第三量子力學初步

第三量子力學初步第一頁，共六十頁，2022年，8月28日第三章量子力學初步玻爾的原子理論很好的解釋了氫原子光譜、類氫離子光譜儀及堿金屬原子光譜的實驗事實，但是這個理論還是半經(jīng)典半量子的理論。玻爾理論的困難，迫使新一代物理學家努力尋找更完整、更準確、應用面更為廣泛的原子理論。一門描述原子的嶄新理論——量子力學在1924-1928年誕生了！第二頁，共六十頁，2022年，8月28日從經(jīng)典物理到現(xiàn)代物理概述物理學經(jīng)典物理近代物理力學熱學電磁學光學相對論量子論時間t關鍵概念的發(fā)展力學電磁學熱學相對論1600170018001900量子論原子物理學第三頁，共六十頁，2022年，8月28日到19世紀末，經(jīng)典物理已經(jīng)建立了比較完整的理論體系，并取得了極大的成功。經(jīng)典物理學的完善力學：牛頓定律電磁學：完備的麥克斯韋方程組光學：統(tǒng)一于電磁學熱力學：建立了系統(tǒng)的理論統(tǒng)計物理對熱現(xiàn)象的研究已建立在微觀元過程的基礎之上物理學的發(fā)展第四頁，共六十頁，2022年，8月28日量子理論的提出從1900年開始愛因斯坦薛定諤、海森堡、狄拉克到20世紀30年代，建立了完整的量子力學理論基本粒子→宇宙星體、宇宙的形成英開爾文：“物質(zhì)世界的規(guī)律已呈現(xiàn)出一幅完美清晰的畫面，后輩人只需增加有效數(shù)字，對現(xiàn)有的科學大廈做修修補補的工作。”但他有一點擔心：“物理學晴朗的天空中有兩朵小小的烏云——黑體輻射和邁克爾遜—莫雷實驗。邁克爾遜—莫雷實驗狹義相對論黑體輻射量子理論德布羅意普朗克第五頁，共六十頁，2022年，8月28日3.1波粒二象性一、光的波粒二象性1.黑體輻射普朗克能量子假定實驗表明：一切物體都以電磁波的形式向外輻射能量。單色輻出度M—輻射能量按波長的分布單位時間、單位表面積、上所輻射出的，單位頻率間隔中的能量。實驗表明輻射能力越強的物體，吸收能力也越強黑體：能完全吸收各種波長電磁波而無反射維恩設計的黑體第六頁，共六十頁，2022年，8月28日紫外災難維恩公式（經(jīng)典熱力學）維恩線瑞利－金斯線瑞利－金斯公式（經(jīng)典電磁學）“紫外災難（發(fā)散）”普朗克公式（猜、湊）在全波段與實驗結果符合！普朗克線實驗曲線h=6.6260755×10-34J·s一、光的波粒二象性第七頁，共六十頁，2022年，8月28日E=nhn＝0,1,2,3，…用玻耳茲曼分布律計算的能量平均值為振子只能一份一份地按不連續(xù)方式輻射或吸收能量普朗克假說不僅圓滿地解釋了絕對黑體的輻射問題，還解釋了固體的比熱問題等等。它成為近代理論的重要組成部分。一、光的波粒二象性第八頁，共六十頁，2022年，8月28日2.光電效應紅限問題瞬時性問題—光電效應方程3.光的波粒二象性粒子性：能量

，動量P波動性：波長，頻率一、光的波粒二象性VA第九頁，共六十頁，2022年，8月28日微觀粒子和光子一樣，在一定的條件下顯示出波動性。具有一定能量E和一定動量p的自由粒子，相當于具有一定頻率和一定波長的平面波，二者之間的關系為：二、實物粒子的波粒二象性德布羅意假設式中，：角頻率；：傳播方向上的單位矢量：波矢量粒子的德布羅意波長：3.1波粒二象性第十頁，共六十頁，2022年，8月28日計算電子經(jīng)過U1=100V和U2=10000V電壓加速后的德布羅意波長λ1和λ2各是多少？電子動能考慮相對論效應劉翔的波動性二、實物粒子的波粒二象性第十一頁，共六十頁，2022年，8月28日三、德布羅意假設的實驗驗證1927年，戴維遜和革末，用電子束垂直投射到鎳單晶，電子束被散射。其強度分布可用德布羅意關系和衍射理論給以解釋，從而驗證了物質(zhì)波的存在。dq德布羅意波長λ＝1.67×10－10m二、實物粒子的波粒二象性第十二頁，共六十頁，2022年，8月28日電子通過多晶薄膜的衍射實驗電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實驗1927年湯姆遜1961年約恩遜1937年諾貝爾獎forhisdiscoveryofthewavenatureofelectronsTheNobelPrizeinPhysics1929L.deBroglie(1892-1987)二、實物粒子的波粒二象性第十三頁，共六十頁，2022年，8月28日一.關于粒子的波粒二象性德布羅意波的本質(zhì)是什么？1.經(jīng)典物理中的粒子和波粒子：“原子性”或“整體性”，確定的位置、速度、運動軌跡波：某種實在的物理量的空間分布在作周期性的變化“干涉”、“衍射”、“偏振”、“可疊加性”3.2波函數(shù)及其物理意義第十四頁，共六十頁，2022年，8月28日2.電子雙縫衍射現(xiàn)象12一束電子入射電子一個一個入射跟光的衍射現(xiàn)象相同跟一束電子入射現(xiàn)象相同3.2波函數(shù)及其物理意義第十五頁，共六十頁，2022年，8月28日單個電子的去向是概率性的。明紋處：→光子、電子到達的數(shù)量多→粒子到達該處的概率大→波動性的本質(zhì)：粒子在空間出現(xiàn)的概率性，概率波是不是電子之間的干涉？困擾人們2年的問題波包？波恩的解釋：概率是多少？電子運動的軌跡？以幾率形式存在于空間中，并沒有確定的軌道！3波函數(shù)的物理意義第十六頁，共六十頁，2022年，8月28日兩個啟示幾率和光強明紋處：幾率大→電子的數(shù)量多→光強大光強和振幅光強是振幅的平方4.概率波與概率幅粒子到達該處的概率→光的強度→概率波的強度也應與波函數(shù)中振幅平方成正比（與經(jīng)典波類比）定義：時刻t，在點（x,y,z)

