構(gòu)造平行線法-教學設計教案

一．構(gòu)造平行線法1．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，DF交AC于點E，交BC的延長線于點F，求證：AE·CF＝BF·EC.(第1題)2．如圖，已知△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于點F，試證明：AB·DF＝BC·EF.(第2題)構(gòu)造相似三角形法3．如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上任意一點，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點M，N.求證：BP·CP＝BM·CN.(第3題)三點定型法4．如圖，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°.求證：AD·AB＝AE·AC.(第4題)等比過渡法5．如圖，CE是Rt△ABC斜邊上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，作BG⊥AP于點G，交CE于點D.求證：CE2＝DE·PE.(第5題)解碼專訓二：利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關系名師點金：判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關系是幾何中的基本題型之一．由角的關系推出“平行或垂直”是判斷位置關系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關系的常用方法．證明兩線段的數(shù)量關系1．如圖，已知在△ABC中，DE∥BC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于點M，與DE交于點N.求證：BM＝MC.(第1題)證明兩線段的位置關系類型1證明兩線段平行2．如圖，已知點D為等腰直角三角形ABC的斜邊AB上一點，連接CD，DE⊥CD，DE＝CD，連接CE，AE.求證：AE∥BC.(第2題)類型2證明兩線段垂直3．如圖，在△ABC中，D是AB上一點，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求證：CD⊥AB.(第3題)4．如圖，已知矩形ABCD，AD＝eq\f(1,3)AB，點E，F(xiàn)把AB三等分，DF交AC于點G，求證：EG⊥DF.(第4題)解碼專訓三：巧作平行線構(gòu)造相似三角形的技巧名師點金：解有關相似三角形題目時，常常遇到要證(或求)的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形時，我們通常可以作平行線構(gòu)造出相似三角形，從而使問題得以解決．巧連線段的中點構(gòu)造相似三角形1．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF于點P，Q，求BP∶PQ∶QD.(第1題)過頂點作平行線構(gòu)造相似三角形2．如圖，在△ABC中，AC＝BC，F(xiàn)為底邊AB上一點，BF∶AF＝3∶2，取CF的中點D，連接AD并延長交BC于點E，求eq\f(BE,EC)的值．(第2題)3．如圖，過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E.求證：AE∶ED＝2AF∶FB.(第3題)過一邊上的點作平行線構(gòu)造相似三角形4．如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長線交于點P.求證：eq\f(BP,CP)＝eq\f(BD,EC).(第4題)解碼專訓四：相似與函數(shù)綜合的常見類型名師點金：圖形的相似是初中幾何的重要內(nèi)容，中考中常與其他內(nèi)容綜合考查，例如與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等結(jié)合，作為動態(tài)性問題或存在性問題出現(xiàn)．相似與一次函數(shù)的綜合1．如圖，已知直線AB的表達式為y＝－eq\f(3,4)x＋30，直線AB與x軸，y軸分別交于A，B.動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個單位長度的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動(即EF∥x軸)，并且分別與y軸、線段AB交于點E、F，連接EP、FP.設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．(第1題)(1)求t＝15時，△PEF的面積；(2)直線EF和點P在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160？若存在．請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．(3)當t為何值時，△EOP與△BOA相似．相似與反比例函數(shù)的綜合2．已知點A、B分別在反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)(x＞0)，y＝eq\f(－8,x)(x＞0)的圖象上，且OA⊥OB，則eq\f(OB,OA)的值為()(第2題)A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．33．(2022·赤峰)如圖，直線y＝－2x＋4與坐標軸分別交于C、B兩點，過點C作CD⊥x軸，點P是x軸下方直線CD上的一點，且△OCP與△OBC相似，求過點P的雙曲線表達式．(第3題)相似與二次函數(shù)的綜合4．(2022·黔南州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝－eq\f(1,6)x2＋bx＋c過點A(0，4)和C(8，0)，P(t,0)是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段PM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB，過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點A作y軸的垂線，兩直線交于點D.(1)求b、c的值；(第4題)(2)當t為何值時，點D落在拋物線上；(3)是否存在t，使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．5．(2022·甘孜州)如圖，已知拋物線y＝ax2－5ax＋2(a≠0)與y軸交于點C，與x軸交于點A(1，0)和點B.(1)求拋物線的表達式；(2)求直線BC的表達式；(3)若點N是拋物線上的動點，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點的三角形是否能夠與△OBC相似(排除全等的情況)？若能，請求出所有符合條件的點N的坐標；若不能，請說明理由．解碼專訓五：圖形的相似中五種熱門考點名師點金：相似是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是中考重點考查內(nèi)容之一，而針對成比例線段、相似三角形的判定與性質(zhì)、位似圖形等都是命題的熱點．比例線段及性質(zhì)1．下列各組長度的線段，成比例線段的是()A．2cm，4cm，4cm，8cmB．2cm，4cm，6cm，8cmC．1cm，2cm，3cm，4cmD．2.1cm，3.1cm，4.3cm，5.2cm2．若eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4)＝eq\f(d,7)≠0，則eq\f(a＋b＋c＋d,c)＝________.3．如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A、B固定在樂器板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，則支撐點C到端點A的距離約為________(eq\r(5)≈2.236，結(jié)果精確到0.01cm)．(第3題)平行線分線段成比例4．如圖，若AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論中，與eq\f(AD,AF)相等的是()A.eq\f(AB,EF)B.eq\f(CD,EF)C.eq\f(BO,OE)D.eq\f(BC,BE)(第4題)(第5題)5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC為邊向三角形外作正方形ACDE，連接BE交AC于F，若BF＝eq\r(3)cm，則EF＝________.6．如圖，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．(第6題)相似三角形的性質(zhì)與判定7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為3∶4，則△ABC與△DEF的面積之比為()A．4∶3B．3∶4C．16∶9D．9∶16(第8題)8．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，且AE∶ED＝3∶1，CE的延長線與BA的延長線交于點F，則S△AEF∶S四邊形ABCE為()A．3∶4B．4∶3C．7∶9D．9∶79．若兩個相似多邊形的面積之比為1∶4，周長之差為6，則這兩個相似多邊形的周長分別是________．10．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.(1)求證：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的長．(第10題)11．如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，點F是BC的延長線上一點，且CE＝CF，BE的延長線交DF于點M.(1)求證：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的邊長為2，求ME·MB.(第11題)相似三角形的應12．一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈的高度．如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立時身高AM與影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1.25m，已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高度CD(結(jié)果精確到0.1m)．(第12題)13．某高中學校為高一新生設計的學生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm.為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF的長應為多少？(材質(zhì)及其厚度等忽略不計)(第13題)圖形的位似(第14題)14．如圖，已知正方形