專題22認(rèn)識多邊形

專題22認(rèn)識多邊形【考查題型】【知識要點】多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。多邊形內(nèi)角的概念：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角。多邊形外角的概念：多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。?多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。?多邊形對角線條數(shù)：一個n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對角線條數(shù)為凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形。?正多邊形的概念：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（擴(kuò)展：正n邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是（n【推論】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°。2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍。多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)?？疾轭}型一多邊形內(nèi)角和問題典例1．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為（）A．1080° B．720° C．540° D．360°【答案】B【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為：（6﹣2）×180°＝720°，故選：B．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，利用多邊形的內(nèi)角和定理解答是解題的關(guān)鍵．變式1-1．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，這個五邊形的內(nèi)角和是（???）A．900° B．720° C．540° D．360°【答案】C【分析】n邊形的內(nèi)角和公式為：，再根據(jù)內(nèi)角和公式計算即可．【詳解】解：（5-2）×180°=180°×3=540°因此五邊形的內(nèi)角和是540°．故選：C【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180°的靈活運(yùn)用．熟悉多邊形的內(nèi)角和公式是解本題的關(guān)鍵．變式1-2．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【答案】A【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，列出方程即可求解．【詳解】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得（n﹣2）?180°=900°，解得n=7，∴這個多邊形的邊數(shù)是7，故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．變式1-3．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可直接進(jìn)行排除選項．【詳解】解：A、是一個三角形，其內(nèi)角和為180°；B、是一個四邊形，其內(nèi)角和為360°；C、是一個五邊形，其內(nèi)角和為540°；D、是一個六邊形，其內(nèi)角和為720°；∴內(nèi)角和最大的是六邊形；故選D．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．變式1-4．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故選D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．變式1-5．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）同學(xué)們在探索“多邊形的內(nèi)角和”時，利用了“三角形的內(nèi)角和”．請你在不直接運(yùn)用結(jié)論“n邊形的內(nèi)角和為”計算的條件下，利用“一個三角形的內(nèi)角和等于180°”，結(jié)合圖形說明：五邊形的內(nèi)角和為540°．【答案】答案見解析【分析】如下圖，連接，，將五邊形分成三個三角形，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：連接，，五邊形的內(nèi)角和等于，，的內(nèi)角和的和，五邊形的內(nèi)角和．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，并將五邊形轉(zhuǎn)化為三個三角形是解答此題的關(guān)鍵．考查題型二正多邊形內(nèi)角和問題典例2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在正五邊形中，以為邊向內(nèi)作正，則下列結(jié)論錯誤的是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正多邊形各邊長度相等，各角度數(shù)相等，即可逐項判斷．【詳解】解：∵多邊形是正五邊形，∴該多邊形內(nèi)角和為：，，∴，故D選項正確；∵是正三角形，∴，，∴，，∴，故B選項正確；∵，，∴，故A選項正確；∵，，∴，故C選項錯誤，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握正多邊形“各邊長度相等，各角度數(shù)相等”是解題的關(guān)鍵．變式2-1．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形的頂點A處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是(???)A．4 B． C．2 D．0【答案】B【分析】由題意可分別求出經(jīng)過2022秒后，紅黑兩枚跳棋的位置，然后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，∴，∴經(jīng)過2022秒后，紅跳棋落在點A處，黑跳棋落在點E處，連接AE，過點F作FG⊥AE于點G，如圖所示：在正六邊形中，，∴，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）有一個正n邊形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，則n為（???）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】根據(jù)選項求出每個選項對應(yīng)的正多邊形的中心角度數(shù)，與一致或有倍數(shù)關(guān)系的則符合題意．【詳解】如圖所示，計算出每個正多邊形的中心角，是的3倍，則可以旋轉(zhuǎn)得到．A.B.C.D.觀察四個正多邊形的中心角，可以發(fā)現(xiàn)正12邊形旋轉(zhuǎn)90°后能與自身重合故選C．【點睛】本題考查正多邊形中心角與旋轉(zhuǎn)的知識，解決本題的關(guān)鍵是求出中心角的度數(shù)并與旋轉(zhuǎn)度數(shù)建立關(guān)系．變式2-3．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計的值，下面d及的值都正確的是（???）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出多邊形的邊長，利用多邊形內(nèi)角和求解內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求值即可．【詳解】解：設(shè)剪去△ABC邊長AC=BC=x，可得：，解得x=，則BD=，∵正方形剪去四個角后成為一個正八邊形，根據(jù)正八邊形每個內(nèi)角為135度，，則∠BFD=22.5°，∴外接圓直徑d=BF=，根據(jù)題意知周長÷d==，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、多邊形內(nèi)角和、圓周長直徑公式和銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識，閱讀理解題意是解決問題的關(guān)鍵．