一類函數(shù)最值問(wèn)題的解法探究

一類函數(shù)最問(wèn)題的解法究浙江省衢州市教育局教研室324000)興余形如

f

px

是一種特殊形式的函數(shù)，研究該函數(shù)的單調(diào)性，在解題中有十分重要的作用。一問(wèn)例：求

y

2

4sin

(

的最小值原解:

y

4sin

≥2

4

×2=4

∴

y

min二、探這是學(xué)生在練習(xí)中常見(jiàn)的一種解法個(gè)結(jié)論正確嗎？我們知道在應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件，即“一正——各項(xiàng)都是正數(shù)；二定——積或和是定值；三等——等號(hào)能否取得值時(shí)，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)導(dǎo)致解題的失敗。在本題中，當(dāng)

sin

2

4

，即sin

時(shí)不等式取=”，但|sin

，顯然

>1故不能使用定理怎么辦呢？我們不妨換一個(gè)角度思考問(wèn)題，利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解決，設(shè)sin

2

，其中

，則0<t而

y

4t

在

（可證明

y

4定義域是故ytt

在t=1時(shí)最小值時(shí)

，∴

y

2

4

的最小值為5由此可見(jiàn)，有些題目盡管形式是

x

1x

型的式子，即兩數(shù)之積為常數(shù)，但由于定義域的限制，不能使等號(hào)成立。如

y

1（x≥）的最小值，盡管x≥2但當(dāng)xxx

，即時(shí)“=”，卻不在其定義域數(shù)的單調(diào)性求解。三、質(zhì)

內(nèi)，因此不能使用定理。此時(shí)，我們可利用函函數(shù)

f

px

（p）有如下性質(zhì)：/

p2t10p2t101當(dāng)P＜，

f

px

在(－

0)和(

)上為增函數(shù)當(dāng)0時(shí)f在，】和【－x留給讀者）

p

，0)上為減函數(shù)，在

和四、用有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，可通過(guò)換元將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成

f

x

x

px

型的函數(shù)最值問(wèn)題，求解這類問(wèn)題通常有兩種思考方法一是用基本不等式求解要注意等號(hào)成立的條件二是當(dāng)?shù)忍?hào)不能成立時(shí)，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解。例1求函數(shù)

f

2sinx

的最大值。解析：設(shè)

t

sin

x

，則

f

1t

，

12

，由性質(zhì)1知

ft在0,上增函數(shù)，

122例2若不等式x－－＜（x－）對(duì)于x∈[，恒立，求的值圍。解析：由x∈[－1知x－＜則原問(wèn)題等價(jià)于對(duì)x∈[－，時(shí)<

x

2

x

恒成立。設(shè)t=4x，則t∈[3時(shí)＜－

t

恒成立，令f，性質(zhì)1得t

f在x∈，上單調(diào)遞增，∴

0f

13

故只要＜時(shí),原不等式對(duì)于∈[－，1]恒成立。例k在么范圍時(shí)，對(duì)于θ[0，

]總有不等式cos

2θ＋θ＜成？1993年?duì)枮I市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）解析：當(dāng)=

時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)k原等式恒成立當(dāng)[0，

]時(shí)，原不等式等價(jià)于2(1-k)＜

2

，

設(shè)1-Sinθ=t/

minmin則t∈，1)，原不等式等價(jià)于2(1-k)t+

2t

令f(t)=t+

2t

，由性質(zhì)2知f(t)在(0，1)上單調(diào)遞減f(t)=f(1)=1+1(-，∞2

=3，∴2(1-k)＜恒立?！啵?

12

∴的值范圍是例：已知a0，求:

a

417≥aa簡(jiǎn)證：原不等式可轉(zhuǎn)化為

a

4a

1a

4a

≥

174，∵＞，∴a4

4≥=4，當(dāng)a且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)，設(shè)

t

41則（≥4性質(zhì)知tatt

在

上為增函數(shù)，而

f

=

174a，即4aa2≥

174例5：求實(shí)的取值范圍，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x和任意

都有

2si

cos

1≥（年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題8解析：令

t

，則

t

，且

2sin

原式左=

2

≥

12

2

=

≥

18恒成立，即等價(jià)于

≥

153。解得，at或≤42tt5若a≥t,由性質(zhì)知ft=t在減數(shù)，而t2t

f

的定義域?yàn)?/p>

，故

f

77，∴a≥22若a≤

t

33則由基本不等式得t≥2t6當(dāng)且僅當(dāng)t2tt22時(shí)取等號(hào)，故

/

bvv=bvv=綜上所得，取值范圍為

6

∪

72

,

例6甲兩地相距s千汽從甲地勻速行駛到乙地速度不超過(guò)千∕已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成(元為單由可變部分和固定部分組,變部分與速v（千米?。┑钠椒匠烧缺壤禂?shù)為固定部分為元為使全程運(yùn)輸成本最,車應(yīng)以多大速度行駛？解析：設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,

y

s2v

(0<v≤∵s,a,b,v均正故s

≥

當(dāng)且僅當(dāng)

av

bv

即

v

ab

時(shí)上式中等號(hào)成立①若

aa≤則當(dāng)v時(shí),全運(yùn)輸成本y最b②若

ab

>c時(shí)則y=s

sb

a由質(zhì)2知y在

上為單調(diào)遞,而y=

sb

的定義域?yàn)?/p>

0,

∴時(shí)

全程運(yùn)輸成本y最綜上所知為使全程運(yùn)輸成本y最,

aa≤c時(shí)行駛速度b

；當(dāng)

ab

>c時(shí)行速度v=c評(píng)注：例5,例6兩題都有兩種情況,其中一部分使用基本不等