第2章隨機(jī)變量與分布函數(shù)

第2章隨機(jī)變量與分布函數(shù)2.1隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量及其分布列連續(xù)型隨機(jī)變量

2.2隨機(jī)變量函數(shù)的分布

離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

2.3二維隨機(jī)變量的相關(guān)分布

二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布及性質(zhì)二維離散型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量條件分布

2.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性

隨機(jī)變量的獨(dú)立性卷積公式極大極小值的分布精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【要點詳解】

§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)1．隨機(jī)變量

（1）定義①設(shè)E為隨機(jī)試驗，為其樣本空間，若對任意，有唯一實數(shù)X（ω）與之對應(yīng)，則稱X（ω）為隨機(jī)變量。②設(shè)X為一個隨機(jī)變量，對任意實數(shù)x，事件“X≤x”的概率是x的函數(shù)，記為F（x）=P(X≤x），這個函數(shù)稱為X的累積概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。（2）分布函數(shù)的基本性質(zhì)①0≤F(x）≤1；②③④F（x）是非減函數(shù)，即對任意x1<x2，有F（x1）≤F（x2）；⑤F（x）是右連續(xù)函數(shù)，即F（x）=F（x+0），其中F（x+0）是函數(shù)在點x處的右極限，對任意給定的x，取一個下降數(shù)列｛xn｝，使其極限為x，即

x1>x2>…xn>…→x（n→∞）則

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.1】設(shè)F1（x），F(xiàn)2（x）分別為隨機(jī)變量X1，X2的分布函數(shù)，為使F（x）=aF1（x）-bF2（x）是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，a，b的可能取值為（）。

A．1，－0.2B．0.9，－0.3C．0.8，－0.4D．0.7，－0.3E．0.6，0.5

【答案】D【解析】由分布函數(shù)的性質(zhì)知，，所以。5個選項中，只有D項滿足這個要求。

【例題2.2】隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，則常數(shù)A與B分別為（）。A．B．C．D．E．

【答案】B

【解析】因為所以精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．離散型隨機(jī)變量及其分布列

（1）定義①若隨機(jī)變量X只取有限個可能值或至多可列個可能值x1，x2，…，xi，…，假如X取xi的概率為

P（X=xi）=pi≥0，i=1，2，…且滿足如下條件：則稱｛pi｝為隨機(jī)變量X的概率分布列（簡稱分布列）。②離散型隨機(jī)變量X的分布列也可用下表表示：

說明：隨機(jī)變量的分布列與隨機(jī)變量的分布函數(shù)不是同一個概念，但它們可相互確定。③離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的計算公式：

【例題2.3】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如下所示。則常數(shù)a＝（）。A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4E．0.5

【答案】D

【解析】隨機(jī)變量X取有限個值，X的概率分布滿足，即0.3＋0.1＋a＋0.2=1，解得a=0.4。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

（2）幾種常見的離散型隨機(jī)變量①（0-1）分布

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，它的分布列是則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布或兩點分布。（0-1）分布的分布列也可寫成如下所示。②二項分布若令X為n重伯努利試驗中成功的次數(shù)，則

Bn,k=“n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k次”=“X=k”其中X的取值為0，1，2，…，n，X取各個值的概率為將隨機(jī)變量X服從二項分布記為X～B（n，p）。

③泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0，1，2，…，而取各個值的概率為：其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)。

?定理2-1（泊松定理）設(shè)λ>0是一個常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)npn=λ，則對于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.4】設(shè)X是參數(shù)為n=4和p=0.5的二項隨機(jī)變量，則P（X<2）為（）。A．0.2125B．0.3125C．0.6875D．0.7875E．0.8355

【答案】B

【解析】因為X~B（4,0.5），所以

【例題2.5】有100棟住房在2002年1月1日購買了火災(zāi)保險，假定每棟房子在今后一年之內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的概率都相等，為0.05，如果各棟房子是否發(fā)生火災(zāi)是相互獨(dú)立的，則在2002年內(nèi)只有不超過兩棟房子發(fā)生火災(zāi)的概率為（）。

A．0.05B．0.07C．0.09D．0.12E．0.13

【答案】D【解析】解法①：P＝P（沒有房子發(fā)生火災(zāi)）＋P（恰有1棟房子發(fā)生火災(zāi)）＋P（恰有2棟房子發(fā)生火災(zāi)）解法②：用Poisson逼近，λ=np=5，則

