數(shù)列的概念（2）-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.1數(shù)列的概念（2）例4.圖中的一系列三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在圖中4個(gè)大三角形中，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

典例解析新知探究

新知探究概念解析通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別通項(xiàng)公式直接反映了an與n之間的關(guān)系,即已知n的值,就可代入通項(xiàng)公式求得該項(xiàng)的值an;遞推關(guān)系則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系,要求an,需將與之聯(lián)系的各項(xiàng)依次求出.

一、數(shù)列的遞推公式新知探究1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,小試牛刀新知探究1.數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.點(diǎn)睛(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必須注意它成立的條件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若當(dāng)n=1時(shí),a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)采用分段表示,即概念解析二、數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和新知探究分析由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值.題型一

由遞推公式求前若干項(xiàng)練習(xí)鞏固方法技巧由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)算即可.另外,解答這類問題時(shí)還需注意:若已知首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式;若已知末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式.練習(xí)鞏固變1已知數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3(n>1),且a1=0,則此數(shù)列的第5項(xiàng)是(

)A.15 B.255 C.16 D.63答案

B解析

因?yàn)閍1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.練習(xí)鞏固題型二

由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固方法技巧由遞推公式求通項(xiàng)公式常用的兩種方法(1)累加法:當(dāng)an=an-1+f(n),n>1時(shí),常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通項(xiàng)公式.練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固例3(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-2n2+10n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.題型三

由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式練習(xí)鞏固解

(1)∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1=-2+10=8=-4×1+12.此時(shí)滿足an=-4n+12,∴an=12-4n.(2)當(dāng)n≥2時(shí),a