變式2-4．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點F在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB=BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根據(jù)角的和差關(guān)系可得出∠FBC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠BFC的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．【詳解】∵是正五邊形，∴∠ABC==108°，AB=BC，∵為等邊三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，∴∠BFC==66°，∴=∠AFB+∠BFC=126°，故選：C．【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．變式2-5．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）正十二邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為．【答案】【分析】首先求得每個外角的度數(shù)，然后根據(jù)外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角即可求解．【詳解】試題分析：正十二邊形的每個外角的度數(shù)是：=30°，則每一個內(nèi)角的度數(shù)是：180°﹣30°=150°．故答案為150°．變式2-6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，花瓣圖案中的正六邊形ABCDEF的每個內(nèi)角的度數(shù)是__．【答案】120°【分析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成(n﹣2)?180°，因為所給多邊形的每個內(nèi)角均相等，可設(shè)這個正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為x，故又可表示成6x，列方程可求解．【詳解】解：設(shè)這個正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為x，則6x＝(6﹣2)?180°，解得x＝120°．故答案為：120°．【點睛】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式及求正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．變式2-7．（2021·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，為正六邊形，為正方形，連接CG，則∠BCG+∠BGC=______．【答案】【分析】分別計算正六邊形和正方形的每個內(nèi)角的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：∵ABDEF是正六邊形，∴∵ABGH是正方形，∴∵∴∵∴故答案為：【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與正多邊形每個內(nèi)角的計算等知識點，熟知多邊形的內(nèi)角和的計算公式是解題的關(guān)鍵．變式2-8．（2021·浙江·統(tǒng)考中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角星（是正五邊形的五個頂點），則圖中的度數(shù)是_______度．【答案】36【分析】根據(jù)題意，得五邊形（是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且；根據(jù)多邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得正五邊形內(nèi)角和，從而得；再根據(jù)補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】∵正五角星（是正五邊形的五個頂點）∴五邊形（是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且∴正五邊形內(nèi)角和為：∴∴∵∴∴故答案為：36．【點睛】本題考查了正多邊形、多邊形內(nèi)角和、補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形、多邊形內(nèi)角和、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．考查題型三正多邊形外角問題典例3．（2021·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出正六邊形的內(nèi)角和外角，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵正六邊形的每個內(nèi)角等于120°，每個外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光線是平行的，∴=∠ABD=，故選A【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)，掌握三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3-1．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）一個正n邊形的一個外角等于36°，則n＝________．【答案】10【分析】利用多邊形的外角和即可解決問題．【詳解】解：n=360°÷36°=10．故答案為10．【點睛】本題主要考查了正n邊形的外角特點．因為外角和是360度，所以當(dāng)多邊形是正多邊形時，每個外角都相等．直接利用外角求多邊形的邊數(shù)是常用的方法．變式3-2．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）正八邊形一個外角的大小為________度．【答案】【分析】根據(jù)正八邊形得出八個內(nèi)角都相等，再因為每個內(nèi)角與它相應(yīng)的外角互補(bǔ)，且多邊形外角和為，算出正八邊形一個外角的大?。驹斀狻拷猓骸哒诉呅?，∴正八邊形八個內(nèi)角都相等，∵正八邊形的每個內(nèi)角和它對應(yīng)的外角互補(bǔ)，且外角和，∴正八邊形有八個相等的外角，∴正八邊形一個外角為，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，多邊形外角和，正確理解以上圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3-3．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）正五邊形的外角和等于_______?．【答案】360【詳解】∵任何n邊形的外角和都等于360度∴正五邊形的外解和也為360°故答案為360考查題型四多邊形外角和的應(yīng)用典例4．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為，，則正確的是（????）A． B．C． D．無法比較與的大小【答案】A【分析】多邊形的外角和為，△ABC與四邊形BCDE的外角和均為，作出選擇即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為，∴△ABC與四邊形BCDE的外角和與均為，∴，故選：A．【點睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為是解答本題的關(guān)鍵．變式4-1．（2021·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在正六邊形內(nèi)，以為邊作正五邊形，則（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正n邊形的外角和定理計算即可【詳解】如圖，延長BA到點O，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FAO==60°，∵五邊形ABGHI是正五邊形，∴∠IAO==72°，∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，故選B．