關(guān)于退位減法的思考 論文

關(guān)于退位減法的思考摘要：學(xué)知識(shí)具有一定的抽象性和復(fù)雜性，尤其是對(duì)于剛進(jìn)入小學(xué)的學(xué)生而言，會(huì)形成一定的認(rèn)知錯(cuò)誤。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在開(kāi)展100以內(nèi)加減法教學(xué)內(nèi)容時(shí)，就要從小學(xué)生學(xué)習(xí)需求和認(rèn)知特點(diǎn)角度出發(fā)，深入挖掘兩位數(shù)進(jìn)位加法和退位減法的有效教學(xué)策略，讓小學(xué)低階段的學(xué)生能夠在教師的幫助下迅速發(fā)現(xiàn)自身短板，并采取相應(yīng)措施進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而為學(xué)生學(xué)習(xí)更高難度的數(shù)學(xué)知識(shí)打下夯實(shí)的基礎(chǔ)。關(guān)鍵字：退位減法退一當(dāng)十在教學(xué)連續(xù)退位減法的時(shí)候，有的學(xué)生就會(huì)這樣地想，從百位上退下來(lái)的一與從十位上退下來(lái)的一，為什么都可以作“十”用的呢？難道它們的大小是一樣的嗎？另外，從百位上退下來(lái)的一，怎么到了十位上就變成了九？而退到了個(gè)位上，它又怎么會(huì)變成十的？……諸如此類的這些問(wèn)題，如果我們不能及時(shí)地把它從根源上給鏟除掉的話，那它就會(huì)像毒瘤一樣地滋生和蔓延開(kāi)來(lái)。隨后，學(xué)生再出現(xiàn)這樣或那樣的問(wèn)題，也就不足為奇了。因此，筆者以為，要想解決和處理好以上的這些問(wèn)題，那就不妨從以下三個(gè)方面做起。一、把解決問(wèn)題的突破點(diǎn)落實(shí)在重位識(shí)量上數(shù)位的高與低以及其量的大與小和多與少等相關(guān)方面的知識(shí)點(diǎn)，是解決和處理退位減法問(wèn)題的關(guān)鍵所在。因此，在學(xué)習(xí)退位減法之前，我們首先需要考慮的就是溫習(xí)和鞏固一下數(shù)的組成方面的教學(xué)內(nèi)容。即：師：同學(xué)們，你們?cè)谡J(rèn)識(shí)“10”這個(gè)數(shù)字的時(shí)候，用的是什么學(xué)具？結(jié)果又是怎么來(lái)處理的？生：用的是小棒學(xué)具，是把10根、10根的小棒數(shù)好以后，然后把它用橡皮筋捆成一小捆的。師：很好，剛才×××同學(xué)用了個(gè)一小捆的說(shuō)法，也就是把10根、10根的小棒用橡皮筋捆成一小捆的。假如我們已經(jīng)有這樣的小棒10小捆了，那又應(yīng)該怎么辦？它又是多少根呢？生：是100根的，我們可以把它捆成一大捆的。師：好的，不過(guò)老師先暫且打斷一下你的說(shuō)話，然后再請(qǐng)你等老師問(wèn)完之后繼續(xù)接著說(shuō)，好不好？你剛才說(shuō)的是捆成一大捆的吧，你認(rèn)為這樣的說(shuō)法合理嗎？就譬如我們的手里還有很多、很多這樣的小棒，若讓你也把它給捆起來(lái)，那捆好之后你該怎么去稱呼它呢？因此，這里的“一大捆”的說(shuō)法是不是需要改換一下稱謂呢？生：是的，可以改換成“一中捆”的。師小結(jié)：因?yàn)?，?shù)量達(dá)到了成百、上千的話，就表明它已經(jīng)是是很大的了。那把這里成百的數(shù)換成“一中捆”、上千的數(shù)再設(shè)定成“一大捆”的說(shuō)法，應(yīng)當(dāng)算是合理的。……說(shuō)到了這里，我們也該明白當(dāng)初教師在教我們認(rèn)識(shí)數(shù)量的時(shí)候，為什么會(huì)要求我們把10根、100根、1000根的小棒捆成那么一小捆、一中捆和一大捆的道理了。不過(guò)，這里的一中捆、一大捆的捆法只不過(guò)就是在嘴上說(shuō)說(shuō)而已，而在現(xiàn)實(shí)生活里是沒(méi)有人真正把它給捆起來(lái)的。