2021北京西城外國語學(xué)校初三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

31/312021北京西城外國語學(xué)校初三（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1．（2分）如圖，、、是上的三點，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．2．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是A． B． C． D．3．（2分）將拋物線先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是A． B． C． D．4．（2分）如圖，在中，以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，邊，相交于點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．5．（2分）下列關(guān)于二次函數(shù)的說法正確的是A．它的圖象經(jīng)過點 B．它的圖象的對稱軸是直線 C．當時，有最大值為0 D．當時，隨的增大而減小6．（2分）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值大于2的自變量的取值可以是)A． B． C．0 D．27．（2分）如圖，點為線段的中點，點，，到點的距離相等，連接，．則下面結(jié)論不一定成立的是A． B． C．平分 D．8．（2分）如圖，點坐標為，點坐標為，以點為圓心，為半徑作，與軸的另一個交點為，點是上的一個動點，連接，，點是的中點，連接，當線段取得最大值時，點的坐標為A． B． C． D．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）寫出一個二次函數(shù)，使得它有最大值，這個二次函數(shù)的解析式可以是．10．（2分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么0，0（填“”，“”，或“”．11．（2分）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點和點是對應(yīng)點，若，則．12．（2分）如圖，正六邊形內(nèi)接于，的半徑為6，則的長為．13．（2分）如圖，，是的切線，切點分別是點和，是的直徑．若，，則的長為．14．（2分）點是正五邊形的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如圖）．這個圖案繞點至少旋轉(zhuǎn)后能與原來的圖案互相重合．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系中，點，，的坐標分別是，，，是的外接圓，則圓心的坐標為，的半徑為．16．（2分）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點，其中．下面四個結(jié)論中：①拋物線開口向下；②當時，取最小值；③當時，一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根；④直線經(jīng)過點，，當時，的取值范圍是或．正確的結(jié)論有．（填序號）三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）下面是小華設(shè)計的“作的角平分線”的尺規(guī)作圖過程，請幫助小華完成尺規(guī)作圖并填空（保留作圖痕跡）．步驟作法推斷第一步在上任取一點，以點為圓心，為半徑作半圓，分別交射線，于點，點，連接．，理由是．第二步過點作的垂線，交于點．，理由是．第三步作射線．射線平分．射線為所求作．18．（5分）已知關(guān)于的二次函數(shù)，它的圖象經(jīng)過點和．（1）求這個二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；（2）將這個二次函數(shù)的圖象沿軸平移，使其頂點恰好落在軸上，請直接寫出平移后的函數(shù)表達式．19．（5分）如圖，是的一條弦，過點作于，交于點，點在上，且，連接．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．20．（5分）已知二次函數(shù)．（1）將二次函數(shù)化成的形式；（2）在平面直角坐標系中畫出的圖象．（3）當時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．21．（5分）如圖，等腰三角形中，，．作于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角后得到線段，連接．求證：．22．（5分）如圖，的頂點坐標分別為，，．（1）請畫出關(guān)于點成中心對稱的△，并寫出點，的坐標；（2）四邊形的面積為．23．（6分）如圖，為的直徑，點在的延長線上，與相切于，過點作交于點，連接，，．若，求的半徑．24．（6分）材料1：昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu)．此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖1所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線．材料2：如圖2，某一同類型懸索橋，兩橋塔，間距為，橋面水平，主索最低點為點，點距離橋面為．（1）請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出主索拋物線的表達式；（2）距離點水平距離為和處的吊索共四條需要更換，求四條吊索的總長度．25．（6分）如圖，在中，，點為邊的中點，以為直徑作，分別與，交于點，，過點作于．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為5，求的長．26．（6分）在平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）當時，求拋物線的頂點坐標；（2）①求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；②若當時，的最小值是0，請直接寫出的值；（3）直線與軸交于點，與軸交于點，過點作垂直于軸的直線與拋物線有兩個交點，在拋物線對稱軸左側(cè)的點記為，當為鈍角三角形時，求的取值范圍．27．（7分）已知，點在邊上，點是邊上一動點，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，再將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，作于點．（1）如圖1，．①依題意補全圖形；②連接，求的度數(shù)；（2）如圖2，當點在射線上運動時，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）對于平面內(nèi)點和，給出如下定義：是上任意一點，點繞點旋轉(zhuǎn)后得到點，則稱點為點關(guān)于的旋轉(zhuǎn)點．如圖為點及其關(guān)于的旋轉(zhuǎn)點的示意圖．在平面直角坐標系中，的半徑為1，點．（1）在點，，中，是點關(guān)于的旋轉(zhuǎn)點的是；（2）若在直線上存在點關(guān)于的旋轉(zhuǎn)點，求的取值范圍；（3）若點在上，的半徑為1，點關(guān)于的旋轉(zhuǎn)點為點，請直接寫出點的橫坐標的取值范圍．

