2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)19 直線和圓的方程解析版

考點(diǎn)19直線和圓的方程（核心考點(diǎn)講與練）一、直線與方程1.直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角.(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π).2.直線的斜率(1)定義：直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線斜率不存在.(2)計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2).若直線的傾斜角為θ(θ≠eq\f(π,2))，則k＝tan__θ.3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線兩條直線的位置關(guān)系1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.2.兩直線相交直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對(duì)應(yīng).相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行?方程組無解；重合?方程組有無數(shù)個(gè)解.3.距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離公式平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).圓的方程1.圓的定義和圓的方程定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相離d>rΔ<02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，R＞r，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)432101.求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出斜率k＝tanα的取值范圍．(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在．2.已知兩直線的一般方程兩直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系數(shù)A1，B1，C1，A2，B2，C2與垂直、平行的關(guān)系：A1A2＋B1B2＝0?l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0?l1∥l2.3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法：(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程隨后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題．4.求圓的弦長的常用方法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則()2＝r2－d2.(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2|＝.5.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長．6.在解決直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)計(jì)算，這樣既簡單又不容易出錯(cuò)．直線的傾斜角與斜率一、單選題1．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）若圓的弦MN的中點(diǎn)為，則直線MN的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可知，則可求得斜率，進(jìn)而求得直線方程.【詳解】由圓方程可知圓心，則，由題可知，所以，又MN過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式公式可知直線MN的方程是.故選：B.2.（2021天津市第七中學(xué)月考）已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【分析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D3．（2022·天津南開·一模）已知函數(shù)．若函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)的圖象，作出直線，由圖象知只要直線與的圖象在軸左右兩側(cè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，則的圖象就經(jīng)過四個(gè)象限（時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)，時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)），因此求得直線的斜率，再求得直線與相切的切線斜率（注意取舍）即可得結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，作出直線，它過定點(diǎn)，由圖可得，只要直線與的圖象在軸左右兩側(cè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，則的圖象就經(jīng)過四個(gè)象限（時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)，時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)），時(shí)，與軸的公共點(diǎn)為，，時(shí)，，由得，，解得或，由圖象知，切線的斜率為，所以時(shí)滿足題意．故選：A．4．（2022·山東濰坊·二模）已知直線，，若，則(

)A． B． C．3 D．－3【答案】A【分析】兩直線斜率均存在時(shí)，兩直線垂直，斜率相乘等于－1，據(jù)此即可列式求出a的值．【詳解】∵，∴．故選：A．5．（2022·北京豐臺(tái)·二模）已知雙曲線C：（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，．以線段為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在第一象限，與另一條漸近線平行．若，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得以線段為直徑的圓的方程為，與漸近線聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)與另一條漸近線平行可求出的關(guān)系，然后根據(jù)，即可求出的值，從而可得出答案.【詳解】解：由題意，，則以線段為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，又因點(diǎn)M在第一象限，所以，因?yàn)榕c直線平行，所以，即，所以，則，因?yàn)椋?，即，所以，則，所以，，所以.故選：C.二、多選題6．（2022·湖南衡陽·二模）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請(qǐng)解決下面問題：已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為的平分線，則下列正確的是（

