專(zhuān)題圓錐曲線(xiàn)中弦張直角問(wèn)題的研究與拓展

專(zhuān)題：錐曲線(xiàn)中弦張直角問(wèn)題的研究與拓展【課本溯源】（1）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y

x相于A，B兩點(diǎn)，求證OA.（2）已知直線(xiàn)y與物線(xiàn)

y交于A，B點(diǎn)，且OB（為標(biāo)原點(diǎn)的.【問(wèn)題提出】問(wèn)題：直角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的錐曲線(xiàn)中弦張直角問(wèn)題問(wèn)題：直角頂點(diǎn)為曲線(xiàn)頂點(diǎn)的錐曲線(xiàn)中弦張直角問(wèn)題問(wèn)題：直角頂點(diǎn)為曲線(xiàn)上不同頂點(diǎn)的任一點(diǎn)的圓錐曲線(xiàn)中弦張直角問(wèn)題【探究拓展】探究1假設(shè)過(guò)點(diǎn)

的直線(xiàn)l與物線(xiàn)

px相于，B兩點(diǎn)，則OAOB.證明：設(shè)直線(xiàn)l的方程為：my由題意顯然聯(lián)立直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)得：

pmypt由韋達(dá)定理有：yy2pm，.xy211212又點(diǎn)0線(xiàn)l上，故tp，而

pt所以，OB探究2直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)ypx相交于A，B兩，則的充要條件為直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)22變式2.1直l與橢圓相于B兩點(diǎn)則OA的充要條件是橢圓心到直a線(xiàn)l的距離

22變式2.2直l與雙曲線(xiàn)a相交于A，B兩點(diǎn)，a22（1）當(dāng)，OA的充要條件是雙曲線(xiàn)中心O直線(xiàn)l的離（2）當(dāng)ab0時(shí)，不可能有OB

；探究3直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y

px兩點(diǎn)，當(dāng)A（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，MAB，則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓（去原點(diǎn)O軌方程為/

變式3.1直線(xiàn)l:y與橢圓

2a2b2

交于A，B兩點(diǎn)則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)作AB，則點(diǎn)M的跡是一個(gè)以O(shè)圓心，以

a

ab

為半徑的一個(gè)圓，軌跡方程為a2222.a變式3.2直l:ykx雙曲線(xiàn)

22b交于B兩點(diǎn)則OA（為坐標(biāo)原點(diǎn)a作AB，則點(diǎn)M的跡是一個(gè)以O(shè)圓心，以

b

ab

為半徑的一個(gè)圓，軌跡方程為a2b222.b2探究4直線(xiàn)l與橢圓

2a相交于B兩點(diǎn)，P是右頂點(diǎn)，當(dāng)PB時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)定a點(diǎn),

變式4.1直l與橢圓

2a

相交于A，B兩，是其右頂點(diǎn)，當(dāng)A時(shí)直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),注：對(duì)于P是頂點(diǎn)時(shí)，同樣有相似結(jié).該問(wèn)題留給有興趣的讀者自己去研./

探究5設(shè)直線(xiàn)l交橢圓

2a于兩點(diǎn)，點(diǎn)Px是橢圓上不同于兩點(diǎn)的一a2b2個(gè)定點(diǎn)，則PA的要條件是直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)Q

,變式5.1設(shè)直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)

2a,a于兩點(diǎn)，點(diǎn)x是雙曲線(xiàn)上不同于，abB兩點(diǎn)的一個(gè)定，則PB的充要條件是直線(xiàn)l過(guò)定

a變式5.2設(shè)線(xiàn)l交拋物線(xiàn)

pxB兩點(diǎn)，點(diǎn)P

是拋物線(xiàn)上不同于，兩點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)，則PA的要條件是直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)Q

yp,

試題解答方法一：設(shè)

聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)得：x.由韋達(dá)定理有：，.又OAxyyx所以O(shè)Ax，而方法二：設(shè)

，假設(shè)線(xiàn)段AB的點(diǎn)為M

,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)得：

x.由韋達(dá)定理有：，4所以，

xy，y22

，M10.又1

x

x2，所以