2021北京西城外國語學(xué)校初三（上）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1．【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】解：與是同弧所對的圓周角與圓心角，，．故選：．【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．2．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．3．【分析】由拋物線平移不改變二次項系數(shù)的值，根據(jù)點的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”可知移動后的頂點坐標，再由頂點式可求移動后的函數(shù)表達式．【解答】解：原拋物線的頂點為，向右平移1個單位，再向上平移3個單位后，那么新拋物線的頂點為：．可設(shè)新拋物線的解析式為，代入得．故選：．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點坐標．4．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由三角形外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：將順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，故選：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以求出當時，的值，從而可以判斷；寫出該函數(shù)的對稱軸，即可判斷；當時該函數(shù)取得最小值，即可判斷；當時，隨的增大如何變化，即可判斷．【解答】解：二次函數(shù)，當時，，故選項不符合題意；它的圖象的對稱軸是直線，故選項不符合題意；當時，有最小值為0，故選項不符合題意；當時，隨的增大而減小，故選項符合題意；故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．6．【分析】利用拋物線的對稱性確定拋物線與的對稱點，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：拋物線的對稱軸為，點關(guān)于直線的對稱點為，當時，，即當函數(shù)值時，自變量的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．【分析】先利用圓的定義可判斷點、、、在上，如圖，然后根據(jù)圓周角定理對各選項進行判斷．【解答】解：點為線段的中點，點，，到點的距離相等，點、、、在上，如圖，為直徑，，所以選項的結(jié)論正確；和都對，，所以選項的結(jié)論正確；只有當時，，所以選項的結(jié)論不正確；四邊形為的內(nèi)接四邊形，，所以選項的結(jié)論正確．故選：．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．8．【分析】根據(jù)垂徑定理得到，然后根據(jù)三角形中位線定理得到，，即當取得最大值時，線段取得最大值，根據(jù)圓周角定理得到軸，進而求得是等腰直角三角形，即可得到，得到的坐標為．【解答】解：，，，，，當取得最大值時，線段取得最大值，如圖，為直徑，，軸，，，，，是等腰直角三角形，，的坐標為，故選：．【點評】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，垂徑定理、圓周角定理以及三角形中位線定理，明確當為直徑時，線段取得最大值是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．【分析】根據(jù)二次函數(shù)有最大值，即可得出，據(jù)此寫出一個二次函數(shù)即可．【解答】解：二次函數(shù)有最大值，，這個二次函數(shù)的解析式可以是，故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運用性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．此題是一道開放型的題目10．【分析】拋物線開口方向，對稱軸，與軸交點的位置確定、、的符號，從而做出判斷．【解答】解：拋物線開口向下，，對稱軸在軸左側(cè)，，，拋物線與軸交在負半軸，，故答案為：，．【點評】考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過拋物線的開口方向、對稱軸、與軸交點確定、、的值，是二次函數(shù)性質(zhì)的集中體現(xiàn)．11．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求的長．【解答】解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，故答案為：【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．12．【分析】如圖，連接，．利用弧長公式計算即可．【解答】解：如圖，連接，．由題意，，的長．故答案為：．【點評】本題考查正多邊形與圓，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．13．【分析】連接，根據(jù)切線長定理得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義計算即可．【解答】解：連接，，是的切線，，，為等邊三角形，，，是的切線，，，是的直徑，，在中，，故答案為：．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．14．【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)進而得出旋轉(zhuǎn)角．【解答】解：連接，，則這個圖形至少旋轉(zhuǎn)才能與原圖象重合，．故答案為：72．【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形，正確掌握旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．【分析】點為和的垂直平分線的交點，利用點、、坐標易得的垂直平分線為直線，的垂直平分線為直線，從而得到點的坐標，然后計算得到的半徑．【解答】解：點，，的坐標分別是，，，的垂直平分線為直線，，為等腰直角三角形，的垂直平分線為第一、三象限的角平分線，即直線，直線與直線的交點為點，點的坐標為，，的半徑為．故答案為，．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了坐標與圖形的性質(zhì)．16．【分析】將點、、的坐標代入拋物線表達式，求出拋物線的表達式為，畫出函數(shù)圖象，進而求解．