）A．B．C．點(diǎn)到軸的距離為D．的角平分線所在直線的傾斜角為【答案】AD【分析】證明出雙曲線在其上一點(diǎn)的切線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷ABC選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出的斜率，可計(jì)算出的角平分線所在直線的斜率，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】先證明結(jié)論雙曲線在其上一點(diǎn)的切線的方程為，由已知，聯(lián)立可得，即，解得，所以，雙曲線在其上一點(diǎn)的切線的方程為.本題中，設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，將點(diǎn)代入切線方程可得，所以，即點(diǎn)到軸的距離為，C錯(cuò)；在雙曲線中，，，則，則、，所以，，，所以，，A對(duì)；，，所以，，則，B錯(cuò)；因?yàn)榈慕瞧椒志€交軸于點(diǎn)，則，所以，，，則，故的角平分線所在直線的傾斜角為，D對(duì).故選：AD.三、填空題7.（2021年1月新高考八省聯(lián)考卷）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______．【答案】和.【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為，得到，得出對(duì)角線所在直線的斜率為，結(jié)合兩角和的正切公式，求得，再結(jié)合兩直線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為，其斜率，則其中一條對(duì)角線所在直線的傾斜角為，其斜率為，根據(jù)題意值，可得，解得，即正方形其中一邊所在直線的斜率為，又由相鄰邊與這邊垂直，可得相鄰一邊所在直線的斜率為.故答案為：和.8．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)函數(shù)，點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，若向量，且是與的夾角，則的最大值是______．【答案】【分析】先利用平面向量的線性運(yùn)算化簡，再利用直線的斜率公式求出的表達(dá)式，再利用基本不等式求其最值.【詳解】由向量的線性運(yùn)算，得，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，是與的夾角，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最大值是．故答案為：.四、解答題9．（2022·北京豐臺(tái)·二模）已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，R為PQ的中點(diǎn)，作PQ的平行線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線AQ與橢圓C交于另一點(diǎn)M，直線BQ與橢圓C交于另一點(diǎn)N，求證：M，N，R三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓定義，可求得a值，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得，即可得答案.（2）由題意可得R點(diǎn)坐標(biāo)和直線PQ的斜率，即可設(shè)直線l的方程為，，可得直線AQ的方程為，與橢圓聯(lián)立，即可求得表達(dá)式，同理可得表達(dá)式，即可求導(dǎo)直線MN的斜率，再求得直線MR的斜率，分析即可得證.(1)根據(jù)橢圓的定義可得，解得，又過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓C的方程為.(2)因?yàn)?，，所以，，設(shè)直線l的方程為，，所以，所以直線AQ的方程為，直線BQ的方程為，聯(lián)立直線AQ與橢圓，消去x可得，所以，又代入，整理可得，代入直線AQ，可得同理可得，，所以又，所以M，N，R三點(diǎn)共線兩直線的位置關(guān)系1.（2021黑龍江省實(shí)驗(yàn)中高三檢測(cè)）已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.或 D.或【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得到且，即可求解.【詳解】由題意，直線和互相平行，可得且，即且，解得或.故選：C.直線與圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2022·河南河南·三模（理））已知，為圓：上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線：上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得線段中點(diǎn)的軌跡，結(jié)合向量的模、圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí)求得的最小值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為.到直線的距離為，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為.所以.故選：A2．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓C：，若直線l：ax－y＋1－a＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】求出直線所過定點(diǎn)，當(dāng)直線與定點(diǎn)和圓心連線垂直時(shí)，弦長最小，由此可得結(jié)論．【詳解】易知直線，過定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，而，所以．故選：B．3.（2021內(nèi)蒙古赤峰二中高三第一次月考）圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是（）A．或B．C．D．或【答案】A【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得得取值范圍，即可得答案．【詳解】若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即，∴，即，∴或，∴圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是或．故選：A4.（2022廣西南寧市高三摸底測(cè)試）已知直線與圓相切，則m的值為（）A.3或 B.1或C.0或4 D.或0【答案】A【分析】利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式計(jì)算即得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因直線與圓相切，則點(diǎn)到直線的距離為，整理得，解得或，所以m的值為3或.故選：A5.（2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)）圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，則＋的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】C【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，由題意可得圓心在直線ax－by＋6＝0上，從而可得a＋3b＝3，所以＋＝(a＋3b)，化簡后利用基本不等可求得答案【詳解】由圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，∴該直線經(jīng)過圓心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)取等號(hào)，故選：C.二、多選題6．（2022·遼寧鞍山·二模）已知M為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l與圓C相切 B．直線l與圓C相離C．|PM|的最大值為 D．|PM|的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)圓心到直線l得距離，可知直線l與圓C相離；∵P、M均為動(dòng)點(diǎn)，對(duì)|PM|先固定點(diǎn)P可得，再看不難發(fā)現(xiàn)，即．【詳解】圓C：得圓心,半徑∵圓心到直線l：得距離∴直線l與圓C相離A不正確，B正確；C不正確，D正確；故選：BD．7．（2022·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知a>0，圓C：，則（

