江蘇省常州市教學(xué)聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

2020學(xué)年度第二學(xué)期期中教學(xué)情況調(diào)研高二年級數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則，求得答案.【詳解】因為故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，求得答案.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)，可得導(dǎo)函數(shù)故選：C【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.3.從5名男生和4名女生中，選兩人參加歌唱比賽，恰好選到一男一女的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別計算總的基本事件個數(shù)，和滿足條件的基本事件個數(shù)，由古典概型概率計算公式求得答案.【詳解】設(shè)事件A：從5名男生和4名女生中，選兩人參加歌唱比賽，恰好選到一男一女，則總的基本事件個數(shù)有個；恰好選到一男一女的基本事件個數(shù)有，則，故選：B【點睛】本題考查利用組合公式求古典概型問題的概率，屬于基礎(chǔ)題.4.展開式中的常數(shù)項為（）A.80 B.-80 C.270 D.-270【答案】D【解析】【分析】由公式表示二項展開式的通項，令其指數(shù)為零，即可表示指定項的系數(shù).【詳解】該二項展開式的通項為，令，即時，有故選：D【點睛】本題考查求二項式展開式中指定項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.5【答案】A【解析】【分析】由正態(tài)分布的對稱性可知，再由對立事件的概率計算方式求得答案.【詳解】由正態(tài)分布的對稱性可知，故故選：A【點睛】本題考查利用正態(tài)分布的對稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上恒小于等于零，進而由恒成立問題解決即可.【詳解】因為若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒小于等于零，即有，令，顯然其在上單調(diào)遞減，則故故選：A【點睛】本題考查由已知區(qū)間單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題.7.用0，1，2，…，8這九個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】特殊元素優(yōu)先考慮，優(yōu)先考慮最高位置不排0，再任選2個數(shù)字全排列，由分步計數(shù)原理運算公式計算即可.【詳解】第一步：優(yōu)先考慮最高位放置非0外的8個數(shù)中的任意一個有8種可能；第二步：從除上述數(shù)字意外的8個數(shù)字中任選2個在后面全排列，有種可能；故已知要求的事件的個數(shù)是.故選：B【點睛】本題考查由排列問題中排數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.8.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點，則在區(qū)間上的最大值為（）A.4 B.10 C.16 D.20【答案】D【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)整理得，分類討論當(dāng)時，在上單調(diào)遞增且，則不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則該零點處就是極值處，進而構(gòu)建方程求得參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值即可.【詳解】因為，則，當(dāng)時，顯然，則原函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，則在上沒有零點，不符合題意；當(dāng)時，由于，令即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又因為函數(shù)在有且僅有一個零點，則所以，即，令，解得或2故其單調(diào)性為：02+0-0+極大值極小值20所以函數(shù)的極大值為，右端點值為，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為20故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，并求三次函數(shù)在指定區(qū)間的最值，屬于中檔題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.若的展開式中第3項與第8項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（）A.第3項 B.第4項 C.第5項 D.第6項【答案】CD【解析】【分析】該二項展開式中的項的系數(shù)于二項式系數(shù)相等，表示出第3項與第8項的系數(shù)，可求得n，再表示該展開式中二項式系數(shù)最大的項即可.【詳解】由題可知，該二項展開式中的項的系數(shù)于二項式系數(shù)相等，且展開式中第3項與第8項的系數(shù)為，又因為其相等，則所以該展開式中二項式系數(shù)最大的項為與項即為第5項；第6項.故選：CD【點睛】本題考查表示二項展開式的項的系數(shù)，還考查了求其中系數(shù)最大的項，屬于基礎(chǔ)題.10.下列等式中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】選項A，選項B，選項D，利用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的階乘形式表示并整理即可說明；選項C，由組合數(shù)性質(zhì)還原化簡即可判定.【詳解】選項A，左邊==右邊，正確；選項B，右邊左邊，正確；選項C，右邊左邊，錯誤；選項D，右邊左邊，正確.故選：ABD【點睛】本題考查排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的運算，還考查了組合數(shù)公式的性質(zhì)，屬于中檔題.11.