立體表面交線的投影

立體表面交線的投影第一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日在實(shí)際生產(chǎn)、生活中，常?？吹皆S多零件是由常見(jiàn)基本體被平面截切而成的；或是由常見(jiàn)基本體相貫而成的。第二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日

截交線是立體表面與截平面的共有點(diǎn)的連線

切割體：當(dāng)基本體與平面相交時(shí),被平面截切后而形成的立體。截平面：用來(lái)截切基本體的平面。截交線：截平面與基本體表面的交線。切割體截交線一、切割體及截交線的概念§5-1平面立體截切的投影第三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日1、平面立體截切的基本形式平面立體的截交線是一個(gè)由直線組成的平面封閉多邊形，其形狀取決于平面立體的形狀及截平面在平面立體上的截切位置。截交線的每條邊都是截平面與棱面的交線(共有性)。多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)是截平面與平面立體的棱線或底邊的交點(diǎn)。截交線的性質(zhì)：求截交線的實(shí)質(zhì)：是求兩平面的交線二、平面切割體的投影第四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日2、正六棱柱被截切后的投影作圖方法:1)求棱線與截平面的共有點(diǎn)2)連線

3)根據(jù)可見(jiàn)性處理輪廓線1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?第五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日3、正四棱錐被截切后的投影321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空間分析3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影第七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。121(2)Ⅰ、Ⅱ兩點(diǎn)分別同時(shí)位于三個(gè)面上。三面共點(diǎn)：2●1●注意：

要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。第九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例2：求三棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。6′2′(5′)1′3′4′1234561″2″3″4″6″(5″)123456第十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日ⅡⅠBB1AA1YHYW第十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日3’4’7’8’例3.求正四棱柱被截切后的V、H投影。

1”(2”)3”(4”)5”(6”)7”(8”)9”1’2’5’6’9’12569’(7)(8)3’4’第十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例4.求正三棱錐被截切后的V、H投影。

第十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例5:求九棱柱被正垂面截切后的俯視圖。1″

2″

3″4″5″6″7″8″9″1′(9′)

2′(8′)5′3′(4′6′

7′)123456789第十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日用截交線的類似性檢查第十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截平面截平面截交線截交線§5-2回轉(zhuǎn)體截切的投影第十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。截交線都是封閉的平面曲線。

(特殊情況為平面折線)第二十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日2、求截交線的一般步驟⑴空間及投影分析

①確定截交線的形狀②明確截交線的投影特性(積聚性、類似性等)

⑵畫截交線的投影:當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，作圖步驟為：☆順次光滑地連接各點(diǎn)，并判斷可見(jiàn)性。☆先取特殊點(diǎn)，后取中間點(diǎn)。分析截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置明確回轉(zhuǎn)體的形狀關(guān)鍵在分析截平面與投影面的相對(duì)位置

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1234第二十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日截交線的求法

方法：第二十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置。垂直圓橢圓平行兩平行直線傾斜PVPPVPPVP二、圓柱體的截切第二十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日垂直圓橢圓平行兩平行直線傾斜圓柱體的切割第二十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例1、如圖所示，圓柱被正垂面截切，求出截交線的另外兩個(gè)投影。平面與圓柱相交由于平面與圓柱的軸線斜交，因此截交線為一橢圓。截交線的正面投影重影為一直線，水平投影與圓柱面的投影重影為圓。側(cè)面投影可根據(jù)圓柱表面取點(diǎn)的方法求出。具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點(diǎn)。（2）再作出適當(dāng)數(shù)量的一般點(diǎn)。（3）將這些點(diǎn)的投影依次光滑的連接起來(lái)。1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）補(bǔ)全側(cè)面投影中的轉(zhuǎn)向輪廓線。8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧ第二十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日比較不同角度的正垂面截交圓柱所得的截交線的投影。平面與圓柱相交﹥45°﹤45°=45°第二十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例2、補(bǔ)畫被挖切后立體的投影。平面與圓柱相交分析：該立體是在圓柱筒的上部開(kāi)出一個(gè)方槽后形成的。構(gòu)成方槽的平面為垂直于軸線的水平P和兩個(gè)平行于軸線的側(cè)平面Q。它們與圓柱體和孔的表面都有交線，平面P與圓柱的交線為圓弧，平面Q與圓柱的交線為直線，平面Ｐ和Q彼此相交于直線段。第二十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日（1）先作出完整基本形體的三面投影圖。平面與圓柱相交（2）然后作出槽口三面投影圖。（3）作出穿孔的三面投影圖。QP作圖步驟如下：第二十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例3：求左視圖★空間及投影分析★利用積聚性求截交線★分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置●●解題步驟：

