常微分方程練習題

常微分方程練習題

習題一一、單項選擇題.TOC\o"1-5"\h\z.微分方程yf-29，_/的階數(shù)是（ ）.A.1B.2C.3D.5.克萊羅方程的一般形式是（ ）.A.y=xy'+①（y'） B.x=Xy'+①（y）\o"CurrentDocument"C. D.y=xy+9（x） x=xy+①（y）.下列方程中為全微分方程的是（ ）.B.xdy-ydx=0A.xdy-ydxB.xdy-ydx=04.x+yC.xdy-ydx=04.x+yC.xdy-ydx=0D.用待定系數(shù)法求方程y〃-2y，+y=x2'.x2dy+y2dx=0的特解*時，下列

y*特解的設(shè)法正確的是（).A.yA.y*=(ax2+bx+c)exC.y*=x2(ax+b)exB.y*=x(ax2+bx+c)exD.y*=x2(ax2+bx+c)ex5.Lipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的（）條件.A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題.方程受xtany的所有常數(shù)解是..函數(shù)13+x2"滿足的一階方程y十十C5 2

TOC\o"1-5"\h\z是 ..設(shè)y-二—小為某一常系數(shù)二階1 2 3非齊次方程的三個解，則此方程為 ,.方程——滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是dx.系統(tǒng)hr%的零解的是三、求下列一階微分方程的通解.dyv—+—+4x2>2+1=0dxx2?dy——+y=>2(cosx-sinx)dx' '(x+2y)dx-xdy=0.四、求下列高階方程的通解._iy+y COSX2.試用觀察法求方程aww」,，\_。的通解.-hixjy十_y——y_u,XX2五、求解微分方程組x=y-5zy'=-5x+3yz=x-3z五、求解微分方程組dx六、判定系統(tǒng)大一2戶的零解穩(wěn)定性.—=-3x3+J3[dt七、證明題1.設(shè)/⑴ *^[0, +8)'Llim于(%)=0，]!X—>+00⑥+丫外X)的任意解 C均有1C鏟—+y=JW y=y(x) hmy(x)=0Xf+82.假設(shè)不是矩陣a的特征值,試證非齊線性方程組m AdX_AXdX_AX+mJ有一解形如: 十e^mfr^^dt一、單項選擇題平(t)=Pemt.其中c,P是常數(shù)向量.習題二TOC\o"1-5"\h\z.微分方程3二y2+X2的階數(shù)是（ ）.dxA.1B.2C.3D.4.克萊羅方程的一般形式是（ ）.A.y=xy'+①（y'） B.X=xy'+①（y'）\o"CurrentDocument"C. D.y=xy+中（x） x=xy+①（y）.Lipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的（）條件.A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.〃階齊次線性常微分方程的任意n+1個解必定（）.A.可組成方程的一個基本解組 B.線性相關(guān)C.朗斯基行列式不為0 D.線性無關(guān)5.用待定系數(shù)法求方程的特解5.用待定系數(shù)法求方程的特解*時，

y*下列特解的設(shè)法正確的是（ ）.B.A.則用這兩個解可把其通解表示滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域條件是B.A.則用這兩個解可把其通解表示滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域條件是y*=x(ax2+bx+c)ey*=x(ax2+bx+c)exy*-x2(ax+b)ex .y*=x2(ax2+bx+c)ex二、填空題..當 時，微分方程一、…為n牛 vc21y-P(x)y+Q(x)y」-伯努利方程.2?在方程x,，+p(t)x，+q(t)x-。中，當系數(shù)滿足條件時，其基本解組的朗斯基行列式等于常數(shù)..若y可1(x),yq2(r)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，為.方程是.設(shè)一,，丫⑺AY⑴是區(qū)間I上線性齊次微分方程的TOC\o"1-5"\h\zxI JL(x),/a,JL(x) / n0 1 n個解，則…)AY(x)在區(qū)間/上線性相關(guān)的J(x)，八,J(x) I1n向量組Y(x)AY(x)線性相關(guān).(九), , (九)0 n0三、求下列一階微分方程的通解.\o"CurrentDocument"x+yxy-y=(x+y)ln xdy,+y-y2(cosx-sinx)dx(y-e-x+ey)dx+(1+ey)dy-0四、求下列高階方程的通解..y2-xy+y-0cosx2?y〃+y-，cosx dx 五、求解微分方程組正二5y+4x的通解.1dy. .——=4y+5x〔dt-dx六、判定系統(tǒng)3-y3的零解穩(wěn)定性.1dy-=-3x3+y3〔dt七、證明題.1?設(shè)小,y)及變連續(xù)，試證方程dy-f(x,y40為線性方程dy的充要條件是它有僅依賴與的積分因子.2.設(shè)在方程d2y+"y+()。中，在區(qū)間,上連續(xù)+p(x)—+q(x)y=0 p(x) Idx2dx且恒不為零，試證它的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間/上嚴格單調(diào)函數(shù).習題三一、單項選擇題..微分方程y”=x+x叱的階數(shù)是().A.1B.2C.3D.5.下列方程中為全微分方程的是( ).A.xdy-ydx_0

