北師大版選擇性必修第一冊(cè)6.3.1離散型隨機(jī)變量的均值作業(yè)

§3離散型隨機(jī)變量的均值與方差3.1離散型隨機(jī)變量的均值選題明細(xì)表知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)離散型隨機(jī)變量的均值1離散型隨機(jī)變量均值的簡單應(yīng)用2,3,7,9離散型隨機(jī)變量的均值的綜合應(yīng)用4,5,6,8,10,11,12基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如表,X012P1a3則EX的值為(C)A.910 B.710 C.11解析:由題意知a=1-15-310=所以EX=0×15+1×12+2×3102.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=13A.6 B.8 C.3 D.4解析:隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=13,k=0,1,2,可得Eξ=(0+1+2)×13.已知隨機(jī)變量X的取值為1,2,3,若P(X=1)=13A.13 B.12 C.23 解析:設(shè)P(X=2)=p,P(X=3)=q,因?yàn)殡S機(jī)變量X的取值為1,2,3,P(X=1)=13所以1解得p=13,q=14.有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,從中任意抽出3張卡片,設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X,則X的數(shù)學(xué)期望是(A)A.7.8 B.8 C.16 D.15.6解析:X的可能取值為6,9,12,且P(X=6)=C83C103=7P(X=12)=C81·EX=6×715+9×715+12×5.一個(gè)盒子中有紅、綠顏色的小球各2個(gè),黃色小球1個(gè),這5個(gè)小球除顏色不同,其他完全相同,每次從中取出一個(gè),取出后不放回,當(dāng)取出第二種顏色時(shí)即停止.設(shè)停止取球時(shí),取球的次數(shù)為ξ,則P(ξ=2)=,Eξ=.?解析:由題可知ξ的所有可能取值為2,3,P(ξ=2)=15+25×34×P(ξ=3)=25×14×2=則Eξ=45×2+15×3=答案:456.(2021·浙江杭州月考)某線上平臺(tái)新開通一項(xiàng)“爭上游答題”欄目,其規(guī)則是比賽兩局,首局勝利積3分,第二局勝利積2分,失敗均積1分,某人每局比賽勝利的概率為14,設(shè)他參加一次答題活動(dòng)得分為ξ,則Eξ=解析:根據(jù)題意,某人參加一次答題活動(dòng)得分為ξ,則ξ可取的值為2,3,4,5,若ξ=2,即他兩局都失敗了,則P(ξ=2)=(1-14)×(1-14)=若ξ=3,即他第一局失敗了,而第二局勝利,則P(ξ=3)=(1-14)×14=若ξ=4,即他第一局勝利,而第二局失敗,則P(ξ=4)=14×(1-14)=若ξ=5,即他兩局都勝利了,則P(ξ=5)=14×14=故Eξ=2×916+3×316+4×316+5×116=答案:11能力提升7.(多選題)(2021·湖北孝感高二期末)某校招生考試科目中,數(shù)學(xué)引入多選題后增加了區(qū)分度,突出了選拔性.四個(gè)選項(xiàng)中有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)得2分.若選項(xiàng)中有i(i=2,3,4)個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.隨機(jī)作答該題時(shí)(至少選擇一個(gè)選項(xiàng))所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量ξi(i=2,3,4),則有(ABC)A.Eξ2=3B.Eξ3=17C.2Eξ2+Eξ4=3Eξ3D.Eξ2+2Eξ4<3Eξ3解析:由于隨機(jī)作答,故各選項(xiàng)被選中的概率相同,故選一項(xiàng)的可能為C41=4,選兩項(xiàng)的可能為C42=6,選三項(xiàng)的可能為C43=4,選四項(xiàng)的可能為C44=1,共有15種可能.當(dāng)i=2時(shí),即選項(xiàng)中有兩項(xiàng)符合題目要求,則Eξ2=C2115×2+C2215×5=35,故A正確;當(dāng)i=3時(shí),Eξ3=C31+C3215×2+C3315×5=178.(多選題)設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量ξ的分布列如下,則下列結(jié)論正確的有(BC)ξ012Pp-p2p21-pA.Eξ隨著p的增大而增大B.Eξ隨著p的增大而減小C.P(ξ=0)<P(ξ=2)D.P(ξ=2)的值最大解析:因?yàn)镋ξ=p2+2-2p=(p-1)2+1,0<p<1,所以Eξ隨著p的增大而減小,故A錯(cuò)誤,B正確;因?yàn)?<p<1,所以P(ξ=0)-P(ξ=2)=p-p2-1+p=-p2+2p-1<0,所以P(ξ=0)<P(ξ=2),故C正確;因?yàn)?<p<1,所以當(dāng)-1+52故當(dāng)-1+9.(2021·浙江麗水期末)一質(zhì)點(diǎn)從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā),每次隨機(jī)沿一條邊運(yùn)動(dòng)至另一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)終止,則質(zhì)點(diǎn)3次運(yùn)動(dòng)結(jié)束后恰好位于頂點(diǎn)A的概率P=,記質(zhì)點(diǎn)4次運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過頂點(diǎn)B(包括第4次運(yùn)動(dòng)結(jié)束)的次數(shù)是X,則EX=.?