2022屆中考數(shù)學壓軸題含答案

2022年中考數(shù)學壓軸題

1.如圖1,拋物線y="x2+6x+2與x軸交于4,8兩點，與y軸交于C點，A(5,0)且

=3OC,尸為x軸上方拋物線上的動點(尸不與Z,8重合)，過點尸作PQLx軸于點。,

作PA/與x軸平行，交拋物線另一點M,以PQ,為鄰邊作矩形PQMW.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)設矩形P0NM的周長為C,求C的取值范圍；

(3)如圖2,當尸點與C點重合時，連接對角線尸N,取PN上一點。(不與P,N重合)，

連接。作DELDM,交x軸于點￡

①試求W5的值：

DE

②試探求是否存在點。，使△OEN是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點。

坐標；若不存在，請說明理由.

：.C(0,2),OC=2

；./8=3OC=6

,：A(5,0),即OZ=5

：.OB=AB-OA=\

：.B(-1,0)

把4、8坐標代入拋物線解析式得：

C25a+5b+2=0解得:廣-三

la-b+2=0b=-

I5

拋物線的函數(shù)表達式為尸-"+|r+2

(2)設尸(p,-翁+嬴+2)

：P0_Lx軸于°,PA/〃x軸

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???尸0=-|^+去+2,點尸、河關于拋物線對稱軸對稱

8

；拋物線對稱軸：直線x=——J-=2

，XM=2+(2-p)=4-p

:,PM=(4-p)-p=4-2p

：.C=2(PM+PQ)=2(4-2p—翁+*+2)=一配一1p+12=一幻+/+整

V-l<p<2

161442A

.?.當p=一★時，C有最大值為M；當p=2時，C=-gx4-gx2+12=罟

??.C的取值范圍是當<C<萼

(3)①過點。作GELx軸于點后交于G

??NDFE=NDGM=90。,。/〃y軸

??四邊形MVFG是矩形，叢DFNs4PON

.DFFN

'OP~ON

??P點與。點重合，P、M關于直線x=2對

??尸(0,2),M(4,2),N(4,0)

\GF=MN=OP=2,PM=ON=4

DF。p21

而

=加==

--

：DE±DM42

??/MDE=90°

*./MDG+/EDF=/EDF+/DEF=90°

</MDG=/DEF

,?AMDGs/\DEF

DMMGFN

?=---------=—=2

''DE-DF-DF-

②存在點Q,使△Q￡N是等腰三角形

設直線PN解析式為y=mx+n

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??/?+：=2n解得：

14m4-n=0（九=2

直線PN解析式為y=-1x+2

設。（d,-1j+2）（0<rf<4）

：.OF=d,DF=-1t/+2

:.FN=ON-0F=4-d,DG=FG-DF=2-（-1rf+2）=

'：XMDGs4DEF

,—DG—_D_M_—2

??EF-DE-

：.EF=|DG=%

①當點￡在點N左側時，如圖1,

;四邊形。ENN中，NMDE=NMNE=90°,NDMN<90°

:.NDEN=360°-NMDE-NMNE-NDMN=\80"-NDMN>90°

，當ADEN是等腰三角形時，DE=EN=FN-EF=4-d-1t/=4-

:Rt/\DEF中,DF2+EF2=DE1

（一盤+2）2+（%）2=（4-%）2

19

解得：力=4（舍去），di=-g-

.?.一如2=一品學+2=*

124

.?.點。坐標為（3，~）

②當點E在點N右側時，如圖2,NDNE>90°

...當△￡>￡t%是等腰三角形時，DN=EN=EF-FN=%-（4-d）=%-4

VRt/\DFN中，DF2+FN2=DN2

：.（-梟+2）2+（4-D2=（-（/-4）2

24

解得：力=華，"2=-誓（舍去）

.18>/5.4店

.*2=-2X~+2-2—-

...點。坐標為（W，2—等）

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綜上所述，符合條件的點。坐標為(口124與(8V25，2-A%J)S.

555。

2.如圖，拋物線了="2+法+2交x軸于點4(-3,0)和點8(1,0),交y軸于點C.

(1)求這個拋物線的函數(shù)表達式.

(2)點。的坐標為(-1,0),點P為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形4。。尸

面積的最大值.