同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖?！瘛竦谌?yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例4：求左視圖●●●●第三十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例5:補(bǔ)畫出立體的左視圖2.作左切面上的投影

1.作圓柱的左視圖3.作下部通槽的投影4.判別可見(jiàn)性第三十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日5.整理并擦除多余的線,完成作圖.第三十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日

g'1'（2'）34b（d‘c’f'）e'4'（3'）2b'12''1''b''g''f'e'cdae

ga'Yc''d''

fa'例6求圓柱截交線分析：2.截平面數(shù)量及相對(duì)位置3.截交線的形狀1.分析形體特征Y作圖:1.求特殊點(diǎn)2.求一般點(diǎn)3判斷可見(jiàn)性4.檢查bagfedc1432第三十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日bagfedc1432第三十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同，截交線有五種形狀。過(guò)錐頂兩相交直線PV圓PVθθ=90°PV橢圓αθθ＞α拋物線PVθαθ=α雙曲線PVαθ=0°＜α三、圓錐體的截割第三十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日緯圓法(輔助平面法)素線法圓錐上的截交線求共有點(diǎn)的方法第三十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例1:圓錐被正垂面截切，求截交線，并完成三視圖★找特殊點(diǎn)如何找橢圓另一根軸的端點(diǎn)？★補(bǔ)充中間點(diǎn)★光滑連接各點(diǎn)★分析輪廓線的投影第四十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日平面與圓錐相交例2:圓錐被水平面截切，求出截交線的另外兩個(gè)投影。342153’2’(4’)1’(5’)4”3”2”1”（1）先求特殊點(diǎn)。（2）再求一般點(diǎn)。（3）依次光滑連接各點(diǎn)。5”具體步驟如下：第四十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例3:求圓錐被截切后的正面投影.分析:截交線的正面投影為雙曲線.作圖:1、求特殊點(diǎn)。最高點(diǎn)最低點(diǎn)2、求一般點(diǎn)。3、連線。第四十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日四、球體的截切平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對(duì)位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。第四十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日（1）先求特殊點(diǎn)。（2）確定截交線與轉(zhuǎn)向輪廓線的交點(diǎn)。（3）依次連接各點(diǎn)的水平投影。平面與球相交11’23’(4’)432’655’6’例1、如圖所示，球被正垂面截切，求截交線的水平投影。具體步驟如下：第四十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例2：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。判斷可見(jiàn)性第四十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例3:求圓球被截切后的水平投影和側(cè)面投影分析:

球面被側(cè)平面截切，側(cè)面投影為圓；球面被水平面截切，水平面投影為圓。輪廓線要不要?輪廓線怎樣處理?第四十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日分析:

球面被側(cè)平面截切，側(cè)面投影為圓；球面被水平面截切，水平面投影為圓。第四十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日●●(四)復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切●●●●●●

1.分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系.例：求作頂尖的俯視圖2.分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛竦谖迨?yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第五十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日平面體與回轉(zhuǎn)體相貫回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫多體相貫1、相貫的形式兩相交的立體叫作相貫體，其表面產(chǎn)生的交線叫做相貫線。一、相貫線的幾何性質(zhì)及其求法§5-3回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫的投影第五十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日立體表面相交有三種形式,一種是立體的外表面相交;一種是外表面與內(nèi)表面相交;一種是內(nèi)表面與內(nèi)表面相交.實(shí)實(shí)相貫實(shí)虛相貫虛虛相貫第五十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日2、相貫線的主要性質(zhì)其作圖實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影。★共有性★表面性相貫線位于兩立體的表面上。相貫線是兩立體表面的共有線（同時(shí)也是分界線）?！锓忾]性相貫線一般是封閉的空間折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線。第五十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日3、相貫線的求法表面取點(diǎn)法輔助切平面法一般是根據(jù)立體或給出的投影，分析兩回轉(zhuǎn)面的形狀、大小極其軸線的相對(duì)位置，判斷相貫線的形狀特點(diǎn)和各投影的特點(diǎn)，從而選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鲌D。利用投影的積聚性直接找點(diǎn)。根據(jù)三面共點(diǎn)的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫出相貫線的投影。第五十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日

