高中物理競賽解題方法：等效法

等效法方法簡介在一些物理問題中，一個過程的發(fā)展、一個狀態(tài)的確定，往往是由多個因素決定的，在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，而對過程的發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結(jié)果并不影響這種以等效為前提而使某些因素互相代替來研究問題的方法就是等效法.等效思維的實質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實際問題變換為簡單的熟悉問題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律.因此應(yīng)用等效法時往往是用較簡單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問題得到簡化而便于求解.賽題精講例1：如圖4—1所示，水平面上，有兩個豎直的光滑墻壁A和B,相距為d,—個小球以初速度v從兩墻之間的0點斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次彈性碰撞后，正好落回拋出點，求小球的拋射角0.解析：將彈性小球在兩墻之間的反彈運動,可等效為一個完整的斜拋運動（見圖）.所以可用解斜拋運動的方法求解.由題意得：Id=由題意得：Id=vocos0-1=vcos0-02vsin00g2gd可解得拋射角0二arcsinv20例2：質(zhì)點由A向B做直線運動，A、B間的距離為L,已知質(zhì)點在A點的速度為v°,加速度

為a,如果將L分成相等的n段，質(zhì)點每通過L/n的距離加速度均增加a/n，求質(zhì)點到達(dá)B時的速度.解析從A到B的整個運動過程中，由于加速度均勻增加，故此運動是非勻變速直線運動，而非勻變速直線運動，不能用勻變速直線運動公式求解，但若能將此運動用勻變速直線運動等效代替，則此運動就可以求解.因加速度隨通過的距離均勻增加，則此運動中的平均加速度為(n-1)aa+aa=a+aa=—初末平23an-a(3n-1)a2n2n由勻變速運動的導(dǎo)出公式得2aL二v2-v2平B0I(3n一1)aL解得vB=1V解得vB'Von例3一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成

反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離si=1m的A點時，速度大小為卩］=20cm/s，問當(dāng)老鼠

到達(dá)距老鼠洞中心s=2m的B點時，其速度大小V=?老鼠從A點到達(dá)B點所用的時間t=?22解析我們知道當(dāng)汽車以恒定功率行駛時，其速度v與牽引力F成反比，即，v=P/F,由此可把老鼠的運動等效為在外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運動.PP由此分析，可寫出v==—Fkx當(dāng)x=s時,V=V11將其代入上式求解，Vs11將其代入上式求解，Vs11Vs22s1所以老鼠到達(dá)B點時的速度V=—V=X20=10cm/s2s122再根據(jù)外力做的功等于此等效彈簧彈性勢能的增加，Pt=2ks2-2件1P代入有關(guān)量可得Pt=*(s2-s2)2Vs21圖4—圖4—2(s2-s2)22-12由此可解得t=21==7?5s2sV2X1X0.211

此題也可以用圖像法、類比法求解.r例4如圖4—2所示，半徑為r的鉛球內(nèi)有一半徑為的球形空腔，其表面與球面相切，鉛球的質(zhì)量為M.在鉛球和空腔的中心連線上，距離鉛球中心L處有一質(zhì)量為m的小球(可以看成質(zhì)點)，求鉛球?qū)π∏虻囊?解析因為鉛球內(nèi)部有一空腔，不能把它等效成位于球心的質(zhì)點.我們設(shè)想在鉛球的空腔內(nèi)填充一個密度與鉛球相同的小鉛球皿，然后在對于小球m對稱的另一側(cè)位置放另一個相同的小鉛球△M,這樣加入的兩個小鉛球?qū)π∏騧的引力可以抵消，就這樣將空腔鉛球變成實心鉛球，而結(jié)果是等效的.帶空腔的鉛球?qū)的引力等效于實心鉛球與另一側(cè)AM對m的引力之和.設(shè)空腔鉛球?qū)的引力為F,實心鉛球與對m的引力分別為F、F.貝V12TOC\o"1-5"\h\zF=F－F①12經(jīng)計算可知：AM=1M，所以m(M+AM)8GmMF=G=....②iL7L2GmMr7(L-—)GmMr7(L-—)22③=Gr(L-2)2將②、③代入①式，解得空腔鉛球?qū)π∏虻囊?/p>

