人教b版選擇性必修第一冊1.1.1空間向量及其運算學(xué)案

【標題】第一章空間向量與立體幾何1．1空間向量及其運算1．1．1空間向量及其運算今日頭條1．平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運算．加法運算是對有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．2．向量的數(shù)量積為a·b＝|a||b|cos＜a，b＞，其結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，其符號由夾角θ的余弦值的符號決定．當θ為銳角時，a·b＞0，但當a·b＞0時，θ不一定是銳角，因為θ也可能為0；當θ為鈍角時，a·b＜0，但當a·b＜0時，θ不一定是鈍角，因為θ也可能為π．空間向量1．定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．2．模（或長度）：向量的大?。?．表示方法：（1）幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點為A，終點為B的向量，記為AB，模為|AB|．（2）字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．幾類特殊的向量1．零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量，記作0．2．單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．3．相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．4．相反向量：方向相反、大小相等的向量稱為相反向量．5．平行向量：方向相同或者相反的兩個非零向量互相平行，此時表示這兩個非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行．6．共面向量：一般地，空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面．空間向量的線性運算類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算．1．如圖1，在平行四邊形OABC中，OB＝OA＋AB＝a＋b，CA＝OA－OC＝a－b．2．如圖2，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，DA＋DC＋DD1＝即三個不共面向量的和，等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個向量有共同始點的對角線所表示的向量．3．給定一個實數(shù)λ與任意一個空間向量a，則實數(shù)λ與空間向量a相乘的運算稱為數(shù)乘向量，記作λa．其中：（1）當λ≠0且a≠0時，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：①當λ＞0時，與a的方向相同；②當λ＜0時，與a的方向相反．（2）當λ＝0或a＝0時，λa＝0．4．空間向量的線性運算滿足如下運算律：對于實數(shù)λ與μ，向量a與b，有①λa＋μa＝（λ＋μ）a；②λ（a＋b）＝λa＋λb．空間向量的數(shù)量積1．空間向量的夾角如果＜a，b＞＝π2，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b2．空間向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos＜a，b＞叫做a，b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b．3．數(shù)量積的幾何意義（1）向量的投影如圖所示，過向量a的始點和終點分別向b所在的直線作垂線，即可得到向量a在向量b上的投影a'．（2）數(shù)量積的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于a在b上的投影a'的數(shù)量與b的長度的乘積．特別地，a與單位向量e的數(shù)量積等于a在e上的投影a'的數(shù)量．規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0．4．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）a⊥b?a·b＝0；（2）a·a＝|a|2＝a2；（3）|a·b|≤|a||b|；（4）（λa）·b＝λ（a·b）；（5）a·b＝b·a（交換律）；（6）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．一、思考判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”）1．零向量沒有方向． （×）2．有向線段都可以表示向量，向量都可以用有向線段表示． （×）3．對于非零向量a，b，＜a，b＞與＜a，－b＞相等． （×）4．若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c． （×）5．若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a與b共線的充要條件． （×）二、思考題1．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，頂點連接的向量中與向量AD相等的向量共有幾個？答案：與向量AD相等的向量有BC，A1D1，B1C2．數(shù)量積運算滿足結(jié)合律和消去律嗎？答案：數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律，也不滿足消去律，即（a·b）·c≠a·（b·c），a·b＝a·c?/b＝c．探究1空間向量概念1．零向量和單位向量均是從向量模的角度進行定義的，|0|＝0，單位向量e的模|e|＝1．2．零向量不是沒有方向，它的方向是任意的．3．注意零向量的書寫，必須是0這種形式．4．兩個向量不能比較大小，若兩個向量的方向相同且模相等，則稱這兩個向量為相等向量，與向量起點的選擇無關(guān)．【例1】給出下列命題：①零向量沒有確定的方向；②在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC＝A1③若向量a與向量b的模相等，則a，b的方向相同或相反；④在四邊形ABCD中，必有AB＋AD＝AC．其中正確命題的序號是①②．[思路點撥]在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致．類比平面向量的結(jié)論，并根據(jù)空間向量的有關(guān)概念及性質(zhì)逐一判斷即可．