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

③幾何分布設(shè)X是一個無窮次伯努利試驗序列中事件A首次發(fā)生時所需的試驗次數(shù)，顯然X為一個離散型隨機(jī)變量，且可能的值為1，2，…。由試驗的獨(dú)立性，即可知X的分布列為稱概率分布列為上式的隨機(jī)變量X服從幾何分布。

?定理2-2（無記憶性）設(shè)X服從參數(shù)為p的幾何分布，則其中s，t是任意非負(fù)整數(shù)。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

④帕斯卡分布帕斯卡分布可用來描述在進(jìn)行的一系列獨(dú)立的伯努利試驗過程中要求得到r次成功時所需”等待時間”的分布。令隨機(jī)變量X表示第r次成功發(fā)生在第k次試驗，則其概率分布列為其中r為正整數(shù)，則稱X服從帕斯卡分布。顯然r=1時即為幾何分布。帕斯卡分布是負(fù)二項分布的一個特例，對于一般的負(fù)二項分布，r不必為正整數(shù)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

3．連續(xù)型隨機(jī)變量

（1）定義①設(shè)f（x）是定義在整個實數(shù)軸上的一個函數(shù)，如果它滿足如下兩個條件：

?f（x）≥0（非負(fù)）；

?（f（x）與橫軸所夾面積為1）；則稱f（x）為概率密度函數(shù)，或密度函數(shù)，有時也簡稱為密度。②連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)計算公式③連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系（2）連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）的基本性質(zhì)①連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）是（－∞，+∞）上的連續(xù)函數(shù)；②連續(xù)型隨機(jī)變量X僅取一點的概率為0，即P（X=a）=0，于是P（a<X≤b）=P（a≤X≤b）。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.6】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，則X落在區(qū)間（0.3，0.7）內(nèi)的概率等于（）。[2008年春季真題]

A．0.1341B．0.3C．0.4D．0.5621E．0.7778

【答案】C

【解析】由，得：A=1，故

【例題2.7】已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，且P{1<X<3}=0.25。則P{X>1.5}=（）。A．0.625B．0.4375C．0.3125D．0.1875E．0.0625

【答案】E

【解析】由概率密度的性質(zhì)及其定義，有：①又②聯(lián)立①②，解得a=－0.5，b=1。從而所以精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（3）幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量①均勻分布對a<b，如果X的密度是就稱X服從區(qū)間（a，b）上的均勻分布，記做X～U（a，b）。相應(yīng)的分布函數(shù)為：

【例題2.8】設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測，則至少2次觀測值大于3的概率等于（）。[2008年春季真題]

A．1/2B．20/27C．17/21D．7/11E．11/13

【答案】B

【解析】設(shè)Y為3次觀測值中觀測大于3的次數(shù)，由于，則，故所求概率為：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

②指數(shù)分布對正常數(shù)λ，如果X的密度是

就稱X服從參數(shù)λ的指數(shù)分布，記做X～Exp（λ）。相應(yīng)的分布函數(shù)為：

?定理2-3：設(shè)X服從參數(shù)λ的指數(shù)分布，則對任何s，t≥0，有

【例題2.9】某元件壽命X服從參數(shù)為λ（λ-1=1000）的指數(shù)分布，求3個這樣的元件使用1000小時后，都沒有損壞的概率是（）。A．e-1B．e-2C．e-3D．e-4E．e-5

【答案】C

【解析】由題意可知，元件壽命X服從指數(shù)分布：元件使用1000小時后，沒有損壞的概率為：由于3個元件的使用壽命是相互獨(dú)立的，所以在它們使用1000小時后，都沒有損壞的概率為：精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

③正態(tài)分布設(shè)μ是常數(shù)，σ是正常數(shù)，如果X的密度是就稱X服從參數(shù)為（μ，σ2）的正態(tài)分布，記做X～N（μ，σ2）。當(dāng)μ=0,σ2=1，X～N（0，1）時，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為：正態(tài)密度函數(shù)式的性質(zhì)：

?f（x）關(guān)于x=μ對稱；

?。

?對任何a<b，當(dāng)X～N（μ，σ2），有

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

④伽馬（Gamma）分布設(shè)α，β是正常數(shù)，由積分定義，它有如下性質(zhì)：

?