81F=F-F=GmM[——]127L27(L-r)22例5如圖4-3所示，小球長為L的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時與擋板碰撞并反向彈回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前速度大小的45，求小球從開始下滑到最終停止于斜面下端時，小球總共通過的路程解析小球與擋板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，說明碰撞過程中損失能量，每次反彈距離都不及上次大，小球一步一步接近擋板，最終停在擋板處.我們可以分別計算每次碰撞垢上升的距離L、L、、L，則小球總共通過的路程為s=2(L+L++L)+L，12n12n然后用等比數(shù)列求和公式求出結(jié)果，但是這種解法很麻煩.我們假設(shè)小球與擋板碰撞不損失能量，其原來損失的能量看做小球運動過程中克服阻力做功而消耗掉，最終結(jié)果是相同的，而阻力在整個運動過程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程.設(shè)第一次碰撞前后小球的速度分別為v、v[，碰撞后反彈的距離為L，則1mv21mv22=mgLsin0mv2=mgLsin02ii=4V,所以L=性=(4)25Lv2511116碰撞中損失的動能為=2mv2—2mv=2mv2(1—25)厶厶厶厶J9根據(jù)等效性有f(L+L)=AE解得等效摩擦力f=mgsm01k41通過這個結(jié)果可以看出等效摩擦力與下滑的長度無關(guān)，所以在以后的運動過程中，等效摩擦力都相同.以整個運動為研究過程，有f-s=mgL-sin041解出小球總共通過的總路程為s=-9L.此題也可以通過遞推法求解，讀者可試試.例6如圖4—4所示，用兩根等長的輕質(zhì)細(xì)線懸掛一個小球設(shè)L和?已知，當(dāng)小球垂直于紙面做簡諧運動時，其周期為.圖4—4解析此題是一個雙線擺，而我們知道單擺的周期，若將又線擺擺長等效為單擺擺長,則雙線擺的周期就可以求出來了.

將雙線擺擺長等效為單擺擺長L=Lsina,則此雙線擺的周期為T=2兀jL7g=2kv7sina/g例8如圖4—5所示，由一根長為L的剛性輕桿和桿端的小球組成的單擺做振幅很小的自由振動.如果桿上的中點固定另一個相同的小球，使單擺變成一個異形復(fù)擺，求該復(fù)擺的振動周期解析復(fù)擺這一物理模型屬于大學(xué)普通物理學(xué)的內(nèi)容，中學(xué)階段限于知識的局限，不能直接求解.如能進(jìn)行等效操作，將其轉(zhuǎn)化成中學(xué)生熟悉的單擺模型，則求解周期將變得簡捷易行.設(shè)想有一擺長為L0的輔助單擺，與原復(fù)擺等周期，兩擺分別從擺角/處從靜止開始擺動，擺動到與豎直方向夾角為0時，具有相同的角速度?，對兩擺分別應(yīng)用機(jī)械能守恒定111圖^4—5律，于是得咖（心卩-論）+mg2（cos卩一cosa）=2m?）2+2m（T）2對單擺，得mgl（cos0-cosa）=—m（⑹）20205聯(lián)立兩式求解，得I=I06故原復(fù)擺的周期為T=2氣I0=2兀”6L.例9粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，開始靜止在水平面上，如圖4—6所示，已知：L=10cm,當(dāng)此U形管以4m/s2的加速度水平向右運動時，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差.（g=10m/s2）解析當(dāng)U形管向右加速運動時，可把液體當(dāng)做放在等效重力場中，g的方向是等效重力場的豎直方向，這時兩邊的液面應(yīng)與等效重力場的水平方向平行，即與g'方向垂直.設(shè)g'的方向與g的方向之間夾角為a,則tana==0.4g由圖4—6可知液面與水平方向的夾角為幺，所以，Ah二L-tana=10x0.4二4cm二0.04m.例10光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R，在其最低點A處放一質(zhì)量為m的帶電一上小球，整個空間存在勻強(qiáng)電場，使小球受到電場力的大小為丁mg，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個水平向右的初速度v，使小球沿軌道向上運動，若小球剛好能做完整的圓周運動,0求V?0解析小球同時受到重力和電場力作用，這時也可以認(rèn)為小球處在等效重力場中.

