高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)近8年真題分類匯編專題12三角恒等變換

PAGEPAGE15專題12—三角恒等變換考試說明：1、能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式；能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。能利用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換。高頻考點(diǎn)：1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；倍角公式與其他三角公式的應(yīng)用；三角恒等變換綜合問題（與三角函數(shù)、解三角形、平面向量結(jié)合考查）三角恒等變換是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇和填空的形式考查，大題偶爾也會出現(xiàn)，屬于中低檔題，這部分公式應(yīng)用比較靈活，所以很多學(xué)生掌握的不是很好，平時做題時要注意總結(jié)公式是怎么用的，把公式的變形也要記得非常熟練。典例分析1．（2021?甲卷）若，，則A． B． C． D．2．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C．1 D．23．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C． D．4．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知，且，則A． B． C． D．5．（2019?全國）已知，則A． B． C．3 D．56．（2019?上海）已知．有下列兩個結(jié)論：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；則A．①②均正確 B．①②均錯誤 C．①對②錯 D．①錯②對7．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則A． B． C． D．18．（2015?重慶）若，則A．1 B．2 C．3 D．49．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)的最小值為．10．（2019?江蘇）已知，則的值是．11．（2021?浙江）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)在，上的最大值．12．（2018?浙江）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若角滿足，求的值．真題集訓(xùn)1．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）已知，，則A． B． C． D．2．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）若在，是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．3．（2016?新課標(biāo)Ⅲ）若，則A． B． C． D．4．（2014?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)，，且，則A． B． C． D．5．（2020?江蘇）已知，則的值是．6．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）已知，，則．7．（2017?上海）設(shè)、，且，則的最小值等于．8．（2016?上海）若函數(shù)的最大值為5，則常數(shù)．9．（2016?浙江）已知，則，．10．（2015?天津）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間，內(nèi)的最大值和最小值．11．（2015?四川）如圖，、、、為平面四邊形的四個內(nèi)角．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，，，，，求的值．12．（2016?天津）已知函數(shù)．（1）求的定義域與最小正周期；（2）討論在區(qū)間，上的單調(diào)性．典例分析答案1．（2021?甲卷）若，，則A． B． C． D．分析：把等式左邊化切為弦，再展開倍角公式，求解，進(jìn)一步求得，再由商的關(guān)系可得的值．解答：解：由，得，即，，，則，解得，則，．故選：．點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．2．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C．1 D．2分析：利用兩角和差的正切公式進(jìn)行展開化簡，結(jié)合一元二次方程的解法進(jìn)行求解即可．解答：解：由，得，即，得，即，即，則，故選：．點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)值的化簡和求解，結(jié)合兩角和差的正切公式以及配方法是解決本題的關(guān)鍵．難度中等．3．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C． D．分析：利用兩角和差的三角公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用輔助角公式進(jìn)行化簡即可．解答：解：，，即，得，即，得故選：．點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)值的化簡和求值，利用兩角和差的三角公式以及輔助角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．難度不大．4．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知，且，則A． B． C． D．分析：利用二倍角的余弦把已知等式變形，化為關(guān)于的一元二次方程，求解后再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得的值．解答：解：由，得，即，解得（舍去），或．，，，則．故選：．點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與二倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．5．（2019?全國）已知，則A． B． C．3 D．5分析：利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，代入求解即可．解答：解：，則．故選：．點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)化簡求值，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角公式的應(yīng)用．6．（2019?上海）已知．有下列兩個結(jié)論：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；則A．①②均正確 B．①②均錯誤 C．①對②錯 D．①錯②對分析：考慮運(yùn)用二次方程的實根的分布，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可判斷①；運(yùn)用特殊值法，令，結(jié)合兩角和的正切公式，計算可得所求結(jié)論，可判斷②．解答：解：由，即為，設(shè)，，可得，若，可得上式關(guān)于的方程有兩個同號的根，若為兩個正根，可得，即有，考慮△，，當(dāng)時，遞減，可得（1），則方程無解，在第三象限不可能，故①錯；可令，由，即為，可得，解得，存在在第四象限，故②對．故選：．點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的正切公式，以及方程思想、運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則A． B． C． D．1分析：推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而．由此能求出結(jié)果．解答：解：角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，，解得，，，．故選：．點(diǎn)評：本題考查兩數(shù)差的絕對值的求法，考查二倍角公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．8．（2015?重慶）若，則A．1 B．2 C．3 D．4分析：直接利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡所求表達(dá)式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié)合已知條件以及積化和差個數(shù)化簡求解即可．解答：解：，則．故選：．點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，積化和差以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計算能力．9．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)的最小值為．分析：先利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式對已知函數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可去求解最小值解答：解：，，令，則，令的開口向下，對稱軸，在，上先增后減，故當(dāng)即時，函數(shù)有最小值．故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦公式在三角函數(shù)時化簡求值中的應(yīng)用及利用余弦函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題10．（2019?江蘇）已知，則的值是．分析：由已知求得，分類利用萬能公式求得，的值，展開兩角和的正弦求的值．解答：解：由，得，，解得或．當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，．綜上，的值是．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，考查兩角和的三角函數(shù)及萬能公式的應(yīng)用，是中檔題．11．（2021?浙江）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)在，上的最大值．分析：（Ⅰ）由，可得，然后利用周期公式求出周期；（Ⅱ），由，，得到的取值范圍，再利用整體法求出的最大值．解答：解：函數(shù)，（Ⅰ）函數(shù)，則最小正周期為；（Ⅱ）函數(shù)，因為，所以，所以當(dāng)，即時，．點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，涉及求解函數(shù)的周期以及最值問題，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2018?浙江）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若角滿足，求的值．分析：（Ⅰ）由已知條件即可求，則的值可得；（Ⅱ）由已知條件即可求，，，再由代值計算得答案．解答：解：（Ⅰ）角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，．，，，；（Ⅱ）由，，，得，，又由，得，則，或．的值為或．點(diǎn)評：本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是中檔題．真題集訓(xùn)答案1．解：，可得：，，，，，，解得：．故選：．2．解：，由，，得，，取，得的一個減區(qū)間為，，由在，是減函數(shù)，得．則的最大值是．故選：．3．解：，．故選：．4．解：由，得：，即，，，，當(dāng)時，成立．故選：．5．解：因為，則，解得，故答案為：6．解：，兩邊平方可得：，①，，兩邊平方可得：，②，由①②得：，即，．．故答案為：．7．解：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可知，的范圍在，，要使，，．則：，．，即，．那么：，、．的最小值為．故答案為：．8．解：由于函數(shù)，其中，，，故的最大值為，，故答案為：．9．解：，，，故答案為：；1．10．解：（Ⅰ）化簡可得的最小正周期；（Ⅱ），，，，，，，，在區(qū)間，內(nèi)的最大值和最小值分別為，11．證明