解析:由題意可知,質(zhì)點(diǎn)3次運(yùn)動(dòng),共有2×2×2=8種情況,其中質(zhì)點(diǎn)3次運(yùn)動(dòng)結(jié)束后恰好位于頂點(diǎn)A,有A→C→B→A,A→B→C→A,2種情況,所以質(zhì)點(diǎn)3次運(yùn)動(dòng)結(jié)束后恰好位于頂點(diǎn)A的概率P=28=1記質(zhì)點(diǎn)4次運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過頂點(diǎn)B(包括第4次運(yùn)動(dòng)結(jié)束)的次數(shù)是X,X的所有可能取值為0,1,2.質(zhì)點(diǎn)4次運(yùn)動(dòng),共有2×2×2×2=16種情況,當(dāng)X=0時(shí),A→C→A→C→A,共有1種情況,故P(X=0)=116當(dāng)X=1時(shí),A→B→A→C→A,A→B→C→A→C,A→C→A→B→A,A→C→A→B→C,A→C→A→C→B,A→C→B→A→C,A→C→B→C→A,共有7種情況,故P(X=1)=716,故P(X=2)=1-116-716所以X的分布列為X012P171EX=0×116+1×716+2×12答案:1410.某人計(jì)劃到某城市出差,準(zhǔn)備隨機(jī)選擇7月1日至7月13日中的一天到達(dá)該市,并停留3天.他查詢了該城市7月1日至15日的天氣預(yù)報(bào)(假設(shè)天氣預(yù)報(bào)是準(zhǔn)確的),如表所示.日期天氣最高氣溫(℃)1日多云292日晴323日多云334日小雨335日中雨286日小雨297日晴318日多云349日陰3510日多云3411日小雨3212日陰3013日大雨2714日小雨2915日晴35(1)求此人到達(dá)當(dāng)日最高氣溫低于30℃的概率;(2)設(shè)此人停留期間下雨的天數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)設(shè)事件Ai表示“此人于7月i日到達(dá)該市”(i=1,2,…,13).根據(jù)題意,P(Ai)=113,且Ai∩Aj=(i≠j,且i,j=1,2,…,13),設(shè)事件B為“此人到達(dá)當(dāng)日最高氣溫低于30℃”,則B=A1∪A5∪A6∪A13,所以P(B)=P(A1∪A5∪A6∪A13)=413(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X=0)=P(A1∪A7∪A8)=313P(X=1)=P(A2∪A6∪A9∪A10)=413P(X=2)=P(A3∪A5∪A11∪A12∪A13)=513P(X=3)=P(A4)=113所以X的分布列為X0123P3451故X的期望EX=0×313+1×413+2×513+3×111.某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù),加工出來的產(chǎn)品(單位:件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).廠家按等級(jí)每件分別收取加工費(fèi)(單位:元)如表:等級(jí)ABCD加工費(fèi)/(元/件)905020-50該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件,乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù),在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí),整理得到如圖.(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率;(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤,以平均利潤為依據(jù),廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?解:(1)由題圖可得,甲分廠加工出來的產(chǎn)品為A級(jí)品的頻數(shù)為40,故頻率為40100乙分廠加工出來的產(chǎn)品為A級(jí)品的頻數(shù)為28,故頻率為28100故甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率估計(jì)值分別是0.4,0.28.(2)由題圖可知甲分廠加工四個(gè)等級(jí)品的頻率分別為0.4,0.2,0.2,0.2,故其平均利潤為(90-25)×0.4+(50-25)×0.2+(20-25)×0.2+(-50-25)×0.2=15(元/件);同理,乙分廠加工四個(gè)等級(jí)品的頻率分別為0.28,0.17,0.34,0.21,故其平均利潤為(90-20)×0.28+(50-20)×0.17+(20-20)×0.34+(-50-20)×0.21=10(元/件).因?yàn)?5>10,所以廠家應(yīng)選擇甲分廠承接加工業(yè)務(wù).應(yīng)用創(chuàng)新12.(2021·湖南郴州月考)某蔬菜種植基地有一批蔬菜需要兩天內(nèi)采摘完畢,天氣預(yù)報(bào)顯示這兩天每天是否有雨相互獨(dú)立,無雨的概率都為0.8.現(xiàn)有兩種方案可以選擇:方案一:基地人員自己采摘,不額外聘請(qǐng)工人,需要兩天完成,兩天都無雨收益為2萬元,只有一天有雨收益為1萬元,兩天都有雨收益為0.75萬元.方案二:基地額外聘請(qǐng)工人,只要一天就可以完成采摘.當(dāng)天無雨收益為2萬元,有雨收益為1萬元,額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬元.問:(1)若不額外聘請(qǐng)工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益;(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人?請(qǐng)說明理由.解:(1)基地收益X的可能值為2,1,0.75,P(X=2)=0.8×0.8=0.64,P(X=1)=C21×0.8P(X=0.75)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列為X210.75P0.640.320.04則基地的