32.；3小球受到的等效重力為GG='(mg)2+(mg)2="等效重力加速度g'二GL蘋gm等效重力加速度g'二GL蘋gm3圖4—7甲與豎直方向的夾角0=30。，如圖4—7甲所示?所以B點為等效重力場中軌道的最高點,如圖4—7,由題意，小球剛好能做完整的圓周運動，小球運動到B圖4—7甲B在等效重力場中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律將gg、V分別代入上式，解得給小球的初速度為BTOC\o"1-5"\h\z—mv2=mg'(R+Rcos0)+—mv22將gg、V分別代入上式，解得給小球的初速度為Bv0=〒2(v3+1)gR例11空間某一體積為V的區(qū)域內(nèi)的平均電場強(qiáng)度(E)的定義為HeavEAV+EAV+…+EAViiE=—1122nn=41—圖4—8AV+AV+…圖4—812nVii=1如圖4—8所示，今有一半徑為a原來不帶電的金屬球，現(xiàn)使它處于電量為q的點電荷的電場中，點電荷位于金屬球外，與球心的距離為R,試計算金屬球表面的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場在此球內(nèi)的平均電場強(qiáng)度.解析金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的球內(nèi)電場，由靜電平衡知識可知等于電量為q的點電荷在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場，其大小相等，方向相反，因此求金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場，相當(dāng)于求點電荷q在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場.由平均電場強(qiáng)度公式得AVHkqAV

r2亍i=1iHnEAVeAVHkqAV

r2亍i=1iHnViiAVVi=1i=1ii=1設(shè)金屬球均勻帶電，帶電量為q,其密度為P=V，則有EHkpAV工kAqr2r2i=1ii=1i

i=1Y瞥為帶電球體在q所在點產(chǎn)生的場強(qiáng)，因而有E=R2，方向從o指向i=1i例11質(zhì)量為m的小球帶電量為Q,在場強(qiáng)為E的水平勻強(qiáng)電場中獲得豎直向上的初速度為v0.若忽略空氣阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球在運動過程中的最小速度解析若把電場力E和重力mg合成一個力，則小球相當(dāng)于只受一個力的作用，由于小q球運動的初速度與其所受的合外力之間成一鈍角，因此可以把小球的運動看成在等效重力G'（即為合外力）作用下的斜拋運動，而做斜拋運動的物體在其速度方向與G'垂直時的速mg由圖所示的幾何關(guān)系可知tan9=—Eq度為最小，也就是斜拋運動的最高點，由此可見用這種等效法可以較快求得結(jié)果…電場力和重力的合力方向如圖4mg由圖所示的幾何關(guān)系可知tan9=—Eq噸GtEqv0小球從0點拋出時，在y方向上做勻減速直線運動，在x軸方向上做勻速圖線運動.當(dāng)在y軸方向上的速度為零時，小球只具有xEqv0v=vcos0=min0；(mg)2+(Eq)2知,x1圖4—10圖4—10甲此題也可以用矢量三角形求極值的方法求解，讀者可自行解決.例12如圖4—10所示，R、R、R為定值電阻，但阻值未R為電阻箱?當(dāng)R為R=10知,x1圖4—10圖4—10甲TOC\o"1-5"\h\zxxx1=1A;當(dāng)R為R=180時，通過它的電流I=0.6A.xx2x2則當(dāng)I=0.1A時，求電阻R.x3x3解析電源電動勢&、內(nèi)電阻r、電阻R、R、R均未知,是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法.按題目給的電路模型列式求解,顯然方程數(shù)少于未知量數(shù),于是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法.將圖4—10所示的虛線框內(nèi)電路看成新的電源,則等效電路如圖4—10甲所示，電源的電動勢為￡'，內(nèi)電阻為r根據(jù)電學(xué)知識，新電路不改變R和I的對應(yīng)關(guān)系，有xx￡r=I(R+r'),x1x1￡‘=I=(R+r'),...②x2x2

