高中數(shù)學第二章函數(shù)教案2

課題：函數(shù)的單一性2教課目標：1..穩(wěn)固函數(shù)單一性的觀點；嫻熟掌握證明函數(shù)單一性的方法和步驟；初步認識復合函數(shù)單一性的判斷方法.會求復合函數(shù)的單一區(qū)間.明確復合函數(shù)單一區(qū)間是定義域的子集.教課要點：嫻熟證明函數(shù)單一性的方法和步驟.教課難點：單一性的綜合運用講課種類：新講課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教課過程：一、復習引入：1.關于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的隨意兩個自變量的值x1,x2⑴若當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；⑵若當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).2.若函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間擁有（嚴格的）單一性，這一區(qū)間叫做函數(shù)yf(x)的單一區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單一函數(shù).3.判斷證明函數(shù)單一性的一般步驟是：⑴設x1,x2是給定區(qū)間內(nèi)的隨意兩個值，且x1<x2；⑵作差f(x1)－f(x2)，并將此差式變形（要注意變形的程度）；⑶判斷f(x1)－f(x2)的正負（要注意說理的充分性）；⑷依據(jù)f(x1)－f(x2)的符號確立其增減性.二、解說新課：1．函數(shù)單一性的證明例1．判斷并證明函數(shù)f(x)x3的單一性證明：設x1x2則∵x1x2∴x1x20，x12x1x2x22(x1x2)23x220,24∴f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)（注：要點f(x1)f(x2)0的判斷）∴f(x)x3在R上是增函數(shù).2．復合函數(shù)單一性的判斷關于函數(shù)yf(u)和ug(x)，假如ug(x)在區(qū)間(a,b)上是擁有單一性，當x(a,b)時，u(m,n)，且yf(u)在區(qū)間(m,n)上也擁有單一性，則復合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b)擁有單一性的規(guī)律見下表：yf(u)ug(x)yf(g(x))

增↗減↘增↗減↘增↗減↘增↗減↘減↘增↗以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.證明：①設x1,x2(a,b)，且x1x2∵ug(x)在(a,b)上是增函數(shù)，∴g(x1)g(x2)，且g(x1),g(x2)(m,n)∵yf(u)在(m,n)上是增函數(shù)，∴f(g(x1))g((x2)).所以復合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)②設x1,x2(a,b)，且x1x2，∵ug(x)在(a,b)上是增函數(shù)，∴g(x1)g(x2)，且g(x1),g(x2)(m,n)∵yf(u)在(m,n)上是減函數(shù)，∴f(g(x1))g((x2)).所以復合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)③設x1,x2(a,b)，且x1x2，∵ug(x)在(a,b)上是減函數(shù)，∴g(x1)g(x2)，且g(x1),g(x2)(m,n)∵yf(u)在(m,n)上是增函數(shù)，∴f(g(x1))g((x2)).所以復合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)④設x1,x2(a,b)，且x1x2，∵ug(x)在(a,b)上是減函數(shù)，∴g(x1)g(x2)，且g(x1),g(x2)(m,n)∵yf(u)在(m,n)上是減函數(shù)，∴f(g(x1))g((x2)).所以復合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)例2．求函數(shù)y82(2x2)(2x2)2的值域，并寫出其單一區(qū)間解：題設函數(shù)由y82uu2和u2x2復合而成的復合函數(shù)，函數(shù)u2x2的值域是(,2]，在(,2]y82uu29(u1)2上的值域是(,9].故函數(shù)y82(2x2)(2x2)2的值域是(,9].關于函數(shù)的單一性，不難知二次函數(shù)y82uu2在區(qū)間(,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間二次函數(shù)

[1,)上是增函數(shù)；u2x2區(qū)間(,0)上是減函數(shù)，在區(qū)間[0,)上是增函數(shù)當u(,1)時，2x2(,1)，即2x21，x1或x1.當u[1,)時，2x2[1,)，即2x21，1x1.yyu(,1)，[1,0)[0,1)，[1,)上考慮所以，此題應在四個區(qū)間，u2x2①當x(,1)時，u2x2(,1)，xuy82uu2y82(2x2)(2x2)2而u2x2在(,1)上是增函數(shù)，y82uu2在(,1)上是增函數(shù)，所以，函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間(,1)上是增函數(shù)②當x[1,0)時，u2x2[1,)，而u2x2在[1,0)上是增函數(shù)，y82uu2在[1,)上是減函數(shù)，所以，函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[1,0)上是減函數(shù)③當x[0,1)時，u2x2(1,)，而u2x2在[0,1)上是減函數(shù)，y82uu2在(1,)上是減函數(shù)，所以，函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[0,1)上是增函數(shù)④當x[1,)時，u2x2(,1]，而u2x2在[1,)上是增函數(shù)，y82uu2在(,1]上是減函數(shù)，所以，函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[1,)上是減函數(shù)綜上所述，函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間(,1)、[0,1)上是增函數(shù)；在區(qū)間[1,0)、(,1]上是減函數(shù)此外，此題給出的復合函數(shù)是偶函數(shù)，在議論擁有奇偶性的函數(shù)的單一性時，應注意應用其奇