即便如此，但我們的這種正常理解問(wèn)題的思路和做法卻是不能夠動(dòng)搖的。因?yàn)檫@里的一小捆、一中捆和一大捆對(duì)應(yīng)的可都是數(shù)量中的各個(gè)數(shù)位上的最基本的組成單位，由此你在對(duì)它進(jìn)行退位的時(shí)候，只能是按照其最基本的數(shù)量單位來(lái)退的。這樣，學(xué)生對(duì)于退一作十中的“十”到底是多少個(gè)“十”，才會(huì)有一個(gè)準(zhǔn)確的定位和把握。同樣，也才會(huì)為他們接下來(lái)避免重蹈錯(cuò)誤分配的覆轍，起到一個(gè)較為強(qiáng)有力的支撐和保障的作用。二、要把解決問(wèn)題的著力點(diǎn)沉淀到精退細(xì)配里退位分配方面的問(wèn)題是從三位數(shù)的減法開(kāi)始算起的。譬如例題，圖書(shū)室新買了204本兒童小說(shuō)，新買的民間故事書(shū)比兒童小說(shuō)少108本，問(wèn)新買的民間故事書(shū)有多少本？很明顯，這道題是用減法的方法計(jì)算的，也就是用204－108的。我們知道，按規(guī)則它應(yīng)是先從個(gè)位上開(kāi)始減起。不過(guò)，我們看到的被減數(shù)的個(gè)位上是個(gè)4，而減數(shù)的個(gè)位上卻是個(gè)8，明擺著就是不夠減的，怎么辦？若你真想弄明白這個(gè)問(wèn)題的話，就必須要知道，數(shù)量都是由不同的單位（一小捆、一中捆、一大捆）組合而成的，而且低一級(jí)單位的數(shù)在湊夠十小份之后才可以或者必須是向它的高一級(jí)單位進(jìn)“一”的，因此說(shuō)后面的數(shù)都應(yīng)該是比進(jìn)上去的“1”要小的，那4減8不夠減就理所當(dāng)然地是向被減數(shù)的十位上去借1的。不過(guò)，此刻我們卻又看到的是，被減數(shù)的十位上是個(gè)0，它也是沒(méi)有東西可借的，那又該如何是好呢？還用說(shuō)嘛，當(dāng)然是要向它的再高的上一級(jí)單位上去借的，這樣豈不就是借到了被減數(shù)的百位上去了。然后，就是要弄明白這里的從百位上借（退）下來(lái)的一是作十個(gè)多少用的問(wèn)題了。不過(guò)還好，我們課前不是已經(jīng)做了數(shù)小棒和捆小棒的游戲準(zhǔn)備工作了嘛，這樣對(duì)于從百位上退下來(lái)的一究竟是十個(gè)多少，也就不可能是沒(méi)有數(shù)的！當(dāng)然，你也不要忘了，這里的十個(gè)十借到了十位上以后，那不是就可以刀槍入庫(kù)、馬放南山的，因?yàn)楸粶p數(shù)的個(gè)位上也還在那里眼巴巴地等著它借米下鍋的呢！因此，接下來(lái)的你還是要把這里的十個(gè)十再借一個(gè)十出去，也就是借給后面的被減數(shù)的個(gè)位上使用。為此，也許有學(xué)生就要問(wèn)了，那這樣做會(huì)不會(huì)讓十位上的數(shù)不夠減呢？你想，畢竟這是從百位上借下來(lái)的一，是作十個(gè)十用的，如果在確保被減數(shù)的個(gè)位上夠減的情況下，即便是它借下去一個(gè)十給個(gè)位上，那十位上還應(yīng)該是有九個(gè)十的，因?yàn)闇p數(shù)里的十位上最大的也就只能是九的，故而，被減數(shù)上的九個(gè)十當(dāng)然還是夠用的。簡(jiǎn)而言之，就是從百位上退下來(lái)的一（十個(gè)十），被同時(shí)地分給了十位上九個(gè)十和個(gè)位上一個(gè)十。即：十位上留9（90）后退“百位”上的一作的是“十位”上的十個(gè)十再退1（10）到個(gè)位如此，百位上的退位減法表示的是一步就能夠到位了的分配方案。即退下來(lái)的十個(gè)十，首先是分給了十位上九個(gè)十，然后又分給了個(gè)位上一個(gè)十（就是十個(gè)一）。但是，連續(xù)退位減法也未必全都是從百位上退下來(lái)的，它也有可能是從千位上退下來(lái)的，那再把它分配到被減數(shù)的百位、十位、個(gè)位上又會(huì)是什么樣的結(jié)果呢？