在平面直角坐標系中，點在曲線上，則點到直線的距離可以為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為計算曲線與直線的最短距離，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得即可.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點，則，因為解得，即，故曲線與直線的最短距離為所以可以為故選：CD【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.12.4支足球隊進行單循環(huán)比賽（任兩支球隊恰進行一場比賽），任兩支球隊之間勝率都是．單循環(huán)比賽結(jié)束，以獲勝的場次數(shù)作為該隊的成績，成績按從大到小排名次順序，成績相同則名次相同．下列結(jié)論中正確的是（）A.恰有四支球隊并列第一名為不可能事件 B.有可能出現(xiàn)恰有三支球隊并列第一名C.恰有兩支球隊并列第一名的概率為 D.只有一支球隊名列第一名的概率為【答案】ABD【解析】【分析】4支足球隊進行單循環(huán)比賽總的比賽共有場比賽，比賽的所有結(jié)果共有種；選項A，這6場比賽中不滿足4支球隊得分相同的的情況；選項B，舉特例說明即可；選項C，在6場比賽中，從中選2支球隊并列第一名有種可能，再分類計數(shù)相互獲勝的可能數(shù)，最后由古典概型計算概率；選項D，只有一支球隊名列第一名，則該球隊?wèi)?yīng)贏了其他三支球隊，由古典概型問題計算即可.【詳解】4支足球隊進行單循環(huán)比賽總的比賽共有場比賽，比賽的所有結(jié)果共有種；選項A，這6場比賽中若4支球隊優(yōu)先各贏一場，則還有2場必然有2支或1支隊伍獲勝，那么所得分值不可能都一樣，故是不可能事件，正確；選項B，其中6場比賽中，依次獲勝的可以是，此時3隊都獲得2分，并列第一名，正確；選項C，在6場比賽中，從中選2支球隊并列第一名有種可能，若選中a，b，其中第一類a贏b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b兩種情況，同理第二類b贏a，也有兩種，故恰有兩支球隊并列第一名的概率為，錯誤；選項D，從4支球隊中選一支為第一名有4種可能；這一支球隊比賽的3場應(yīng)都贏，則另外3場的可能有種，故只有一支球隊名列第一名的概率為，正確.故選：ABD【點睛】本題考查利用計數(shù)原理解決實際問題的概率問題，還考查了事件成立與否的判定，屬于較難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷中的橫線上．13.曲線在點處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】求函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程的斜率，再由點斜式表示切線方程.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，則切線的斜率為，故切線方程為，即故答案為：【點睛】本題考查求利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.14.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】由已知表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面的運動軌跡為圓，又因為所求可視為兩點間的距離，最后計算點到圓心的距離加半徑即為最大值.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，即故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的運動軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，則可視為在復(fù)平面上點與間的距離，由圓的性質(zhì)可知.故答案為：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了與圓有關(guān)的距離的最值問題，屬于簡單題.15.設(shè)隨機變量的概率分布列如下表所示：123其中，，成等差數(shù)列，若隨機變量均值為，則的方差為_________．【答案】【解析】【分析】利用等差中項的性質(zhì)與分布列中概率和為1和均值的計算公式構(gòu)建方程求得參數(shù)，再由方差的計算公式求得答案.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，則，其在分布列中，所以，又因為機變量的均值，且,故所以的方差為故答案為：【點睛】本題考查分布列的性質(zhì)與均值的計算，還考查了方差公式的應(yīng)用與計算，屬于簡單題.16.已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】將已知等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，分別作出圖象，觀察其只需滿足二次函數(shù)頂點低于函數(shù)的頂點，從而構(gòu)建不等式，解得答案.【詳解】函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，對函數(shù)求導(dǎo)，得，,，函數(shù)單調(diào)遞增；,，函數(shù)單調(diào)遞減，在處取得極大值，也是最大值為，對二次函數(shù)，其對稱軸為，頂點坐標為分別作出圖象，其若要有兩個交點，則故答案為：【點睛】本題考查由函數(shù)圖象的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)（，是虛數(shù)單位）．（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)除法公式計算并整理，再由純虛數(shù)中實部為零，虛部不為零構(gòu)建方程組，求得答案；（2）由共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的加減法計算公式整理，再由復(fù)數(shù)的幾何意義構(gòu)建不等式組，求得答案.【詳解】（1），因為為純虛數(shù)，所以，解得．