￡f=I(R+r')③x3x3由①、②兩式，得￡'=12V,r'=20,代入③式’可得R3=1180例13如圖4—11所示的甲、乙兩個電阻電路具有這樣的特性：對于任意阻值的R、R和RR和R，相應(yīng)的電阻R、BCCAR和R可確定.因此在對應(yīng)點A和a，B和b、C和c的電位是相bc同的，并且，流入對應(yīng)點（例如A和a）的電流也相同，利用這些條件證明：同的，并且，流入對應(yīng)點（例如A和a）的電流也相同，利用這些條件證明：R=aRR—ABCA???，并證明對Rb和R也有類似的結(jié)果，利用上面的結(jié)果求圖4R+R+RbcABBCCA—11甲中P和Q兩點之間的電阻.圖4—11解析圖4—11中甲、乙兩種電路的接法分別叫三角形接法和星形接法，只有這兩種電路任意兩對應(yīng)點之間的總電阻部分都相等，兩個電路可以互相等效，對應(yīng)點A、a、B、b和C、c將具有相同的電勢.由R=R，R=R，R=R，對ab間，有將①+②－③得：abABacACbcBC將①+②－③得：11RR+RRR+R=(■+-)t=—AB_CAAB_①abRR+RR+R+RABACBCABBCCA同樣，ac間和bc間，也有11RR+RRR+R=(+Jt=—AB_CABC_C4-②acRR+RR+R+RCAABBCABBCCA11RR+RRR+R=(+）T=―AB_BCBC_C4-③bcRR+RR+R+RBCABCAABBCCARRR=AB_CA—aR+R+RABBCCA再通過①一②+③和③+②一①，并整理，就得到R和R的表達(dá)式.bCRRRRR=AB_BCR=BC_ACbR+R+RcR+R+RABBCCAABBCCA面利用以上結(jié)果求圖4—12乙中P和Q兩點之間的電阻.用星形接法代替三角形接法，可得圖4—12乙所示電路，PRQS回路是一個平衡的惠斯登電橋，所以在RS之間無電流,PQ可通過這三個并聯(lián)電阻求因此它與圖4—12丙所示電路是等效的.因此PQPQ可通過這三個并聯(lián)電阻求因此它與圖4—12丙所示電路是等效的.因此PQ之間的總電阻R]和得到.'例14如圖4—13所示，放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.6T的勻強(qiáng)磁場中的長方形金屬線框abed，框平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，其中ab和be各是一段粗細(xì)均勻的電阻絲R=5Q，abR=3Q，線框其余部分電阻忽略不計.現(xiàn)讓導(dǎo)體EF擱置在ab、ed邊上，其有效長度L=0.5m，be且與ab垂直，阻值R=1Q，并使其從金屬框ad端以恒定的速度V=10m/s向右滑動，當(dāng)EFEF滑過ab長的4/5距離時，問流過aE端的電流多大？4解析EF向右運動時，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢當(dāng)EF滑過ab長的5時，電路圖可等效為如圖4—13甲所示的電路.根據(jù)題設(shè)可以求出EF產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢￡,￡=BLV=(0.6x0.5x10)=3VR二40,R二10,R二30圖4—13圖4—14aEEbbc圖4—13圖4—14成像規(guī)律，逐次求出最終像的位置.根據(jù)以上分析，首先考慮物S經(jīng)平凹透鏡的成像S',111根據(jù)公式一T+=—P1Pf111111其中—=(n-1)(—-——)=(1.5-1)(——--)=-1(m-1)fRR-0.5s1fP=-0.6m111故有一+=fP=-0.6m1p1.51成像在左側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S"后，其像距為ffP=-P=-P=0.6m221成像在右側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S，有11P3P3311P3P33―,其中p=p2=0.6m'f=-1(m-1)=-0.375m成虛像于系統(tǒng)右側(cè)0.375m處此題還可用假設(shè)法求解.針對訓(xùn)練1.半徑為R的金屬球與大地相連，距球心L處有一帶電量為+q的點電荷如圖4—15所示.求（1）球上感應(yīng)電荷的總電量；（2）q受到的庫侖力.TOC\o"1-5"\h\z2.如圖4—16R=400,R=800,R=50,R=100,R=400,R=990123456R=1010,R=200，求ab之間的電阻.78圖4—16圖4—17圖圖4—16圖4—17圖4—18電路如圖4—17所示，R=R=R=R=30時，R=10，求AB間的等效電13452阻.有9個電阻聯(lián)成如圖4—18電路，圖中數(shù)字的單位是0，求PQ兩點間的等效電阻.如圖4—20所示，由5個電阻聯(lián)成的網(wǎng)絡(luò)，試求AB兩點間的等效電阻.由7個阻值均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖4—21甲所示.由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無限梯形網(wǎng)絡(luò)如圖4—21乙所示?試求P、Q兩點之間的等效電阻.圖4—21甲Of圖4—21甲Of豐圖4—21乙圖4—22表示一交流電的電流隨時間而變化的圖像，此交流電流有效值是（）A.5V2Ab.5AC.3.5巨AD.3.5A圖4—22圖4—22圖4—23圖4—24磁流體發(fā)電機(jī)的示意圖如圖4—23所示，橫截面為距形的管道長為L，寬為a，高為b,上下兩個側(cè)面是絕緣體，相距為a的兩個側(cè)面是電阻可忽略的導(dǎo)體，此兩導(dǎo)體側(cè)面與負(fù)載電阻RL相連.整個管道放在一個勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,方向垂直于上下側(cè)