?（用分布積分法可得），當(dāng)α取整數(shù)n時，；

?（用變量替換法可得）。如果X的密度是：

就稱X服從參數(shù)為（a，β）的伽馬分布，記做。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

§2.2隨機(jī)變量函數(shù)的分布1．離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一般情況下，把Y=g（Xl，…，Xn）可以取的不同值找出來，把與某個值相應(yīng)的全部（Xl，…，Xn）值的概率加起來，即得Y取這個值的概率。

2．連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

（1）利用分布函數(shù)及其性質(zhì)，求Y=g（X）的概率密度的步驟為：①先設(shè)法利用X的分布函數(shù)求出Y的分布函數(shù)FY（y）；

②再求FY（y）對變量y的導(dǎo)數(shù)得Y的概率密度fY（y）；③最后按y=g（x）的定義域所決定的值域，確定出能使fY（x）>0的y值，即得隨機(jī)變量Y的可能取值。

（2）定理2-4設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX（x）和密度函數(shù)為fX（x），又設(shè)Y=g（X），其中函數(shù)g（·）是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，且導(dǎo)數(shù)g‘（·）存在，則Y的密度函數(shù)為：其中h（y）是y=g（x）的反函數(shù)，h'（y）是其導(dǎo)數(shù)。

說明：應(yīng)用定理2-4的關(guān)鍵在于寫出反函數(shù)，找出反函數(shù)后，立即可寫出隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.10】設(shè)X～N（0,1），則Y=X2的概率密度為（）。A．B．C．D．E．

【答案】C

【解析】先求Y的分布函數(shù)FY（y）。由于Y=X2≥0，故當(dāng)y≤0時，F(xiàn)Y（y）=0。當(dāng)y≥0時有將FY（y）關(guān)于y求導(dǎo)數(shù)，即得Y的概率密度為由于X～N（0,1），其概率密度為，所以Y=X2的概率密度為：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

§2.3二維隨機(jī)變量的相關(guān)分布1．二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布及性質(zhì)

（1）定義設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)向量，x，y是兩個任意實數(shù)，則稱二元函數(shù)

為（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。事件｛X≤x，Y≤y｝表示事件｛X≤x｝與事件｛Y≤y｝的交。（2）定理2-5：聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)向量，x，y是兩個任意實數(shù)，F(xiàn)（x，y）是（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，則F（x，y）具有下列五個基本性質(zhì)：①；

②F（x，y）對每個自變量都是單調(diào)非減的；③對一切實數(shù)x和y，則有

F（－∞，y）=F（x，－∞）=0，F(xiàn)（+∞，+∞）=1④F（x，y）對每個自變量都是右連續(xù)的；⑤對一切實數(shù)x1<x2，y1<y2，則有

F（x2，y2）-F（x1，y2）-F（x2，y1）+F（x1，y1）≥0

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（3）由（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)F（x，y），我們可以得到隨機(jī)變量X和Y各自的分布函數(shù)，即其中同樣，F(xiàn)Y（y）=F（+∞，y），其中我們把FX（x），F(xiàn)Y（y）稱為（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣分布函數(shù)。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．二維離散型隨機(jī)變量

（1）定義①如果二元隨機(jī)變量（X，Y）所有可能取的數(shù)對為有限或可列無限多個，并且以確定的概率取各個不同的數(shù)對，則稱（X，Y）為二元離散型隨機(jī)變量。②為直觀起見，可以把（X，Y）所有的可能取值及相應(yīng)概率列成表，稱為（X，Y）的聯(lián)合概率分布表。③為簡單計，也可以用一系列等式來表示二元離散型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率分布。

P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…上式也稱為X與Y的聯(lián)合分布列或聯(lián)合分布律。（2）聯(lián)合分布率的基本性質(zhì)①pij≥0；②

（3）二維隨機(jī)變量（X，Y）中，分量X（或Y）的概率分布稱為（X，Y）的關(guān)于X（或Y）的邊緣分布。已知（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，則顯然，pi。恰好是上表中第i行各概率的和。它表示不論Y取什么值，X取值xi的概率。對于p。j也同樣。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

