聚焦不等式中的新定義題

聚焦不等式中的新定義題新定義題成為近幾年數(shù)學(xué)中考的特色題型，已經(jīng)穩(wěn)穩(wěn)在中考的舞臺(tái)立足，各知識(shí)點(diǎn)都能有標(biāo)新立異的新定義題出現(xiàn)，下面就采擷不等式中的幾例，一起品味.一、定義新運(yùn)算，構(gòu)造不等式，根據(jù)解集探求待定字母的值例1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運(yùn)算“△”，其規(guī)則是：ａ△ｂ＝２ａ－ｂ．已知不等式ｘ△ｋ≥１的解集在數(shù)軸上如圖表示，則ｋ的值是．分析：在解答時(shí)，我們的基本思路是：１.根據(jù)新定義的運(yùn)算法則，建立起定義等式；２．根據(jù)定義等式，完成不等式的構(gòu)造；３.求出不等式的解集；４.比較不等式的解集，建立起關(guān)于待定字母的方程，解方程得到字母的值．解：因?yàn)椋帷鳎猓剑玻幔?，所以ｘ△ｋ＝２ｘ－ｋ，所以ｘ△ｋ≥１變形為２ｘ－ｋ≥１，解不等式得：ｘ≥．根?jù)數(shù)軸信息得：不等式的解集為ｘ≥－１，比較兩個(gè)解集得：＝－１，解得：ｋ＝－３．點(diǎn)評(píng)：正確理解定義的運(yùn)算法則，并根據(jù)定義的要求建立起符合題意的不等式是解題的關(guān)鍵．靈活應(yīng)用比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的恒等變形思想的應(yīng)用，也是解題的重要一環(huán)．二、定義新概念，構(gòu)造不等式，探求字母的范圍或特殊解例２定義：對(duì)于實(shí)數(shù)ａ，符號(hào)［ａ］表示不大于ａ的最大整數(shù)．例如：[5.7]＝５，[5]＝５，[－π]＝－４．（1）如果[a]＝－２，那么ａ的取值范圍是．（2）如果［］＝３，求滿足條件的所有正整數(shù)ｘ．分析：把新定義：符號(hào)［ａ］表示不大于ａ的最大整數(shù)，轉(zhuǎn)化成不等式，使之表述形式符號(hào)化，從而使得概念具有了可操作性，解題自然就順利．解：（１）因?yàn)椋郏幔荼硎静淮笥冢岬淖畲笳麛?shù)，所以［ａ］＝ｋ，則ｋ≤ａ＜ｋ＋１，因?yàn)閇a]＝－２，所以－２≤ａ＜－２＋１即－２≤ａ＜－１；（２）因?yàn)椋郏荩剑常裕场埽迹常奔矗场埽迹?，所以３≤且＜４，不等式３≤的解集為：ｘ≥５；不等式＜４的解集為：ｘ＜７，所以不等式的解集為５≤ｘ＜７，所以符合題意的所有整數(shù)解為ｘ＝５和ｘ＝６．點(diǎn)評(píng)：正確理解新定義，并能準(zhǔn)確將新定義的文字描述轉(zhuǎn)型為符號(hào)描述，為解題提供建立不等式數(shù)學(xué)模型的依據(jù)，建立不等式是關(guān)鍵，靈活解答是基礎(chǔ)．例３對(duì)于實(shí)數(shù)ｘ，我們規(guī)定［ｘ］表示不大于ｘ的最大整數(shù)，例如［１．２］＝１，［３］＝３，［－２．５］＝－３，若［］＝５，則ｘ的取值可以是（）.A.４０B.４５C.５１D.分析：遷移例２的思路，建立起不等式，問題就順利解決．解：根據(jù)題意得：５≤＜６，不等式５≤的解集為：ｘ≥４６；不等式＜６的解集為：ｘ＜５６，所以不等式的解集為４６≤ｘ＜５６，所以符合題意的所有整數(shù)解為ｘ＝４６,４７,４８,４９,５０,５１,５２,５３,５４,５５．所以符合題意的數(shù)是５１，所以選Ｃ．點(diǎn)評(píng)：正確理解新定義的意義是解題的關(guān)鍵．三、定義新概念，構(gòu)造不等式，探求整數(shù)值例４設(shè)Ａ是由２×４個(gè)整數(shù)組成的２行４列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變?cè)撔校ɑ蛟摿校┲兴袛?shù)的符號(hào)，稱為一次“操作”.(1)數(shù)表Ａ如表１所示，如果經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，請(qǐng)寫出每次“操作”后所得的數(shù)表；（寫出一種方法即可）(2)數(shù)表Ａ如表２所示，若經(jīng)過任意一次“操作”以后，便可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的值.分析：理解一次“操作”的意義，以及要求，才能按照要求進(jìn)行合理的“操作”變換．解：（１）操作如下：注意：此操作的方法很多，同學(xué)們，你能再給出另外一種合理的操作嗎？試一試．（２）根據(jù)表２的信息知道：第一列的和為２，第二列的和為０，第三列的和為－２，第四列的和０，第一行的和為－１，第二行的和為１.當(dāng)操作第三列時(shí)，所以第一行的和為２ａ－１，第二行的和為５－２ａ，根據(jù)操作的意義，得：，解不等式組得：≤ａ≤，因?yàn)椋崾钦麛?shù)，所以ａ＝１，ａ＝２；當(dāng)操作第一行時(shí)，則每一列之和分別為：２－２ａ，２－２，２ａ－２，２，根據(jù)操作的意義，得：，解不等式組得：１≤ａ≤１，因?yàn)椋崾钦麛?shù)，所以ａ＝１．因?yàn)榻?jīng)過任意一次“操作