高二上學期數(shù)學競賽

高二上學期數(shù)學比賽高二上學期數(shù)學比賽高二上學期數(shù)學比賽高二上學期數(shù)學比賽一、選擇題（每題6分,滿分30分）2.設(shè)a,bR,ab≠0，那么，直線axy+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是yyyyOOOxOxxx(A)

(B)

(C)

(D)2.一個圓的圓心為橢圓的右焦點，且該圓過橢圓的中心交橢圓于

P,直線

PF1（F1為橢圓的左焦點）是該圓的切線，則橢圓的離心率為

（）12C．3D．31A．2B．223.當0k11xkx的解的個數(shù)是（）時，方程2A．0B．1C．2D．34.若x5,2)tan(x+)+cos(x+)的最大值是[]，則y=tan(x+123366(A)12(B)11(C)11123223(D)56655．O是平面上必定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P知足OPOA(ABAC),[0,),則P的軌跡必定經(jīng)過△ABC的（）|AB||AC|A．外心B．心里C．重心D．垂心.填空題(每題8分,滿分40分)不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________7.設(shè)F1,F2是橢圓x2y21的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|:|PF2|=2:1，則△PF1F294的面積等于.__________8.2＜0,x2≤0,xR}．若AB,則實數(shù)a的取值范圍已知A={x|x4x+3R},B={x|x2(a+7)x+5是____________.9.若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a–8=0有解，則a的取值范圍是________.10.已知x,y都在區(qū)間(2,2)內(nèi)，且xy＝1，則函數(shù)u=4+9的最小值是________.4x29y2三.解答題(滿分50分)（此題滿分10分）有三個城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=a，BC=2b.今計劃合建一此中心院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直均分線上的P點處，（成立坐標系如圖）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點P應(yīng)位于哪處？2.（此題滿分

10分）已知

a,b,c

∈R，函數(shù)

f(x)=ax

2+bx+c.（1）若

a+c=0，f(x)

在[-1,1]

上的最大值為

2，最小值為

5

，證明：

a

0且|

b

|<2；2

a（2）若

a>0，p、q知足

p+q=1，且對隨意的實數(shù)

x、y

均有

pf(x)+qf(y)

≥f(px+qy)

，證明：0≤p≤1.3.（此題滿分15分）已知直線l與圓x2y22x0相切于點T，且與雙曲線x2y21訂交于A、B兩點若是線段AB的中點，求直線l的方程..T4．（此題滿分15分）已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線訂交于點P，此中λ∈R.試問：能否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明原因.高二數(shù)學比賽答案1—5BDDCB。6.（-3，125）U（51，3）.7.4.8.[-4,∞29.[8/31,72/23]10.12/511.本小題主要考察函數(shù)，不等式等基本知識，考察運用數(shù)學知識剖析問題和解決問題的能力.滿分10分.解：由題設(shè)可知，ab0,記ha2b2,設(shè)P的坐標為（0，y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y)2(b2y2)(hy)23(yh)22h22b2.33所以，當yh時，函數(shù)f(y)取得最小值.答:點P的坐標是(0,13a2b2).312.剖析：（1）用反證法。假定a=0或|b|≥2，由a+c=0，得a=-c，故f(x)=ax2+bx-a.a當a=0時，f(x)=bx，是一個單一函數(shù)，其最大值為|b|，最小值為-|b|，又已知得：|b|=2且-|b|=5，矛盾，故a0。2當|b|≥2b|≥1，函數(shù)f(x)時，|-在[-1,1]上也是單一函數(shù)，由上可知矛盾，故ba2a||<2。a綜合以上兩種狀況，得a0且|b|<2；a(2)pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(ax2+bx+c)+q(ay2+by+c)-[a(px+qy)2+b(px+qy)+c]=ap(1-p)2x2-2apqxy+aq(1-q)y2=apq(x-y)2≥0,由于a>0,(x-y)2≥0，所以pq≥0,p(1-p)≥0，故0≤p≤1.13.直線l與x軸不平行，設(shè)l的方程為xkya代入雙曲線方程整理得(k21)y22kaya2102分而k210，于是yTyAyBak進而xTkyTaa即T(ak2,a2212k2)6分kk111k點T在圓上(ak)2(a)212a0即k2a2①1k21k2k2由圓心O(1,0).OTl得kOTkl1則k0或k22a1當k0時，由①得a2,l的方程為x2；當k22a1時，由①得a1K3,l的方程為x3y1.故所求直線l的方程為x2或x3y115分14.本小題主要考察平面向量的觀點和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判斷曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等分析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分14分。解：依據(jù)題設(shè)條件，第一求出點P坐標知足的方程，據(jù)此再判斷能否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.∵i=(1,0),c=(0,a),∴ci(,a),i2c(1,2a).所以，直線OP和AP的方程分別為y=ax和y－a=－2ax.消去參數(shù)，得點P（x,y）的坐標知足方程y(y－a)=－2a2x2,a2x2(y2)1,整理得1(a)2①82由于a>0，所以得：（i）當a=2時，方程①是圓方程，故不存在符合題意的定點E和F