附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒

子的概率概率密度——概率幅——波函數(shù)Ψ稱為概率幅(概率波幅)概率是多少？第十七頁，共六十頁，2022年，8月28日對機械波有（實部）描述粒子的波函數(shù)是否可以用機械波函數(shù)的形式？復數(shù)空間波函數(shù)滿足的條件歸一化條件常數(shù)因子不變性：Ψ與CΨ可以描述同一個態(tài)相因子不變性：與可以描述同一個態(tài)4.概率波與概率幅第十八頁，共六十頁，2022年，8月28日125.態(tài)的疊加1縫單獨開：2縫單獨開：應為概率幅疊加（態(tài)疊加原理）——交叉項即為干涉項1、2都開：第十九頁，共六十頁，2022年，8月28日6.波粒二象性粒子性共同點：顆粒性，具有質(zhì)量、電量等屬性不同點：經(jīng)典：遵循決定論，沿確定的軌道量子：不遵循決定論，無確定的軌道以幾率的形式出現(xiàn)。波動性共同點：遵循波動定律，相干疊加性不同點：經(jīng)典：某種實在的物理量的空間分布在作周期性的變化量子：不對應物理量，概率波。3.2波函數(shù)及其物理意義第二十頁，共六十頁，2022年，8月28日§3.3測不準原理一.不確定關系的物理表述及物理意義x表示粒子在x方向上位置的不確定范圍，px表示在x方向上動量的不確定范圍，其乘積不得小于一個常數(shù)。即粒子不可能同時具有確定的位置和動量。若粒子的能量狀態(tài)是完全確定的，即E=0，則粒子停留在該態(tài)的時間為無限長，t=。經(jīng)典力學中：粒子具有確定的速度、動量、能量量子力學中：物質(zhì)波是概率波，粒子不再具有確定的位置，也就不具有確定的動量第二十一頁，共六十頁，2022年，8月28日apxyXp二.不確定關系的簡單推證第二十二頁，共六十頁，2022年，8月28日根據(jù)單縫衍射公式半角寬：上述討論只是反映不確定關系的實質(zhì)，并不表示準確的量值關系。量子力學嚴格證明給出：電子位置的不確定量y＝a電子通過單縫后，動量在y方向上的改變量，即動量的不確定py=p·sin=sin·h/

y·py=h縫寬a越小，中央明紋分布越寬asin=λy·py＞h考慮級次較大的條紋得：二.不確定關系的簡單推證第二十三頁，共六十頁，2022年，8月28日量子力學給出不確定關系：1927年海森堡提出不確定關系如果測量一個粒子的位置的不確定范圍，則同時測量其動量也有一個不確定范圍p，且滿足:1932年獲諾貝爾獎解釋譜線的自然寬度估算氫原子可能具有的最低能量第二十四頁，共六十頁，2022年，8月28日§3.4薛定諤方程尋找波函數(shù)滿足的動力學方程第二十五頁，共六十頁，2022年，8月28日回顧:波動的動力學方程由一維平面波函數(shù)第二十六頁，共六十頁，2022年，8月28日一.自由粒子薛定諤方程的建立一維自由粒子波函數(shù)微分,得到方程得一維自由粒子的薛定諤方程第二十七頁，共六十頁，2022年，8月28日推廣到勢場U(x,t)中的粒子三維情況：薛定諤方程為：第二十八頁，共六十頁，2022年，8月28日E為能量二、定態(tài)薛定諤方程能量不隨時間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。設作用在粒子上的力場不隨時間改變，即勢能中不顯含時間t，將其代入方程：波函數(shù)分離變量：

解出：第二十九頁，共六十頁，2022年，8月28日定態(tài)波函數(shù)的形式:1．定態(tài)中E不隨時間變化，粒子有確定的能量2．定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時間變化空間運動的自由粒子:3.自然條件：單值、有限和連續(xù)----定態(tài)薛定諤方程第三十頁，共六十頁，2022年，8月28日0xU(x)=0a§3.5一維問題的薛定諤方程解例1：一個粒子在如圖所示的勢場中運動，它的勢能為

