相似三角形判定定理的證明 課件 【 基礎(chǔ)夯實(shí)+ 精講精研】 北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

4.5相似三角形判定定理的證明新知導(dǎo)入在上一節(jié)中，我們探索了三角形相似的條件，本節(jié)課我們將對(duì)它們進(jìn)行證明.說一說：你已經(jīng)知道的相似三角形的判定定理有哪些？判定定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.判定定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.新知講解已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.求證：△ABC∽△A′B′C′.相似三角形判定定理（1）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.（平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例）.（平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例）.新知講解證明：在△ABC的邊AB(或它的延長(zhǎng)線)上截取AD=A′B′,過點(diǎn)D作BC的平行線，交AC于點(diǎn)E,則∠ADE=∠B,∠AED=∠C,過點(diǎn)D作AC的平行線，交BC于點(diǎn)F，則新知講解∵DE∥BC,DF∥AC，∴四邊形DFCE是平行四邊形.∴DE=CF.而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.新知講解相似三角形判定定理（2）兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，.求證：△ABC∽△A′B′C′.新知講解證明：在△ABC的邊AB(或它的延長(zhǎng)線)上截取AD=A′B′，過點(diǎn)D作BC的平行線，交AC于點(diǎn)E,則∠B=∠ADE,∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE.(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似)新知講解新知講解相似三角形判定定理（3）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，.求證：△ABC∽△A′B′C′.新知講解證明：在△ABC的邊AB，AC(或它們的延長(zhǎng)線)上分別截取AD=A′B′，AE=A′C′，連接DE.而∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE.(兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似)新知講解∴DE=B′C′.∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.1.已知:如圖所示，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的長(zhǎng).課堂練習(xí)解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，∴△ABD∽△ACB，∴AB:AC=AD:AB，∴AB2=AD·AC.∵AD=2，AC=8，∴AB=4.課堂練習(xí)2.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的長(zhǎng).解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，即，∴AD=.（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，且∠BEG=90°，∴∠A=∠BEG，∵∠ABE+∠EBG=90°，∠G+∠EBG=90°，∴∠ABE=∠G，∴△ABE∽△EGB；如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且∠BEF=90°，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△EGB；（2）若AB=4，求CG的長(zhǎng)．拓展提高

拓展提高（2）∵AB=AD=4，E為AD的中點(diǎn)，∴AE=DE=2，在Rt△ABE中，BE===2由（1）知，△ABE∽△EGB，∴=，即：=，∴BG=10，∴CG=BG-BC=10-4=6．中考鏈接（2019?張家界）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=AB，連接DE，分別交BC，AC交于點(diǎn)F，G．（1）求證：BF=CF；（2）若BC=6，DG=4，求FG的長(zhǎng)．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//CD，AD=BC，∴△EBF∽△EAD，∴==，∴BF=AD=BC，∴BF=CF；中考鏈接（2019?張家界）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=AB，連接DE，分別交BC，AC交于點(diǎn)F，G．（1）求證：BF=CF；（2）若BC=6，DG=4，求FG的長(zhǎng)．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//CF，∴△FGC∽△DGA，∴=，即=，解得，F(xiàn)