(1,4)x(x≥0)，g(x)＝2eq\r(x)(x≥0).(2)設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，則A產(chǎn)品投入(18－x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤為y萬元．則y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18，令eq\r(x)＝t，t∈[0，3eq\r(2)]，則y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2)，所以當(dāng)t＝4時，ymax＝eq\f(17,2)＝8.5，此時x＝16，18－x＝2，所以當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤，約為8.5萬元．15．(14分)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2的拋物線一部分表示．(1)寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P＝f(t)；寫出圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t)；(2)若記市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？(注：市場售價和種植成本的單位：元/100kg，時間單位：天)解：(1)由題圖1可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為P＝f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t＋300，0≤t≤200，,2t－300，200<t≤300.))由題圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為