如果兩回轉(zhuǎn)體相交，其中有一個(gè)是軸線垂直于投影面的圓柱，則相貫線在該投影面上的投影積聚在圓柱面上。利用回轉(zhuǎn)體表面取點(diǎn)的方法可以作出相貫線的其余投影。

按已知曲面立體表面上點(diǎn)的投影求其它投影的方法，稱為表面取點(diǎn)法。二、利用表面取點(diǎn)法求作相貫線第五十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例1：垂直相交圓柱的相貫線分析：直立圓柱的水平投影有積聚性，水平圓柱的側(cè)面投影有積聚性，

相貫線的兩面投影分別落在這兩個(gè)有積聚性的圓上，故只需求正面投影。作圖：1、求特殊點(diǎn)。2、求一般點(diǎn)。3、判別可見(jiàn)性。第五十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日3`1`2`1″3``13外表面和外表面相交13例1：求垂直相交圓柱的相貫線最左最高點(diǎn)最前最低點(diǎn)最左最高點(diǎn)投影最右最高點(diǎn)投影最前最低點(diǎn)投影最后最低點(diǎn)投影244``相貫線(1)求特殊點(diǎn)。

最左點(diǎn)和最右點(diǎn)最前點(diǎn)和最后點(diǎn)(2″)(4′)第五十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日3`1`2`5`1``5``3``153yy6y輔助素線相貫線外表面和外表面相交135例1：求垂直相交圓柱的相貫線（2）求一般點(diǎn)。在相貫線水平投影上任取一點(diǎn)。（3）判別可見(jiàn)性，按順序光滑連接。(4′)426′（6″)(2″)4″第五十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日兩圓柱相交時(shí)，相貫線的形狀和位置取決于它們直徑的相對(duì)大小和軸線的相對(duì)位置，表中表示兩圓柱面的直徑相對(duì)大小變化時(shí)對(duì)相貫線的影響。這里特別指出的是，當(dāng)相貫線（也可不垂直）的兩圓柱面直徑相等，即公切一個(gè)球時(shí)，相貫線是相互垂直的兩橢圓，且橢圓所在的平面垂直于兩條軸線所確定的平面。

水平圓柱較大兩圓柱直徑相等水平直徑較小上下兩條空間曲線兩個(gè)互相垂直的橢圓左右兩條空間曲線垂直相交兩圓柱直徑相對(duì)變化時(shí)的相貫線第六十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)圓柱直徑變化時(shí)，相貫線的變化趨勢(shì)。相貫線總向大圓柱的軸線彎曲相貫線的投影為過(guò)軸心的兩條相交直線第六十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日兩圓柱相交的三種形式—相貫線的畫法外表面和內(nèi)表面相交外表面和內(nèi)表面相交第六十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)表面和內(nèi)表面相交挖孔后切割后第六十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例2：補(bǔ)全主視圖

投影分析：由于相貫線是兩立體表面的共有線，所以相貫線的側(cè)面投影積聚在一段圓弧上，水平投影積聚在矩形上。

空間分析：四棱柱的四個(gè)棱面分別與圓柱面相交，前后兩棱面與圓柱軸線平行，截交線為兩段直線；左右兩棱面與圓柱軸線垂直，截交線為兩段圓弧。第六十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日