）A．存在3個(gè)不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切B．存在2個(gè)不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等C．存在2個(gè)不同的a，使得圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)D．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分【答案】ACD【分析】本題考查圓的方程與性質(zhì)以及函數(shù)圖象．當(dāng)圓心縱(橫)坐標(biāo)的絕對(duì)值等于半徑時(shí)，圓與x(y)軸相切，可判定A；當(dāng)圓心到x軸或y軸距離相等時(shí)，在軸上截得的線段相等，可判定B；對(duì)于C，只要圓心到原點(diǎn)距離等于半徑即可；當(dāng)直線過圓心時(shí)，平分圓的面積，可判定D.【詳解】由條件可知，圓C的半徑為1，圓心坐標(biāo)為（a，lna），即圓心在曲線y＝lnx上運(yùn)動(dòng)．對(duì)于A，當(dāng)a＝1時(shí)，圓C與y軸相切，當(dāng)，即a＝e或時(shí)，圓C與x軸相切，所以滿足要求的a有3個(gè)，A正確；對(duì)于B，若圓C在x軸和y軸上截得的線段相等，則圓心到x軸和y軸的距離相等，故圓心在上，又圓心在y＝lnx上，作圖可知曲線y＝lnx與y＝x沒有公共點(diǎn)，與y＝-x有一個(gè)交點(diǎn)，所以滿足要求的a僅有一個(gè)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，如下圖可知，曲線y＝lnx與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以滿足要求的a有2個(gè)，C正確；對(duì)于D，若圓C的面積被直線平分，則直線經(jīng)過圓心（a，lna），計(jì)算可知曲線y＝lnx在x＝e處的切線恰好為，即滿足要求的a僅有一個(gè)，故D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】已知圓C：，有如下結(jié)論：(1)當(dāng)或時(shí)，圓C與y軸或x軸相切；(2)當(dāng)時(shí)，圓心到兩軸距離相等，若與兩軸相交，則截得的線段相等；(3)若圓C過原點(diǎn)，則；(4)若直線過圓心，則平分圓的面積.8．（2022·重慶·二模）已知點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A．以線段為直徑的圓必過圓心B．以線段為直徑的圓的面積的最小值為C．四邊形的面積的最小值為4D．直線在軸上的截距的絕對(duì)值之和的最小值為4【答案】BC【分析】利用直線與圓之間的關(guān)系，列出點(diǎn)到直線距離公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【詳解】由題知，可設(shè)點(diǎn)，則以BC為直徑的圓方程為，兩圓做差可得直線，易得直線過定點(diǎn)，故圓心到直線的距離不是定值，不恒成立，故選項(xiàng)不正確；因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)最小，，故最小半徑為，所以線段為直徑的圓的最小面積為，B選項(xiàng)正確；四邊形的面積，，故，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，兩截距均為0，故選項(xiàng)不正確.故選：BC三、填空題9.（2021浙江省高三高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷（二））已知直線，若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為______，動(dòng)直線被圓截得弦長的最小值為______．【答案】①.②.【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解；首先判斷直線過定點(diǎn)，利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當(dāng)過點(diǎn)且與垂直的弦的弦長最短.【詳解】由題意得，所以．當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去，故．因?yàn)閳A的方程可化為，即圓心為，半徑為5．由于直線過定點(diǎn)，所以過點(diǎn)且與垂直的弦的弦長最短，且最短弦長為．故答案為：；四、解答題10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求a.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)化為極坐標(biāo)方程，根據(jù)公式將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)圓心角的性質(zhì)得到，即可得到圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得，再檢驗(yàn)即可；(1)解：因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）所以，所以曲線C的普通方程為，即，又，所以，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為.因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為，所以，即直線l的直角坐標(biāo)方程為.(2)解：設(shè)曲線C的圓心為，半徑，因?yàn)辄c(diǎn)O在圓上，且，所以，則點(diǎn)到直線的距離為，所以，則或，當(dāng)時(shí)，直線l過原點(diǎn)O，不符合題意；所以.