譬如，在課后的試一試?yán)?，就有這么樣的一道計(jì)算題，即1000－537，它用的就是從千位上退一的問(wèn)題。不過(guò)，你會(huì)明顯地發(fā)現(xiàn)，從千位上退下來(lái)的一與從百位上退下來(lái)的一卻是有點(diǎn)不大相同的，就是從千位上退下來(lái)的一采用的應(yīng)該是兩次分配方案的。即：百位上留9（900）后借“千位”上一作十個(gè)“百”十位上留9（90）再退1（100）到十位再退1（10）到個(gè)位若此，我們便可以這樣地問(wèn)學(xué)生：師：當(dāng)千位上退下來(lái)一的時(shí)候，百位上分得的是幾？十位上分得的是幾？個(gè)位上分得的又是幾呢？生：百位上分得的是9（900），十位上分得的是9（90），個(gè)位上分得的是1（10）?！纱?，我們不難看出，在連續(xù)退位減法中，從最高位上退下來(lái)的一和最低位上（個(gè)位）得到的一，雖然它們都是一，也都是可以作十用的，但是這里的十的大小卻是完全不相同的。另外，介于最高位與最低位之間的位數(shù)上的數(shù)雖然也同時(shí)都為九（9），但它們的大小也是完全不相同的。因此，只要你記住了各個(gè)數(shù)位上的應(yīng)得的分配數(shù)的面上的大小和實(shí)際的大小各是多少，那接下來(lái)再用被減數(shù)與減數(shù)相減的話，還有可能會(huì)出現(xiàn)其它的問(wèn)題嗎？三、要把解決問(wèn)題的求證點(diǎn)定位在反減為加上即便有204減去108這樣的既定不變的豎式模式擺放在那里，但我們同樣也是可以把它看作為加法運(yùn)算方式的，即204－108這樣，就是把減數(shù)108當(dāng)成了一個(gè)加數(shù)，其中的差又當(dāng)成了另外的一個(gè)加數(shù)，而被減數(shù)204則順理成章地上位成了它們的和。既是如此，那8加上幾才能夠成為末尾是4的數(shù)呢？當(dāng)然是6了。因?yàn)?加上6才會(huì)等于14的。不過(guò)，當(dāng)我們?cè)诓畹膫€(gè)位上寫上6的時(shí)候，那你一定不能把向上進(jìn)上去的一給忘了的。接著，我們不妨繼續(xù)地往下想。減數(shù)108里的十位上是個(gè)0，就算是加上剛剛進(jìn)過(guò)來(lái)的一，那它也只能還是個(gè)1，而這個(gè)1再加上幾，才能夠轉(zhuǎn)變成為204里的0呢？當(dāng)然是9了。同樣，我們?cè)诓畹氖簧蠈懮?的時(shí)候，也是不能把進(jìn)上去的1給忘了的。所以，當(dāng)十位上進(jìn)上去的1，再與108里的百位上的1相加，豈不就是204里的百位上的2嗎？故而，204減去108的差則理所當(dāng)然地就該是96的。然后，我們就是再借助這里的“加法”結(jié)果反推其中的減法之道，也就是想一想差的個(gè)位上為什么會(huì)是6，而十位上又為什么會(huì)是9？如此地做到多練與多想，那學(xué)生做題的誤差率還會(huì)有可能是居高不下的嗎？再有，為了能夠讓學(xué)生做到先知先覺(jué)，并確保計(jì)算出的結(jié)果的準(zhǔn)確性，我們是可以對(duì)減法中的結(jié)果超前地估算一下的。即：先把108看成是100，則它們減得的結(jié)果為104；然后再把108看成是110，那它們減得的結(jié)果就是94了。這樣，204減108的差的結(jié)果也就應(yīng)該是介于94與104之間的，所以這里得到的96的差，就極有可能是正確的。另外，通過(guò)以上的演算，我們還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，即加、減法中的進(jìn)位和退位的點(diǎn)都是落在同一個(gè)數(shù)位上的。即：204108－108＋、9、696204綜上所述，舊知是新知的基礎(chǔ)，新知又是舊知的引伸與發(fā)展。因此，在日常的例題教學(xué)中，我們需要做好的就是課前的鋪墊和準(zhǔn)備的工作，這樣才能換來(lái)舊知向新知的正向遷移。另