【解答】解：將點、、的坐標代入拋物線表達式得，解得，故拋物線的表達式為，函數(shù)圖象如下：①，故拋物線開口向上，故錯誤；②拋物線開口向上，則時，取得最小值，當時，，故錯誤；③由知，函數(shù)的最小值為，故時，直線和有兩個交點，故一元二次方程必有兩個不相等實根，故正確；④觀察函數(shù)圖象，直線經(jīng)過點，，當時，的取值范圍是或，故正確；故答案為：③④．【點評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式（組和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象的交點，根據(jù)交點處圖象之間的位置關(guān)系，確定不等式的解．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．【分析】利用圓周角定理，垂徑定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，射線即為所求．是直徑，（直徑所對的圓周角是直角）．，（垂徑定理），．故答案為：，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理．【點評】本題考查作圖復(fù)雜作圖，圓周角定理，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．18．【分析】（1）把和代入，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)頂點恰好落在軸上，于是得到該函數(shù)圖象的頂點坐標為．即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）二次函數(shù)，它的圖象經(jīng)過點和．，解得．二次函數(shù)的表達式為．，二次函數(shù)頂點坐標為，；（2），二次函數(shù)頂點坐標為，；頂點恰好落在軸上，該函數(shù)圖象的頂點坐標為．平移后的函數(shù)表達式為．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理即可得到答案；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到答案．【解答】解：（1），，，；（2），，，，，，，，．【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．20．【分析】（1）用配方法把二次函數(shù)化為頂點式，從而可得出答案；（2）根據(jù)題意畫出圖象即可；（3）由圖象可得出答案．【解答】解：（1）；（2）令，則，解得：，，拋物線與軸的交點為和，令，則，拋物線與軸的交點為，對稱軸為，頂點坐標為，圖象如圖所示：（3）有圖象可得：當時，的取值范圍為．【點評】題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與國的交點，配方法，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由“”可證，可得結(jié)論．【解答】證明：將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角后得到線段，，，，在和中，，，，．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．【分析】（1）延長到使，延長到，使；（2）利用平行四邊形的面積公式．【解答】解：（1）如圖，△為所作，點，的坐標分別為，；（2），，四邊形為平行四邊形，四邊形的面積．故答案為16．【點評】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．23．【分析】連接，交于點，利用切線的性質(zhì)和垂徑定理求得，進而可求出的度數(shù)，利用條件易證為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接，交于點，如圖，與相切于點，，，，，，，，，；是直徑，，，，是等腰直角三角形，，，的半徑為．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．【分析】（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担梢灾苯訉懗鳇c的坐標，然后設(shè)出主索拋物線的表達式，再根據(jù)點和點都在拋物線上，即可求得主索拋物線的表達式；（2）根據(jù)求出的拋物線解析式，將和8代入解析式中，即可求得四根吊索的長度，從而可以求得四根吊索總長度為多少米．【解答】解：以中點為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：由圖可知，點的坐標為，設(shè)拋物線的表達式為，由題意可知，點坐標為，點坐標為，則，解得：，主索拋物線的表達式為；（2）時，，此時吊索的長度為，由拋物線的對稱性可得，時，此時吊索的長度也為，同理，時，，此時吊索的長度為，時，此時吊索的長度也為，（米，四根吊索的總長度為13米．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．【分析】（1）先判斷出是的直徑，進而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)勾股定理求出，再判斷出，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，連接，，是的直徑，，，點是的斜邊的中點，，，，，，，點在上，是的切線；（2）的半徑為5，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，由（1）知，，．【點評】此題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，切線的判定，直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半，勾股定理，判斷出是解本題的關(guān)鍵．26．【分析】（1）解析式化成頂點式即可求得；（2）①由拋物線的解析式可得出答案；②分三種情況，，或．由二次函數(shù)的性質(zhì)分別列方程求解即可．（3）當為鈍角三角形時，則或，分別求解即可．【解答】解：（1）當時，拋物線的解析式為：，頂點坐標為；（2）①拋物線，拋物線的對稱軸為直線；②拋物線，拋物線頂點坐標為，的取值范圍應(yīng)分三種情況，，或．若，時函數(shù)取得最小值，，解得或（舍去），若，函數(shù)取得最小值為，不合題意．若，函數(shù)取得最小值，，解得或（舍去），綜上所述，的值為0或3．（3）把點代入的表達式并解得：，則，直線的表達式為：，如圖，在直線上，當時，點與重合，當時，，則，點在對稱軸的左側(cè)，不符合題意，舍去，則點，當為鈍角三角形時，則或，解得：或，的取值范圍是：或．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)，解不等式，一元二次方程根的判別式，鈍角三角形判斷的方法等知識點，第三問有難度，確定為直角時點的位置最關(guān)鍵．27．【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②證明是等邊