A.xdy-ydx_0

x+yx2+y2C.xdy-ydx_0D.C.xdy-ydx_0D.x2dy+y2dx_03.非齊次微分方程C.3.非齊次微分方程C.伯努利方程D.里卡蒂方微分方程y_P(x)y+Qx)yn，當n_1時為( ).A.一階線性齊次微分方程 B.一階線性

程4.(Lipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的)條件.A.充分條件C.充要條件B.必要條件D.既不充分也不必要條件5.用待定系數(shù)法求方程下列特解的設(shè)法正確的是(y〃-2程4.(Lipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的)條件.A.充分條件C.充要條件B.必要條件D.既不充分也不必要條件5.用待定系數(shù)法求方程下列特解的設(shè)法正確的是(y〃-2y,+y=(x2+2x)ex的特解y*時，A.C.y*=(ax2+bx+c)exy*=x2(ax+b)ex).B.D.y*=x(ax2+bx+c)exy*=x2(ax2+bx+c)ex二、填空題.L函數(shù)x-ccost+csint(其中c,1 2 1為任意常數(shù))滿足的一階方程是2-是"^7設(shè)方程tanydx-cotxdy_0所有常數(shù)解為某一常系數(shù)二階y=xex+e2x,y=xex+e-x,y=xex+e-x+e2x’非齊次方程的為個解，則此方程4?方程y，=L域是 ?滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)5?與初值問題x,+2x，+7tx=e-，,x(1)=7,x，⑴7等價的一階方程組的初值問題為 ^三、求下列一階微分方程的通解.1.(x2-1)y+2xy2=0

2?dy” .、——+y=y2(cosx-smx)dx3?(x+4y)yf=2x+3y+5四、求下列高階方程的通解.t^x"—2tx+2x=02。xm+x>>-2x=0五、求解微分方程組的通解.jy=-jx+jyz=x-3zdx六、判定系統(tǒng)潺二一…"的零解穩(wěn)定性.—=-3x3+y3、dt七、證明題.1.設(shè)/⑴在［0,+co)I: hm于(x)=0，1 11!dy ?、的任意解 「均有r「八.—+y=fMH y=y(x)-Qhmy(x)=0尢f+82.證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數(shù).習題四一、單項選擇題.微分方程的通解中含有任意常數(shù)的個數(shù)為y-xy十人乙().A.1 B.2 C.3 D.4.當〃=1時，微分方程"須)y=q(x)中最確切的名稱為B.伯努利()B.伯努利A.一階線性齊次微分方程

方程C.一階線性非齊次微分方程 D.里卡蒂方程.Lipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的()條件.A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.在整個數(shù)軸上線性無關(guān)的一組函數(shù)為(),B.0,x,

D.

B.0,x,

D.

e2-x,,_x2ex的特解，.時，下列yx^ex yx,x+1,x-1C.ex+2,ex-2.用待定系數(shù)法求方程”,2優(yōu)y-2y特解的設(shè)法正確的是()特解的設(shè)法正確的是().A.y*A.y*—(ax2+bx+c)exC.y*—x2(ax+b)ex二、填空題.B.y*—x(ax2+bx+c)exD.y*—x2(ax2+bx+c)ex1.方程1.方程ttanydx-cotxdy=0所有常數(shù)解2.若…⑴是一階線性非齊次方程的兩個不y—y(x), y—y(x)同解，則用這兩個解可把其通解表示為3為3?方程y-滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 ^.已知，和.是二階齊次線性方程〃?小。的cost Sint x+a(t)x4b(t)x=0Mv兩個解，貝L⑺. ..如果常系數(shù)線性方程組X，瓜的特征值的實部都是X—AX負數(shù)，則該方程組的任一解當一+8時收斂td十于.、求下列一階微分方程的通解TOC\o"1-5"\h\zdy y y=—+tan—

dx x xdyyx2——=——+—dx 2x2y\o"CurrentDocument"、「、，八(y-e-x+ey)d