面向上.現(xiàn)有電離氣體(正、負(fù)帶電粒子)持續(xù)穩(wěn)定的流經(jīng)管道，為了使問題簡化，設(shè)橫截面上各點流速相同.已知流速與電離氣體所受的壓力成正比；且無論有無磁場存在時，都維持管道兩端電離氣體的壓強(qiáng)差皆為p.設(shè)無磁場存在時電離氣體的流速為v0.求有磁場存在時流體發(fā)電機(jī)的電動勢的大小&.已知電離氣體的平均電阻率為P.—勻質(zhì)細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，總電阻為R,半徑為a,圓環(huán)內(nèi)充滿方向垂直于環(huán)面的勻強(qiáng)磁場，磁場以速率K均勻地隨時間增強(qiáng)，環(huán)上的A、D、C三點位置對稱.電流計G連接A、C兩點，如圖4—24所示，若電流計內(nèi)阻為R/求通過電流計的電流大小圖4—25固定在勻強(qiáng)磁場中的正方形導(dǎo)線框abed，各邊長為L1，其中ab是一端電阻為R的均勻電阻絲，其余三邊均為電阻可忽略的銅線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B方向垂直紙面向里，現(xiàn)有一與ab段的材料、粗細(xì)、長度都相同的電阻絲PQ架在導(dǎo)線框上，如圖4—25所示，以恒定的速度v從ad滑向be,當(dāng)PQ滑過1/3L的距離時，通過aP段電阻絲的電流是多大？方向如何?圖4—25如圖4—26所示，一根長的薄導(dǎo)體平板沿x軸放置，板面位于水平位置，板的寬度為L,電阻可忽略不計，aebefd是圓弧形均勻?qū)Ь€，其電阻為3R,圓弧所在的平面與x軸圓弧ae=eb=ef=fd=(1/8)圓周長，圓弧be=(1/4)圓弧ae=eb=ef=fd=(1/8)圓周長，圓弧be=(1/4)圓周長，一內(nèi)阻R=nR的體積很小圖4—26g圖4—26的電壓表位于圓弧的圓心o處，電壓