(3)點/為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點M使△MNO為等腰直

解：(1)拋物線的表達式為：y—a(x+3)(x-1)—a(x2+2x-3)—ax2+2ax-3a,

即-3a=2,解得：G=—可，

故拋物線的表達式為：＞,=-|^-^+2)

(2)連接。P,設點尸(x,-|/一$+2),

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圖1

111

則S=S四邊形-S^ODC=qxZOXyp+工xOCX\xp\-axCO義OD

17o411r

=2x3x(—^A2—g.r+2)+^x2X(-x)—x2x1=-x2-3x+2,

V-l<0,故S有最大值，當x=-|時，S的最大值為與；

(3)存在，理由：

△MVO為等腰直角三角形，且NMNO為直角時，點N的位置如下圖所示：

圖2

①當點N在x軸上方時，點N的位置為M、M,

M的情況(△MMO)：

設點M的坐標為(x,-|X2-1X+2),則ME=X+1,

過點M作x軸的垂線交x軸于點F,過點M\作x軸的平行線交NiF于點E,

?.?NFNiO+NMiNi￡=90°,AM\N\E+AEM\N\=90°,：.NEMiN尸NFNiO,

NMiENi=NNiFO=90°,ON\=M\N\,

:.叢M\N\E迫叢N\OFCAAS),：.M\E=N\F,

即：x+l=-|%2-$+2,解得：x=-7^^(舍去負值),

-7+V73-3+V73

則點M(L)：

4

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M的情況（△加川2。）：

-1-V73-3+V73

同理可得：點N?（

4尸;

②當點N在x軸下方時，點N的位置為N3、N4,

-1+V73-3-V73-7-V73-3-V73

同理可得：點M、M的坐標分別為：（')、(,，.)?

4444

-74-V73-3+V73-1-V73-3+V73-1+V73-3-V73

綜上，點N的坐標為：（）或（）或（')

444444

-7-V73-3-V73

或（.，.)?

44

3.平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線y=#-|x+c交x軸于48兩點（如圖）,

頂點是C,對稱軸交x軸于點。，08=20/,

（1）如圖1,求拋物線的解析式;

（2）如圖2,￡是第三象限拋物線上一點，連接ED并延長交拋物線于點尸，連接EC,

FC,求證：NECF=90°；

（3）如圖3,在（2）問條件下，M,N分別是線段04,延長線上一點，連接

CM,過點C作CQJ_AW于。，CQ交DM于點P,延長正1交MC于R,若NNMD=2

ZDMC,DN+BO=MP,MR-.RC=1：3,求點尸坐標.

解：（1）?.?拋物線對稱軸為：直線x=l,

：.D（1,0）,由拋物線對稱性知：DA=DB,設D4=DB=m,

貝lj：A(1-w,0),B(1+m,0),

'：OB=2OA

.,.l+m=2(m-1),解得：zn=3

：.A(-2,0),B(4,0),將/(-2,0)代入尸#-|x+c,得0=/x(-2)2-1x

(-2)+c,解得：c=-1

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2

...拋物線的解析式為：^=|x-|x-|;

(2)如圖2,,?>=jx2-jx-1=|(x-I)2-3；

頂點C(l,-3),

設點E(N,F(W,鏟2一刎一》過點￡?作E〃J_C￡)于H,過尸作FG

_LCD于G,

12a17R

則G(1f鏟2—2，w-W)，〃(1，3“一鏟—W)，

1、281~28

：.EH=\-n,FG=tn-1,DG=DH=-(=〃2一%_與，

333333

9：EHLCD,FGLCD

：./DHE=ZDGF=90°

*/ZEDH=ZFDG

:.XDEHSXDFG

,1228.1228

nnmm

.DH_DGHn-(3-3-3)3~-

…EH一5G，'1-n-m-1，

…Q—Q

整理得：

w-1+-II-—1r—tn~1+—Hl~—1T

.：n-1#加-1,

?i一9

??〃-1=---

m-1

:.(w-1)(n-1)=-9

EH1—n3

tanZ￡C//=7777=i—~=5—s---------=i

CHin2-|n-1-(-3)If

.tan乙GFC?瓶-1)(m-l)(l-n)

------------=-----o==1

tanZ.ECH，一----------9

l-n

.*?tanZGFC=tanZECH

：.ZGFC=ZECH

VZGFC+ZFCG=90o

???ZECH+ZFCG=90°

即NECb=90°.

