2021北京順義牛欄山一中高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

12/122021北京順義牛欄山一中高二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．若直線的方程為，則該直線的傾斜角是A． B． C． D．2．已知圓，則其圓心與半徑分別為A．， B．， C．， D．，3．焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，實(shí)軸長為6，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．4．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A．， B． C．， D．5．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的一般式方程為A． B． C． D．6．以，為直徑兩端點(diǎn)的圓交軸于，兩點(diǎn)，則A． B．8 C． D．107．已知為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，則下列選項(xiàng)中正確的是A． B． C． D．8．在空間直角坐標(biāo)系中，一定點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是A． B． C． D．9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知長方體的頂點(diǎn)，0，，，0，，，4，，，4，，則點(diǎn)與直線之間的距離為A． B．2 C． D．10．已知關(guān)于，的方程組僅有一組實(shí)數(shù)解，則符合條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．（5分）拋物線的準(zhǔn)線方程為．12．（5分）橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，軸，且，則橢圓的離心率為．13．（5分）若點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)的直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．（5分）如圖，正方體中，棱長為2．（1）；（2）若點(diǎn)在對角線上，則．15．（5分）有5名運(yùn)動(dòng)員參加乒乓球比賽，每2名運(yùn)動(dòng)員都要賽1場并決出勝負(fù)．設(shè)第位運(yùn)動(dòng)員共勝場，負(fù)場，2，3，4，，則下列說法正確的有．①；②；③為定值，與各場比賽的結(jié)果無關(guān)；④為定值，與各場比賽結(jié)果無關(guān)．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（14分）雙曲線的兩條漸近線互相垂直，右焦點(diǎn)為．（Ⅰ）直接寫出兩條漸近線方程及雙曲線的離心率；（Ⅱ）若右焦點(diǎn)為到漸近線的距離為2，求．17．（15分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，求；（Ⅱ）若，求滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（直接寫答案）（Ⅲ）直線與橢圓交于，，若，求．18．（14分）拋物線上有不同的兩個(gè)點(diǎn)，，，．（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）判斷：若，則是否成立？并說明理由．19．（14分）如圖，所示的平行六面體中，已知，，，為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在棱上，且．（Ⅰ）用，，表示；（Ⅱ）若，求；（Ⅲ）若，求證：平面．20．（14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，，．點(diǎn)，分別在棱，，且．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線與平面所成的角的正弦值為．（1）求點(diǎn)與到平面的距離；（2）試確定點(diǎn)的位置．21．（14分）對于集合，定義函數(shù)，對于兩個(gè)集合，，定義集合．已知集合，3，5，7，，，4，6，，，定義，．（1）寫出（9）與（9）的值；（2）用表示有限集合所包含元素的個(gè)數(shù)．已知集合是正整數(shù)集的子集，求的最小值，并說明理由；（3）已知集合，為的子集，且，求證：．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．【分析】由直線的方程為，可知直線與軸垂直，由傾斜角的定義，可求出該直線的傾斜角【解答】解：直線的方程為直線與軸垂直直線的傾斜角為故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線傾斜角的定義，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，其傾斜角為，當(dāng)直線與軸平行（或重合）時(shí)，其傾斜角為．2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：圓，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的圓心坐標(biāo)和半徑的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由題意可知，雙曲線為實(shí)軸在軸上的雙曲線，并求得與的值，代入隱含條件求得，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，雙曲線為實(shí)軸在軸上的雙曲線，且，又實(shí)軸長為6，即，得，，則，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線方程的求法，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．4．【分析】直接利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解焦點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：拋物線，可知，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．5．【分析】設(shè)過直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為，把代入能求出直線的一般式方程．【解答】解：設(shè)過直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為，把代入得：，解得，直線的一般式方程為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法，考查直線與直線垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．【分析】先求出圓的方程，再令，即可求出．【解答】解：，為直徑兩端點(diǎn)，則圓心的坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為，令，則或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定圓的方程是關(guān)鍵．7．【分析】直接利用直線和平面的位置關(guān)系，直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：已知為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，由于，所以，故錯(cuò)誤，正確；由于，所以或，故，錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線和平面的位置關(guān)系，直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)的理解，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，寫出坐標(biāo)之間的關(guān)系，把三個(gè)關(guān)系式相加，點(diǎn)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式中要包含的形式，得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，，點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，，，，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，考查點(diǎn)到圓心的距離，是一個(gè)基礎(chǔ)題，單獨(dú)出題的機(jī)會(huì)不大．9．