概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章

§1-5等可能概型

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等可能概型（古典概型）

第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄

考慮最簡單的一類隨機(jī)試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是：

樣本空間的元素只有有限個(gè)；(有限性)

每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性）1．等可能概型（古典概型）

我們把這類試驗(yàn)稱為等可能概型，考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型。第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄設(shè)Ω={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，得又由于基本事件兩兩互不相容，所以第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄基本事件的概率:若事件A包含k個(gè)基本事件，即

例1將一枚硬幣拋擲三次。設(shè)：

事件A1=“恰有一次出現(xiàn)正面”第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄隨機(jī)事件的概率:則有：解：根據(jù)上一節(jié)的記號，E2的樣本空間

Ω2={HHH,

HHT,HTH,THH,

HTT,THTTTH,TTT},

A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，

A1={HTT,THT,TTH},

第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄求P(A1),P(A2)。

事件A2=“至少有一次出現(xiàn)正面”，n=8，即Ω2中包含有限個(gè)元素，且由對稱性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，屬于古典概型。

事件A2=“至少有一次出現(xiàn)正面”，A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

例2一口袋裝有

6只球，其中

4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只?？紤]兩種取球方式：

放回抽樣

第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。

不放回抽樣

第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。分別就上面兩種方式求：

1）取到的兩只都是白球的概率；

2）取到的兩只球顏色相同的概率；

3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。

第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

設(shè)A=“

取到的兩只都是白球”，

B=“

取到的兩只球顏色相同”，

C=“

取到的兩只球中至少有一只是白球”。

第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個(gè)基本事件。有放回抽取:

無放回抽取:第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

例3將

n

只球隨機(jī)的放入N(Nn)

個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。解：將

n

只球放入

N個(gè)盒子中去,共有而每個(gè)盒子中至多放一只球, 共有第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄該數(shù)學(xué)模型可用于許多實(shí)際問題：n(n365)個(gè)人在365天的生日,可看成是n個(gè)球放入365個(gè)盒子中。隨機(jī)取n人他們的生日各不相同的概率為因而，n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為

如

“在一個(gè)有64人的班級里，至少有兩人生日相同”的概率為99.7%。np2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

例4設(shè)有

N

件產(chǎn)品，其中有

D

件次品，今從中任取

n件，問其中恰有

k

(kD)

件次品的概率是多少?又在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件產(chǎn)品中抽取n件，取法共有不放回抽樣（超幾何分布模型）1）第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄超幾何分布在產(chǎn)品檢驗(yàn)中的應(yīng)用：

一、在N已知時(shí)，作抽樣檢查，抽出n件產(chǎn)品中恰有k件次品，問如何根據(jù)這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果推斷產(chǎn)品的次品數(shù)？這就是“假設(shè)檢驗(yàn)問題”。

二、在D已知時(shí)，作抽樣檢查，抽出n件產(chǎn)品中恰有k件次品，問如何根據(jù)這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果推斷產(chǎn)品的總數(shù)N？這就是統(tǒng)計(jì)中的“最大似然估計(jì)問題”。2）有放回抽樣（二項(xiàng)分布模型）從N件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進(jìn)行排列，可能的排列數(shù)為個(gè)，將每一排列看作基本事件，總數(shù)為。而在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

于是所求的概率為：此式即為二項(xiàng)分布的概率公式。第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

例5

袋中有a

只白球，b

只黑球．K

人依次在袋中取一只球，試求第

人取出的球是黑球的概率．

解：設(shè)：A=“第i人取出的球是黑球”第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄1）有放回抽樣2）不放回抽樣第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄此結(jié)果適用于：抓鬮，買彩票等問題例6

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：設(shè)A為事件“取到的整數(shù)能被6整除”，B為“取到的整數(shù)能被8整除”，則所求的概率為：為：6，12，18…1998共333個(gè)，所以能被6整除的整數(shù)第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄AB為“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”于是所求的概率為：其中B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}，第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

例7將15名新生隨機(jī)地平均分配到3個(gè)班中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問：

(1)每個(gè)班各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？

(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級的概率是多少？解：15名新生平均分配到3個(gè)班級中去的分法總數(shù)為：第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

思考：從20人中取15人隨機(jī)地平均分配到3

個(gè)班中去，共有多少種分法？答：(1)將3名優(yōu)秀生分配到3個(gè)班級，使每個(gè)班級都有一名優(yōu)秀生的分法共有3!種。其余12名新生平均分配到3個(gè)班級中的分法共有每個(gè)班各分配到一名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：于是所求的概率為：第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄三名優(yōu)秀生分配在同一班級內(nèi)其余12名新生，一個(gè)班級分2名，另外兩班各分5名(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級的概率為：第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

例8某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的。問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？

解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄即千萬分之三。各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都在周二、周四的概率為:

人們在長期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實(shí)際推斷原理）。現(xiàn)在概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

例9從1～9這9個(gè)數(shù)中有放回地取出n個(gè)數(shù)，試求取出的n個(gè)數(shù)的乘積能被10整除的概率．解：A={取出的n個(gè)數(shù)的乘積能被10整除}；

B={取出的n個(gè)數(shù)至少有一個(gè)偶數(shù)}；

C={取出的n個(gè)數(shù)至少有一個(gè)5}．則A=B∩C第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄

例10同時(shí)擲5顆骰子，試求下列事件的概率：A={5顆骰子不同點(diǎn)}；

B={5顆骰子恰有2顆同點(diǎn)}；

C={5顆骰子中有2顆同點(diǎn)，另外3顆同是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)}．第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄例11（續(xù)）第一章概率與隨機(jī)事件等可能概型返回主目錄作業(yè)：二幾何概型

幾何概型考慮的是有無窮多個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。首先看下面的例子。

例1(會面問題）甲、乙二人約定在12點(diǎn)到5點(diǎn)之間在某地會面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。第一章概率與隨機(jī)事件幾何概型返回主目錄解：以X,Y

分別表示甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是

即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分。所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無窮多個(gè)結(jié)果。由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的。012345yx54321.M(X,Y)第一章概率與隨機(jī)事件幾何概型返回主目錄二人會面的條件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-1第一章概率與隨機(jī)事件幾何概型返回主目錄

一般，設(shè)某個(gè)區(qū)域D(線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測度mD(長度，面積，體積)。如果隨機(jī)實(shí)驗(yàn)

E

相當(dāng)于向區(qū)域內(nèi)任意地取點(diǎn)，且取到每一點(diǎn)都是等可能的，則稱此類試驗(yàn)為幾何概型。第一章概率與隨機(jī)事件幾何概型返回主目錄

如果試驗(yàn)

E

是向區(qū)域內(nèi)任意取點(diǎn)，事件A

對應(yīng)于點(diǎn)落在

D內(nèi)的某區(qū)域

A，則

例2(蒲豐投針問題）平面上有一族平行線。其中任何相鄰的兩線距離都是a(a>0)

。向平面任意投一長為l(l<a)

的針，試求針與一條平行線相交的概率。lMx解：設(shè)x是針的中點(diǎn)M到最近的平行線的距離，是針與此平行線的交角，投針問題就相當(dāng)于向平面區(qū)域D

取點(diǎn)的幾何概型。M第一章概率與隨機(jī)事件幾何概型