圓與圓的位置關(guān)系1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知圓：截直線所得線段的長度是，則圓與圓：的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離【答案】C【分析】由題可知圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)橄议L為，則由弦長公式可求得，即可得圓心，半徑.又因?yàn)閳A的圓心，半徑，則兩圓的圓心距為，故兩圓外切.【詳解】由題可知圓的圓心為，半徑為，則到直線距離則弦長，解得，則，，又因?yàn)?，，所以圓心距，兩圓外切故選：C.2.（2021江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)高三第一次階段考試）已知，分別為圓：與：的直徑，則的取值范圍為________．【答案】【分析】根據(jù)平面向量的加法法則可知，，代入中化簡整理后得，將平面向量進(jìn)行平移后運(yùn)算可推出，，從而得解．【詳解】解：根據(jù)題意，作出如下所示的圖形，．而，，，，．故答案為：直線與圓的綜合問題1.過x軸上一點(diǎn)P向圓作圓的切線，切點(diǎn)為A、B，則面積的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】解法一由點(diǎn)P離原點(diǎn)越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，的面積趨向于無窮大；當(dāng)點(diǎn)P趨近于原點(diǎn)時(shí)，的面積逐漸變小，利用極限法，由點(diǎn)P與原點(diǎn)重合求解；解法二設(shè)，，由求解.【詳解】解法一（極限法）：如圖所示，若點(diǎn)P離原點(diǎn)越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，越來越長，、也隨著越來越長，顯然的面積趨向于無窮大；當(dāng)點(diǎn)P趨近于原點(diǎn)時(shí)，的面積逐漸變小，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)，，且此時(shí)的為正三角形，面積最小，其最小面積為，解法二（直接解法）：設(shè)，則，，設(shè)，則有，，于是，顯然上式是的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：A.2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）動(dòng)點(diǎn)與給定的邊長為1的正方形在同一平面內(nèi)，設(shè)此正方形的頂點(diǎn)為，，，（逆時(shí)針方向），且點(diǎn)到，，的距離分別為，，．若，則點(diǎn)的軌跡是________；點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為________．【答案】①.圓；②.【分析】以B為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，得出點(diǎn)P的軌跡是圓，結(jié)合圖象可得P點(diǎn)到D點(diǎn)的最大距離.【詳解】以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∵，，，，不妨設(shè)，則，，，又∵，∴，整理，可得，所以點(diǎn)的軌跡是圓，其方程為（注：坐標(biāo)系建立的不同，圓的方程的形式不同）.結(jié)合圖象可得，點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，故答案為：圓；.1.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線【答案】A【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））已知圓，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時(shí)根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.3.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅲ））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.4.（2021年全國高考甲卷）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點(diǎn)在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）[方法一]：設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．當(dāng)時(shí)，同解法1．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．由直線與相切得，化簡得，同理，由直線與相切得．因?yàn)榉匠掏瑫r(shí)經(jīng)過點(diǎn)，所以的直線方程為，點(diǎn)M到直線距離為．所以直線與相切．綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．【整體點(diǎn)評(píng)】第二問關(guān)鍵點(diǎn)：過拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；法一是要充分利用的對(duì)稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行證明，方法二更為簡單，開拓學(xué)生思路一、單選題1．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，是拋物線上的點(diǎn).若軸，則以為直徑的圓截直線所得的弦長為(