【分析】由點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，，，進(jìn)而解得，，，得到△為等腰三角形，取的中點(diǎn)，連接，可得點(diǎn)到直線的距離為，由勾股定理求解計(jì)算即可．【解答】解：由題意可得，，0，，，0，，，4，，，4，，則，，，連接，，則，，，所以△為等腰三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)到直線的距離為，在△中，，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的理解與應(yīng)用，空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線距離的求解，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題．10．【分析】若，顯然方程組僅有一組解，得到符合條件；若，則的圖象是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓，而表示直線，根據(jù)圓心到直線的距離，得到結(jié)論．【解答】解：若，顯然方程組僅有一組解，故符合條件；若，則的圖象是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓，而表示直線．由題設(shè)條件知，即，解得．綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù)共有3個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的個(gè)數(shù)的判斷和直線與圓的位置關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是對于的值進(jìn)行討論．不要漏掉的情況．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程為即可求得拋物線的準(zhǔn)線方程．【解答】解：拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，掌握其幾何性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】設(shè)，根據(jù)直角三角形為等腰直角三角形，得出，，再由橢圓的定義以及離心率公式即可求解．【解答】解：設(shè)，又因?yàn)?，所以，，則，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．【分析】首先利用幾何關(guān)系確定點(diǎn)的位置，然后利用解析法求解點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：由題意可知圓心坐標(biāo)為，且：，則取得最小值時(shí)，有最小值，據(jù)此可得，由于直線的斜率為，故滿足條件是，直線方程為：，聯(lián)立直線方程：可得：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓中的最值問題等知識(shí)，屬于中等題．14．【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)公式即可求解．【解答】解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，；（2）由點(diǎn)在對角線上，設(shè)，，，，則，，，．故答案為：（1）8；（2）4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)題意，使用排除法，逐項(xiàng)分析即可．【解答】解：共有5名運(yùn)動(dòng)員，每2名運(yùn)動(dòng)員都賽1場并決出勝負(fù)．故共有場比賽，故所有運(yùn)動(dòng)員勝的場數(shù)與負(fù)的場數(shù)相等，且為10場，即，故①，③正確，對第位運(yùn)動(dòng)員來說，共參加4場比賽，故，所以：，所以，，故②正確，對于④，當(dāng)每個(gè)運(yùn)動(dòng)員都勝兩場時(shí)，，而當(dāng)?shù)谝幻\(yùn)動(dòng)員全輸?shù)诙\(yùn)動(dòng)員全贏時(shí)其它運(yùn)動(dòng)員各勝2場時(shí)，，故④錯(cuò)．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合情推理，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．【分析】（Ⅰ）由雙曲線的特征直接寫出答案即可；（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則，所以兩條漸近線方程為，其離心率為．（Ⅱ）因?yàn)橛医裹c(diǎn)到漸近線的距離為2，所以，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求解，點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）寫出、，三點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，利用向量夾角的余弦公式求解即可；（Ⅱ）根據(jù)，得到，列出方程求解即可得到答案；（Ⅲ）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合弦長公式即可解出答案．【解答】解：（Ⅰ）由題可得，，當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，則，，所以，故；（Ⅱ）設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)樵跈E圓上，把代入，無解，故這樣的點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；（Ⅲ）設(shè)，，，，聯(lián)立得，則，，所以，解得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合，涉及橢圓中的三角形，弦長求參數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）設(shè)直線方程為，將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線垂直的條件，能夠證明直線過定點(diǎn)，即可判斷結(jié)論．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，【解答】解：（Ⅰ）證明：設(shè)直線方程為，將直線方程代入拋物線方程，得，則，，，．．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不一定成立．理由如下：當(dāng)時(shí)，即，，又，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，故當(dāng)時(shí)，不一定成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）由出發(fā)，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可得解；（Ⅱ）用基底表示出和，再由，結(jié)合空間向量的數(shù)量積，即可得解；（Ⅲ）延長與相交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，可證，從而知，再由線面平行的判定定理，得證．【解答】（Ⅰ）解：．（Ⅱ）解：設(shè)，，，因?yàn)椋?，所以，即，化簡得，，解得．（Ⅲ）證明：延長與相交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，因?yàn)?，即，所以，，所以，所以，即，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，空間中線與面的平行關(guān)系，考查空間立體感，推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）只要證明即可；（Ⅱ）（1）轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解，（2）用向量數(shù)量積求解直線與平面成角正弦值，列方程求解．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，又因?yàn)?，所以．（Ⅱ）解：?）設(shè)點(diǎn)與到平面的距離為，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，，所以，所以點(diǎn)與到平面的距離．（2）取中點(diǎn)，連接，由題意建系如圖，設(shè)，0，，，，2，，，1，，，0，，，，，，，，，，，，0，，令，，，因?yàn)?，，所以平面的法向量是，所以直線與平面所成的角的正弦值為，解得，（舍去），所以點(diǎn)是中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與直線平行的判定，考查了直線與平面成角問題，考查了點(diǎn)到平面距離問題，屬于中檔題．21．【分析】（1）根據(jù)新定義可直接寫出答案；（