這種勢場稱為一維無限深勢阱。在一維無限深勢阱中粒子如何運動？它的波函數(shù)如何？能量如何？第三十一頁，共六十頁，2022年，8月28日解：由于粒子做一維運動，所以有

由于勢能中不顯含時間，故用定態(tài)薛定諤方程求解。方程的完整解為一維定態(tài)薛定諤方程為第三十二頁，共六十頁，2022年，8月28日1．方程的通解(1)所以波函數(shù)為零，即粒子不可能跑到阱外去，(2)

時，，方程為令二階齊次微分方程，它的通解為式中A、B為兩常數(shù)。

第三十三頁，共六十頁，2022年，8月28日2．常數(shù)的確定及能量量子化根據(jù)波函數(shù)的標準條件，波函數(shù)應連續(xù)，

，(？)當時，表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。第三十四頁，共六十頁，2022年，8月28日因為結果說明粒子被束縛在勢阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。結論：(1)能量本征值基態(tài)能量：——本征能量值，n稱為量子數(shù)第三十五頁，共六十頁，2022年，8月28日由歸一化條件(2)本征函數(shù)系一維無限深方勢阱中運動的粒子其波函數(shù)：——本征函數(shù)，本征態(tài)第三十六頁，共六十頁，2022年，8月28日駐波動量：波長：(3)概率密度(4)動量和波長可得波函數(shù)的物理意義：處在不同能級的粒子，在勢阱中的幾率分布不同。第三十七頁，共六十頁，2022年，8月28日o一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度穩(wěn)定的駐波能級n+1個節(jié)點第三十八頁，共六十頁，2022年，8月28日一維諧振子的哈密頓算符為體系的薛定諤方程為能級為波函數(shù)一維諧振子U(x)x第三十九頁，共六十頁，2022年，8月28日隧道效應及勢壘貫穿勢壘0aU0ⅠⅡ

ⅢⅢ區(qū)U(x)=0x≥aⅠ區(qū)U(x)=0x≤

0Ⅱ區(qū)U(x)=U00≤x≤

aEⅠⅢ經(jīng)典：粒子動能E<U0時，粒子不能越過勢壘Ⅱ區(qū)而到達Ⅲ區(qū)。或者說，在Ⅱ、Ⅲ區(qū)域發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為零。

粒子動能E〉U0時，粒子全部進入Ⅲ區(qū)域。第四十頁，共六十頁，2022年，8月28日0a

ⅠⅡⅢEEΨ1Ψ20aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)Ψ3隧道效應波穿過勢壘后,將以平面波的形式繼續(xù)前進()量子力學結果：

第四十一頁，共六十頁，2022年，8月28日討論(1)E>U0,

R≠0,即粒子總能量大于勢壘高度，入射粒子也并非全部透射進入III

區(qū),仍有一定概率被反射回I

區(qū)。0a

U0ⅠⅡ

ⅢE第四十二頁，共六十頁，2022年，8月28日(2)E<U0

,

T≠0,即粒子總能量小于勢壘高度，入射粒子仍可能穿過勢壘進入III區(qū)—隧道效應，它是粒子波動性的表現(xiàn)。透射系數(shù)T隨勢壘寬度a、粒子質(zhì)量m和能量差變化，隨著勢壘的加寬、加高，透射系數(shù)減小。

第四十三頁，共六十頁，2022年，8月28日1.氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子中電子的電勢能

U和方向無關，為中心力場U(r)

3.6氫原子的量子力學處理球坐標的定態(tài)薛定諤方程第四十四頁，共六十頁，2022年，8月28日2.能量量子化采用分離變量的方法可解得原子的能量為主量子數(shù)——主量子數(shù)n和能量有關

n=1，2，3，……設波函數(shù)形式為第四十五頁，共六十頁，2022年，8月28日3.角動量量子化原子中電子的軌道角動量大小為4.角動量的空間量子化解方程得出電子的軌道角動量在Z方向的分量是磁量子數(shù)ml——決定軌道角動量在Z方向投影對同一個l角動量Z方向分量可能有2l+1個不同值角量子數(shù)l——決定電子的軌道角動量的大小第四十六頁，共六十頁，2022年，8月28日l=2對z軸旋轉對稱例：Lz0z角動量大小為Z方向分量有5種取值磁量子數(shù)有5種取值即角動量在z軸上僅能取分立的5種取值第四十七頁，共六十頁，2022年，8月28日本征波函數(shù)徑向角向電子在（n,l,ml）態(tài)下在空間

()處出現(xiàn)的概率密度是5.電子的概率分布角向波函數(shù)主量子數(shù)

n=1，2，3，……角量子數(shù)磁量子數(shù)第四十八頁，共六十頁，2022年，8月28日徑向概率密度：（1）徑向分布在r——的球殼內(nèi)找到電子的概率第四十九頁，共六十頁，2022年，8月28日第五十頁，共六十頁，2022年，8月28日第五