)A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】求出M坐標(biāo)及直線AM的方程，根據(jù)圓的弦長公式即可求解．【詳解】由題知，，，，∵軸，∴，根據(jù)拋物線對(duì)稱性，不妨取，則，原點(diǎn)O到直線AM的距離為：，∴以為直徑的圓截直線所得的弦長為：﹒故選：B﹒2．（2022·江西南昌·二模（文））已知直線與直線垂直，則m=（

）A．-2 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線垂直，直接列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由知，斜率為2，所以直線與不垂直，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得.故選：C.3．（2022·天津河西·一模）拋物線的準(zhǔn)線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）．A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】準(zhǔn)線為，圓心為，，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即可求解.【詳解】由題，拋物線的準(zhǔn)線為，圓的圓心為，，設(shè)圓心到直線的距離為，易得，所以，故選：A4．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知直線恒過定點(diǎn)M，點(diǎn)N在曲線上，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先由直線過定點(diǎn)求出，再結(jié)合以及N在曲線上求出，直接計(jì)算面積即可.【詳解】易知直線過定點(diǎn)，即，可得，設(shè)，則，解得或，故，故的面積為.故選：A.5．（2022·安徽·蕪湖一中三模（文））直線平分圓的周長，過點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】由條件求出參數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì).【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€平分圓的周長，所以直線經(jīng)過，所以，故，由已知，，，圓的半徑為3，所以，故選：B.6．（2022·山西臨汾·三模（理））已知直線l過圓的圓心，且與直線2x＋y－3＝0垂直，則l的方程為（

）A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0【答案】D【分析】利用配方法求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合垂直直線之間斜率的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€2x＋y－3＝0的斜率為，所以與直線2x＋y－3＝0垂直的直線l的斜率為，所以l的方程為：，故選：D二、多選題7．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)二模）已知直線l過點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是(

)A． B．C． D．【答案】BC【分析】分直線l斜率存在和不存在進(jìn)行討論﹒當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線l的方程．【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為5，點(diǎn)到直線的距離為1，此時(shí)不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，∵點(diǎn)到直線的距離相等，，解得，或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得綜上，直線的方程可能為或故選：BC．8．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l過點(diǎn)（3，4），點(diǎn)A（－2，2），B（4，－2）到l的距離相等，則l的方程可能是（

）A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0【答案】BC【分析】分A，B在直線l同側(cè)和A，B在直線l異側(cè)兩種情況討論，從而可得出答案.【詳解】解：A，B在直線l同側(cè)時(shí)，，，即，A，B在直線l異側(cè)時(shí)，l過中點(diǎn)，∴，，即，故選：BC．9．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知Р是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)Q，則（

）A．B．直線與圓O相切C．直線與圓O截得弦長為D．長最大值為【答案】ACD【分析】由兩直線垂直的條件判斷A，由圓心到直線的距離判斷B，由到直線的距離結(jié)合勾股定理求弦長判斷C，求出到圓心的距離的最大值加圓半徑判斷D．【詳解】圓半徑為2，，所以，A正確；圓心到的距離為，與圓相離，B錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，所以弦長為，C正確；由，得，即，所以，所以長最大值為，D正確故選：ACD．10．（2022·湖北·二模）設(shè)動(dòng)直線交圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)C為圓心），則下列說法正確的有（

）A．直線l過定點(diǎn)B．當(dāng)取得最小值時(shí)，C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為D．的最大值為24【答案】AD【分析】對(duì)A：將原方程轉(zhuǎn)化為，從而即可求解；對(duì)B：當(dāng)取得最小值時(shí)，，從而即可求解；對(duì)C：當(dāng)最小，即取得最小值時(shí)，，從而即可求解；對(duì)D：由，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓心坐標(biāo)為，半徑，對(duì)A：直線，即，由，可得直線l過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：當(dāng)取得最小值時(shí)，，所以，即，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)最小，即取得最小值時(shí)，，此時(shí)，從而可得，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：，所以當(dāng)取得最大值，即為直徑時(shí)，，此時(shí)，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11．（2022·廣東深圳·二模）P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則（

）A．弦長的最小值為 B．存在點(diǎn)P，使得C．直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn) D．線段的中點(diǎn)在一個(gè)定圓上【答案】ACD【分析】設(shè)，則為的中點(diǎn)，且，再根據(jù)勾股定理、等面積法及銳角三角函數(shù)得到、，根據(jù)的范圍，即可判斷A、B，設(shè)，求出以為直徑的圓的方程，兩圓方程作差，即可得到切點(diǎn)弦方程，從而判斷C，再根據(jù)圓的定義判斷D；【詳解