（2）因為是的共軛復(fù)數(shù)，所以，所以．因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限，所以，解得．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)中利用純虛數(shù)的定義求參數(shù)取值范圍，還考查了由復(fù)數(shù)的幾何意義求參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.18.在箱子中有10個小球，其中有3個紅球，3個白球，4個黑球．從這10個球中任取3個．求：（1）取出的3個球中紅球的個數(shù)的分布列；（2）取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】【分析】（1）優(yōu)先表示隨機變量可能的取值，顯然該事件服從超幾何分布，由其概率計算公式分別求得對應(yīng)概率即可列出分布列；（2）事件“紅球個數(shù)多于白球個數(shù)”可以分解為，“恰好取出個紅球和個黑球”為事件，“恰好取出個紅球”為事件，“恰好取出個紅球”為事件，再由計數(shù)原理和古典概型概率公式分別計算概率，最后由相互獨立事件的概率計算方式求得答案.【詳解】（1）題意知的所有可能取值為，，，，且服從參數(shù)為，，的超幾何分布，因此．所以，，，．故的分布列為：X0123P（2）設(shè)“取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)”為事件，“恰好取出個紅球和個黑球”為事件，“恰好取出個紅球”為事件，“恰好取出個紅球”為事件，由于事件，，彼此互斥，且，而，，，所以取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率為：．答：取出的3個球中紅球個數(shù)多于白球個數(shù)的概率為．【點睛】本題考查求超幾何分布事件的分布列，還考查了相互獨立事件的概率的計算，屬于中檔題.19.（1）解不等式：；（2）已知，且．求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由排列數(shù)公式轉(zhuǎn)化已知，再解一元二次不等式，最后注意排列數(shù)公式中；（2）由二項展開式的通項公式表示的系數(shù)，從而求得n，最后由賦值法分別賦值與x=-1再相加除以2即可.【詳解】（1）由題得，化簡得，即，所以．因為，且所以不等式的解集為．（2）二項式展開中的系數(shù)為，所以，化簡得，即，因為，所以．所以，當(dāng)①當(dāng)，②①+②得，所以．【點睛】本題考查運用排列數(shù)公式求參數(shù)取值范圍，還考查了二項展開式中由指定項系數(shù)求參數(shù)并利用賦值法求系數(shù)和問題，屬于中檔題.20.已知函數(shù)．(是自然對數(shù)的底數(shù)，)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)時，．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，；（2）詳見解析．【解析】【分析】（1）優(yōu)先確定定義域，再由求導(dǎo)法則求導(dǎo)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0與小于0構(gòu)建不等式，解得解集即為對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）表示的解析式，欲證，等價轉(zhuǎn)化為證明大于0，再對求導(dǎo)分析單調(diào)性并求最值，從而說明即可得證.【詳解】（1）由題得函數(shù)的定義域為，化簡得．令，解得或，所以單調(diào)增區(qū)間為，，令，解得或，所以單調(diào)減區(qū)間為，，綜上的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，．（2），即，令，令得．列表-+極小值所以當(dāng)時，最小值為，所以．因為當(dāng)時，，所以，得證．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于較難題.21.某工廠生產(chǎn)了一批高精尖的儀器，為確保儀器的可靠性，工廠安排了一批專家檢測儀器的可靠性，毎臺儀器被毎位專家評議為“可靠”的概率均為，且每臺儀器是否可靠相互獨立．（1）當(dāng)，現(xiàn)抽取4臺儀器，安排一位專家進行檢測，記檢測結(jié)果可靠的儀器臺數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為進一步提高出廠儀器的可靠性，工廠決定每臺儀器都由三位專家進行檢測，只有三位專家都檢驗儀器可靠，則儀器通過檢測．若三位專家檢測結(jié)果都為不可靠，則儀器報廢．其余情況，儀器需要回廠返修．?dāng)M定每臺儀器檢測費用為100元，若回廠返修，每臺儀器還需要額外花費300元的維修費．現(xiàn)以此方案實施，且抽檢儀器為100臺，工廠預(yù)算3.3萬元用于檢測和維修，問費用是否有可能會超過預(yù)算？并說明理由．【答案】（1）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望；（2）不會超過預(yù)算，理由詳見解析．【解析】【分析】（1）該事件滿足二項分布，由其概率計算公式分別計算隨機變量為，，，，4的概率，即可列出分布列，再由np計算均值；（2）設(shè)每臺儀器所需費為X元，則X的可能取值為100，400，為100時，即都通過或都不通過，即可計算，再由對立事件概率計算方式求得，即可表示一臺儀器花費的數(shù)學(xué)期望函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值，即可判定.【詳解】（1）題意知的所有可能取值為，，，，4，且服從參數(shù)為的二項分布，所以，，，，．故的分布列為：X01234P從而．（2）設(shè)每臺儀器所需費為X元，則X的可能取值為100，400．，．所以=，化簡得，令，，解得，當(dāng)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，的最大值為．實施此方案，最高費用為元33000元，不會超過預(yù)算．【點睛】本題考查求二項分布事件的分布列與均值，利用數(shù)學(xué)期望解決實際問題，還