例3:已知圓柱筒上穿方孔下穿圓孔的俯視圖,補(bǔ)全另二投影。(1)先畫出圓柱筒未穿孔時(shí)的另二投影(2)利用圓柱的積聚性投影求與方孔相貫線上各特殊位置點(diǎn)的投影。(3)判別可見(jiàn)性后依次連接各點(diǎn)的投影,擦去被相貫掉的輪廓線。

(4)利用圓柱的積聚性投影求與圓孔相貫線上各特殊位置點(diǎn)的投影。

(5)判別可見(jiàn)性后依次連接各點(diǎn)的投影.擦去被相貫掉的輪廓線。

解題步驟：易多線易多線易多線容易多線立體圖第六十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第七十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例4:求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。

1“(2“)1'2'3“12344"4'5“(6“)565'6'87yy8“(7“)8'7'3'第七十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A柱與半球的相貫線輔助平面P用輔助平面法求相貫線投影的基本原理是：作一輔助平面P，使它與回轉(zhuǎn)體都相交，求出P平面與兩回轉(zhuǎn)體的截交線，作出兩回轉(zhuǎn)體表面截交線的交點(diǎn)，即為兩回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)，亦即相貫線上的點(diǎn)。為了簡(jiǎn)化作圖，選擇什么位置的平面作為輔助平面是很重要的。選擇輔助平面時(shí)應(yīng)遵守下述原則:所選擇的輔助平面與兩相交立體表面所產(chǎn)生的截交線的投影，應(yīng)該是簡(jiǎn)單易畫的圓或直線。三、用輔助切平面法求相貫線第七十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日輔助平面法：根據(jù)三面共點(diǎn)的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫出相貫線的投影。作圖方法：假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點(diǎn)既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫線上的點(diǎn)。輔助平面的選擇原則：使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影簡(jiǎn)單易畫，例如直線或圓。一般選擇投影面平行面。第七十三頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例1、求圓柱與半球相貫線的投影相貫線的側(cè)面投影積聚在圓柱的表面上。水平圓柱與半球的公共對(duì)稱面平行于V面，故相貫線是一條前后對(duì)稱的空間曲線。第七十四頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日作圖步驟：1）求特殊點(diǎn)：4’141”4”1’2）求一般點(diǎn)：PvPw2”6”26QvQw3”5”352’(6’)3）判斷可見(jiàn)性，依次光滑連接各點(diǎn)：4）補(bǔ)畫水平轉(zhuǎn)向輪廓線。3’(5’)ⅣⅠ第七十五頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例2、求圓柱與圓錐相貫線的投影。分析：由投影圖可知，圓柱與圓錐的軸線垂直交叉，相貫線是一條左右對(duì)稱封閉的空間曲線。由于圓柱軸線垂直于側(cè)面，所以相貫線的側(cè)面投影已知，可以用表面取點(diǎn)的方法求相貫線的投影。第七十六頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日作圖步驟：ⅠⅡⅣ1”2”(4”)3”1’12’4’243’3ⅤⅥ5”6”565’6’1）求特殊點(diǎn)：Ⅲ第七十七頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日求圓柱和圓錐的相貫線ⅠⅢⅣⅤⅥⅡ6’4’242’2”(4”)2）求一般點(diǎn)：7’8’7”(8”)78ⅦⅧ3）判斷可見(jiàn)性，依次光滑連接各點(diǎn)：4）補(bǔ)全正面轉(zhuǎn)向輪廓線。4’6’第七十八頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日例3.求圓柱與圓錐的相貫線。(1)利用圓柱的積聚性投影求相貫線上特殊位置點(diǎn)的投影.(2)利用輔助平面法求相貫線上一般位置各點(diǎn)的投影。(3)判別可見(jiàn)性后,按虛實(shí)依次將各點(diǎn)的投影連接為光滑曲線并擦去被相貫掉的輪廓線，加深其余圖線。解題步驟：易多線易漏線立體圖第七十九頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第八十頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第八十一頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日第八十二頁(yè)，共九十九頁(yè)，2022年，8月28日四、兩回轉(zhuǎn)體相貫線的特殊情況1、兩圓錐共錐頂相交或兩圓柱軸線平行相交時(shí)，其相貫線為直線。