解析：①正確；②正確，因為AC與A1C1的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能確定其方向，所以a與b的方向不能確定；④中只有當四邊形ABCD是平行四邊形時，才有AB＋AD＝AC．【針對訓(xùn)練】1．（多選題）下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是 （ABC）A．若向量a，b平行，則a，b所在直線平行B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C．若向量AB，CD滿足|AB|＞|CD|，則AB＞CDD．相等向量其方向必相同解析：A中，向量a，b平行，則a，b所在的直線平行或重合；B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；C中，向量作為矢量不能比較大小，故選ABC．2．如圖所示，在平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，頂點連接的向量中，與向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'；與向量A'B'相反的向量有B'A解析：根據(jù)相等向量的定義知，與向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'．與向量A'B'相反的向量有B探究2空間向量的線性運算1．空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加減法運算類似于平面向量的加減法，如圖所示．OB＝OA＋AB＝a＋bBA＝OA－OB＝a－b2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立．【例2】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c（1）AP；（2）A1N；（3）MP＋[思路點撥]根據(jù)空間向量加減法及數(shù)乘運算的法則和運算律求解．解析：（1）∵P是C1D1的中點，∴AP＝AA1＋A＝a＋c＋12AB＝a＋c＋1（2）∵N是BC的中點，∴A1N＝A1A＋AB＋＝－a＋b＋12AD＝－a＋b＋1（3）∵M是AA1的中點，∴MP＝MA＋AP＝－12a＋a+c+12b＝1又∵NC1＝NC＋C＝12AD＋AA1∴MP＋NC1＝12a+b+c【針對訓(xùn)練】1．如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'，點E是上底面A'B'C'D'的中心，求下列各式中x，y，z的值．（1）BD'＝xAD＋yAB＋zAA（2）AE＝xAD＋yAB＋zAA'解析：（1）因為BD'＝BD＋DD'＝BA又BD'＝xAD＋yAB＋zAA所以x＝1，y＝－1，z＝1．（2）因為AE＝AA'＋A'E＝AA'＋12A'C'＝AA'＋12（A'所以x＝12，y＝12，z＝2．在如圖所示的平行六面體中，求證：AC＋AB'＋AD'＝2證明：∵平行六面體的六個面均為平行四邊形，∴AC＝AB＋AD，AB'＝AB＋AA∴AC＋AB'＋AD'＝（AB＋AD）＋（AB＋AA'又∵AA'＝CC'，AD＝∴AB＋AD＋AA'＝AB∴AC＋AB'＋探究3空間向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算的兩種方法：（1）利用定義：利用a·b＝|a||b|cos＜a，b＞，并結(jié)合運算律進行計算．（2）利用圖形：計算兩個向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進行運算．【例3】如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求值：（1）EF·BA；（2）EF·BD；（3）EF·DC；（4）AB·CD．[思路點撥]確定向量的模和夾角，注意合理利用向量的線性運算．解析：（1）EF·BA＝12BD·BA＝12|BD||BA|cos＜BD，BA＞＝12cos60（2）EF·BD＝12BD·BD＝12|BD|2（3）EF·DC＝12BD·DC＝12|BD||DC|cos＜BD，DC＞＝12cos120°（4）AB·CD＝AB·（AD－AC）＝AB·AD－AB·AC＝|AB||AD|cos＜AB，AD＞－|AB||AC|cos＜AB，AC＞＝cos60°－cos60【針對訓(xùn)練】1．已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則（2a－b）·a等于 （D）A．12B．8＋13C．4 D．13解析：（2a－b）·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos120°＝2×4－2×5×-12＝2．如圖，已知正四面體OABC的棱長為1．求：（1）OA·OB；（2）（OA＋OB）·（CA＋CB）．解析：在正四面體OABC中，|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，＜OA，OB＞＝＜OA，OC＞＝＜OB，OC＞＝60°．（1）OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12（2）（OA＋OB）·（＝（OA＋OB）·（＝（OA＋OB）·（OA＋OB＝OA2＋2OA·OB－2OA·OC＋OB2－＝12＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1＋1－1＋1－1＝1．1．（多選題）下列說法錯誤的是 （ABD）A．若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同B．若向量AB，CD，滿足|AB|＞|CD|，且AB與CD同向，則AB＞CDC．若兩個非零向量AB與CD滿足AB＋CD＝0，則AB，CD為相反向量D．AB＝CD的充要條件是A與C重合，B與D重合解析：A錯誤．兩個空間向量相等，其模相等且方向相同，但與起點和終點的位置無關(guān)．B錯誤．向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大?。瓹正確．AB＋CD＝0，得AB＝－CD，且AB，CD為非零向量，所以AB，CDD錯誤．由AB＝CD，知|AB|＝|CD|，且AB與CD同向，但A與C，B與D不一定重合．2．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝14A1C1，若AE＝xAA1＋y（AB＋A．x＝1，y＝12B．x＝12，yC．x＝1，y＝13 D．x＝1，y＝解析：因為AE＝AA1＋A1E＝AA1＋14A1C3．已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，則兩直線的夾角為 （BA．30° B．60°C．120° D．150°解析：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝a·b|a||b|＝－12，所以θ