3．二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）定義設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y）。若存在一個定義在R2上的非負(fù)可積函數(shù)f（x，y），使得對任意的有則稱（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f（x，y）稱為（X，Y）的概率密度或稱為X，Y的聯(lián)合概率密度。（2）f（x，y）的性質(zhì)①對任意的；②③若f（x,y）在（x,y）點連續(xù)，則④設(shè)D為R2上一個區(qū)域，則

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（3）對連續(xù)型隨機(jī)向量（X，Y），概率密度為f（x，y），在聯(lián)合分布函數(shù)定義中令y→+∞得關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)故分量X仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，X的概率密度就是（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度：同理，分量Y也是連續(xù)型的隨機(jī)變量，關(guān)于Y的邊緣概率密度為：【例題2.11】設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）有密度函數(shù)則常數(shù)A=（）。A．1/20B．1/10C．20D．10E．5

【答案】C

【解析】由概率密度具有的性質(zhì)可得

所以，A=20。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.12】設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為，則等于（）。[2008年春季真題]

A．12/33B．11/27C．12/25D．1/4E．2/3

【答案】D

【解析】

【例題2.13】設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為則等于（）。[2008年春季真題]

A．（1-e-3）（1-e-8）B．（1-e-4）（1-e-8）C．（1-e-5）（1-e-8）

D．（1-e-4）（1-e-7）E．（1-e-5）（1-e-6）

【答案】A

【解析】得C=12。故

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

4．條件分布

（1）二維離散型隨機(jī)變量的條件分布

若已知X=xi（pi>0），則事件{Y=yj}的條件概率為：上式為隨機(jī)變量Y關(guān)于隨機(jī)變量X的條件分布。（2）二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布

在給定X=x的條件下，Y的分布密度函數(shù)為：在給定Y=y的條件下，X的分布密度函數(shù)為:

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.14】設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為，則已知X=x，Y的條件密度為（）。[2008年春季真題]

A．B．C．D．

E．

【答案】B

【解析】當(dāng)時，，故

【例題2.15】隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為則P（X>2|Y<3）＝（）。A．0.029B．0.033C．0.037D．0.041E．0.045

【答案】E【解析】由題意可知：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

§2.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性1．隨機(jī)變量的獨(dú)立性

（1）定義設(shè)F（x，y）及FX（x），F(xiàn)Y（y）分別為二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對任意x，y，有

F（x，y）=FX（x）FY（y）

則稱隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立。（2）定理2-6①設(shè)（X，Y）為離散型隨機(jī)變量，pij=P{X=xi，Y=yj}，pi。=P{X=xi}，分別為X和Y的聯(lián)合分布列和邊緣分布列，則X和Y相互獨(dú)立的充分必要條件是：對一切i，j，下式成立

P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}即

②設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）有聯(lián)合概率密度f（x，y），邊緣概率密度fX（x）及fY（y），則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是在f（x，y）、fX（x）及fY（y）的一切公共連續(xù)點（x，y）處（即除開一個面積為零的集合外），有

f（x，y）=fX（x）fY（y）

說明：如果隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，那么，它們各自的函數(shù)g（X）與h（Y）也相互獨(dú)立。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.16】設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其概率分布為P（X=1）=1/2，P（X=－1）=1/2，P（Y=1）=1/2，P（Y=－1）=1/2，則下列選項中正確的是（）。[2008年春季真題]

A．X=Y

B．P（X=Y）=0

C．P（X=Y）=1/2

D．P（X=Y）=1E．以上選項都不正確

【答案】C

【解析】由題意可知：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.17】設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布，如下表所示。且X和Y相互獨(dú)立，則a，b的取值為（）。[2008年春季真題]

A．a(chǎn)=1/8，b=3/8B．a(chǎn)=1/3，b=2/3C．a(chǎn)=1/4，b=4/5D．a(chǎn)=1/7，b=3/7E．a(chǎn)=1/6，b=1/2

【答案】A

【解析】由得：故a=1/8，b=3/8精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．卷積公式

（1）定理2-7（泊松分布的可加性）設(shè)Xl～P（λ1），X2～P（λ2）且Xl與X2相互獨(dú)立，則Z=Xl+X2～P（λ