概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章

§1-5等可能概型

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等可能概型（古典概型）

第一章概率與隨機事件返回主目錄

考慮最簡單的一類隨機試驗，它們的共同特點是：

樣本空間的元素只有有限個；(有限性)

每個基本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性）1．等可能概型（古典概型）

我們把這類試驗稱為等可能概型，考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型。第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄設(shè)Ω={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，得又由于基本事件兩兩互不相容，所以第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄基本事件的概率:若事件A包含k個基本事件，即

例1將一枚硬幣拋擲三次。設(shè)：

事件A1=“恰有一次出現(xiàn)正面”第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄隨機事件的概率:則有：解：根據(jù)上一節(jié)的記號，E2的樣本空間

Ω2={HHH,

HHT,HTH,THH,

HTT,THTTTH,TTT},

A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，

A1={HTT,THT,TTH},

第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄求P(A1),P(A2)。

事件A2=“至少有一次出現(xiàn)正面”，n=8，即Ω2中包含有限個元素，且由對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同，屬于古典概型。

事件A2=“至少有一次出現(xiàn)正面”，A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

例2一口袋裝有

6只球，其中

4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機的取一只?？紤]兩種取球方式：

放回抽樣

第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。

不放回抽樣

第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。分別就上面兩種方式求：

1）取到的兩只都是白球的概率；

2）取到的兩只球顏色相同的概率；

3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。

第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

設(shè)A=“

取到的兩只都是白球”，

B=“

取到的兩只球顏色相同”，

C=“

取到的兩只球中至少有一只是白球”。

第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件。有放回抽取:

無放回抽取:第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

例3將

n

只球隨機的放入N(Nn)

個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。解：將

n

只球放入

N個盒子中去,共有而每個盒子中至多放一只球, 共有第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄該數(shù)學模型可用于許多實際問題：n(n365)個人在365天的生日,可看成是n個球放入365個盒子中。隨機取n人他們的生日各不相同的概率為因而，n個人中至少有兩人生日相同的概率為

如

“在一個有64人的班級里，至少有兩人生日相同”的概率為99.7%。np2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997經(jīng)計算可得下述結(jié)果：第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

例4設(shè)有

N

件產(chǎn)品，其中有

D

件次品，今從中任取

n件，問其中恰有

k

(kD)

件次品的概率是多少?又在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件產(chǎn)品中抽取n件，取法共有不放回抽樣（超幾何分布模型）1）第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄超幾何分布在產(chǎn)品檢驗中的應(yīng)用：

一、在N已知時，作抽樣檢查，抽出n件產(chǎn)品中恰有k件次品，問如何根據(jù)這個檢驗結(jié)果推斷產(chǎn)品的次品數(shù)？這就是“假設(shè)檢驗問題”。

二、在D已知時，作抽樣檢查，抽出n件產(chǎn)品中恰有k件次品，問如何根據(jù)這個檢驗結(jié)果推斷產(chǎn)品的總數(shù)N？這就是統(tǒng)計中的“最大似然估計問題”。2）有放回抽樣（二項分布模型）從N件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進行排列，可能的排列數(shù)為個，將每一排列看作基本事件，總數(shù)為。而在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

于是所求的概率為：此式即為二項分布的概率公式。第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

例5

袋中有a

只白球，b

只黑球．K

人依次在袋中取一只球，試求第

人取出的球是黑球的概率．

解：設(shè)：A=“第i人取出的球是黑球”第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄1）有放回抽樣2）不放回抽樣第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄此結(jié)果適用于：抓鬮，買彩票等問題例6

在1~2000的整數(shù)中隨機的取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：設(shè)A為事件“取到的整數(shù)能被6整除”，B為“取到的整數(shù)能被8整除”，則所求的概率為：為：6，12，18…1998共333個，所以能被6整除的整數(shù)第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄AB為“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”于是所求的概率為：其中B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}，第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

例7將15名新生隨機地平均分配到3個班中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問：

(1)每個班各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？

(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少？解：15名新生平均分配到3個班級中去的分法總數(shù)為：第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

思考：從20人中取15人隨機地平均分配到3

個班中去，共有多少種分法？答：(1)將3名優(yōu)秀生分配到3個班級，使每個班級都有一名優(yōu)秀生的分法共有3!種。其余12名新生平均分配到3個班級中的分法共有每個班各分配到一名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：于是所求的概率為：第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄三名優(yōu)秀生分配在同一班級內(nèi)其余12名新生，一個班級分2名，另外兩班各分5名(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率為：第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

例8某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的。問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？

解：假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定，第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄即千萬分之三。各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都在周二、周四的概率為:

人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

例9從1～9這9個數(shù)中有放回地取出n個數(shù)，試求取出的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率．解：A={取出的n個數(shù)的乘積能被10整除}；

B={取出的n個數(shù)至少有一個偶數(shù)}；

C={取出的n個數(shù)至少有一個5}．則A=B∩C第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄

例10同時擲5顆骰子，試求下列事件的概率：A={5顆骰子不同點}；

B={5顆骰子恰有2顆同點}；

C={5顆骰子中有2顆同點，另外3顆同是另一個點數(shù)}．第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄例11（續(xù)）第一章概率與隨機事件等可能概型返回主目錄作業(yè)：二幾何概型

幾何概型考慮的是有無窮多個等可能結(jié)果的隨機試驗。首先看下面的例子。

例1(會面問題）甲、乙二人約定在12點到5點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。第一章概率與隨機事件幾何概型返回主目錄解：以X,Y

分別表示甲乙二人到達的時刻，于是

即點M落在圖中的陰影部分。所有的點構(gòu)成一個正方形，即有無窮多個結(jié)果。由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的。012345yx54321.M(X,Y)第一章概率與隨機事件幾何概型返回主目錄二人會面的條件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-1第一章概率與隨機事件幾何概型返回主目錄

一般，設(shè)某個區(qū)域D(線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測度mD(長度，面積，體積)。如果隨機實驗

E

相當于向區(qū)域內(nèi)任意地取點，且取到每一點都是等可能的，則稱此類試驗為幾何概型。第一章概率與隨機事件幾何概型返回主目錄

如果試驗

E

是向區(qū)域內(nèi)任意取點，事件A

對應(yīng)于點落在

D內(nèi)的某區(qū)域

A，則

例2(蒲豐投針問題）平面上有一族平行線。其中任何相鄰的兩線距離都是a(a>0)

。向平面任意投一長為l(l<a)

的針，試求針與一條平行線相交的概率。lMx解：設(shè)x是針的中點M到最近的平行線的距離，是針與此平行線的交角，投針問題就相當于向平面區(qū)域D

取點的幾何概型。M第一章概率與隨機事件幾何概型