【點睛】本題考查了正多邊形的外角和定理，熟練掌握正ｎ邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．變式4-2．（2020·山東德州·中考真題）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)45°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（????）A．80米 B．96米 C．64米 D．48米【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360÷45=8次才會回到原點，所以一共走了8×8=64米．故選：C．【點睛】本題主要考查了利用多邊形的外角和定理求多邊形的邊數(shù)．任何一個多邊形的外角和都是360°．考查題型五多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合典例5．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）正多邊形的每個內(nèi)角為，則它的邊數(shù)是（???）A．4 B．6 C．7 D．5【答案】D【分析】根據(jù)相鄰的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角求出每一個外角的度數(shù)為72°，再用外角和360°除以72°，計算即可得解．【詳解】解：∵正多邊形的每個內(nèi)角等于108°，∴每一個外角的度數(shù)為180°-108°=72°，∴邊數(shù)=360°÷72°=5，故選D．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，對于正多邊形，利用多邊形的外角和除以每一個外角的度數(shù)求邊數(shù)更簡便．變式5-1．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）正八邊形中，每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比為（????）A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1【答案】D【分析】根據(jù)正八邊形的外角和等于360°，求出每個外角的度數(shù)，再求出每個內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：正八邊形中，每個外角=360°÷8=45°，每個內(nèi)角=180°-45°=135°，∴每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比=135°：45°=3：1，故選D．【點睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和外角，熟練掌握正多邊形的外角和等于360°，是解題的關(guān)鍵．變式5-2．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如果正n邊形的一個內(nèi)角與一個外角的比是3：2，則_______．【答案】5【分析】設(shè)多邊形的一個內(nèi)角為3x度，一個外角則為2x度，求得外角的度數(shù)，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°，進(jìn)而求出n的值．【詳解】解：∵正邊形的一個內(nèi)角度數(shù)與其外角度數(shù)的比是3：2，∴設(shè)多邊形的一個內(nèi)角為3x度，一個外角則為2x度，∴3x+2x＝180°，解得x＝36°，∴一個外角為2x＝72°，360°÷72°＝5，∴n＝5，故答案為：5．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角、外角的知識和外角和定理，理解一個多邊形的一個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨腔パa(bǔ)是解題的關(guān)鍵．變式5-3．（2022·四川眉山·中考真題）一個多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個多邊形的邊數(shù)為________．【答案】11【分析】多邊形的內(nèi)角和定理為，多邊形的外角和為360°，根據(jù)題意列出方程求出n的值．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，解得：，故答案為：11．【點睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．記憶理解并應(yīng)用這兩個公式是解題的關(guān)鍵．變式5-4．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，已知，正五邊形的頂點、在射線上，頂點在射線上，則_________度．【答案】48【分析】是正五邊形的一個外角，利用多邊形外交和360°算出一個外角，再利用的內(nèi)角和180°，即可算出【詳解】∵四邊形ABCDE是正五邊形，是一個外角∴在中：故答案為：48【點睛】本題考查多邊形外角和和三角形內(nèi)角和，注意多邊形外角和均為360°變式5-5．（2021·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）若一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是______．【答案】8【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和等于（n﹣2）?180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)邊數(shù)為n，由題意得，180（n－2）=3603，解得n=8．所以這個多邊形的邊數(shù)是8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．變式5-6．（2020·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）已知一個正多邊形的內(nèi)角和為1440°，則它的一個外角的度數(shù)為_____度．【答案】36【分析】首先設(shè)此正多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多邊形的外角和等于360°，即可求得答案．【詳解】設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180°（n﹣2）=1440°，解得：n=10，∴這個正多邊形的每一個外角等于：360°÷10＝36°．故答案為：36．【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握定義與相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.考查題型六平面鑲嵌典例6．（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知一個多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個多邊形是（?????）A．八邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十二邊形【答案】C【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，然后根據(jù)內(nèi)角和與外角和公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則（n－2）×180°＝4×360°，解得：n＝10，故選C.【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的外角和定理，熟練掌握多邊形內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵.n變形的內(nèi)角和為：(n-2)×180°，n變形的外角和為：360°；然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解．變式6-1．（2021·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．工人師傅不能用下列哪種形狀、大