(3)如圖3,以。M為邊在x軸上方作正方形DWKT,延長C。交KT于S,過S作SG

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_L￡>/于G,連接MT,

作NSCT平分線交MT于/,過點/作Z7_LCT于/作于乙作/ZLS0于乙設

DM=t,則。7=/=f,

；正方形DMKT,

：.ZDTM=ZKTM=ZDMT=45°

...四邊形"〃是正方形，

：.U=TJ=TL

；C7平分NSCT

1

???ZJCI="SCT

■:CQ工MN

：./SCT+/MND=/NMD+/MND=90°

：.ZNMD=ZSCT

*：4NMD=2/DMC,

1

???ZDMC=^ZSCT

：.ZJCI=ZDMC

：.ZJCI+ZDTM=ZDMC+ZDMT

即NC/AQNGW

：.CM=CI

'：ZMDC=ZCJI=90°

.,.△MDC^ACJZ(AAS)

：.IJ=CD=3

：.JT=TL=3

在和ASG。中

ZMDN=乙SGP=90°

乙NMD=Z.PSG

MD=SG

:?△MDN義ASGP(AAS)

：.DN=PG

?：DN+BO=MP,MG+PG=MP

：.MG=BO=4

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：.KS=4

:?SL=t-7,

易證：SZ=SL=t-7,CZ=CJ=t,CS=2t-l

在RtZ\CST中，-：S1^+CT2=CS2

??（L4）2+（什3）2=（2r-7）2,解得：。=12,包=1（不符合題意，舍去）

\M（-11,0）,過點R作R〃_LZ）河于人則

MR：RC=7：3,

MR7

MC=10?

MWRWMR7

MD~CD~MC~10

4221

設直線。R解析式為y=fcr+6,貝U一號九+力二一訶

Ifc+b=0

12

解得：\0=A7

**?直線DR解析式為y-TyX-￡

5

5

l,1--

X74

—-,

解方程組-21

ly13

、T-

6

；.E(-1,-y1),F(5,

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4.如圖，是。。的直徑，點C是。。上一點(與點力,8不重合)，過點C作直線尸。,

使得

(1)求證：直線尸0是。。的切線.

(2)過點/作于點。，交00于點E,若。。的半徑為2,sin求

圖中陰影部分的面積.

解：(1)證明：如圖，連接0C,

是的直徑,

AZACB=90°,

"：OA=OC,

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：.ZCAB=ZACO.

???NACQ=NABC,

：.ZCAB+ZABC=ZACO+ZACQ=ZOCQ=90°,即OC_LP0,

???直線尸。是oo的切線.

(2)連接OE,

1

VsinZ￡>JC=i,ADLPQ,

：.ZDAC=30°，ZACD=60°.

AZABC=ZACD=60°,

：.ZCAB=90°-60°=30°,

ZEAO=ZDAC+ZCAB=60°,

又,：OA=OE,

：.^AEO為等邊三角形，

/.ZAOE=60°.

:?S陰影=S扇形-S^AEO

=S扇形-4o/,OE?sin60°

=^x22—4x2X2x享

=竽-技

圖中陰影部分的面積為弓-

5.如圖，在中，ZACB=90°,將△N8C沿直線48翻折得到△48。，連接CD交

AB于點M.E是線段CM上的點，連接8E.尸是△8DE的外接圓與4。的另一?個交點,

連接E凡BF.

(1)求證：48所是直角三角形；

(2)求證：ABEFsgCA；

(3)當AB=6,8C=w時，在線段CM上存在點￡,使得EF和N8互相平分，求加的

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值.

備用圖

(1)證明：9：ZACB=90°,將△48。沿直線翻折得到△Za),

：.NADB=/ACB=90°,

■:/EFB=/EDB,/EBF=NEDF,

:./EFB+/EBF=/EDB+/EDF=/ADB=9G,

：.NBEF=90°,

???48跖是直角三角形.

(2)證明：?:BC=BD,

：?/BDC=/BCD,

9：NEFB=/EDB,

：?/EFB=/BCD,

9

：AC=ADfBC=BD,

：.AB±CD,

：.ZAMC=90°,

VZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90(),

???/BCD=NCAB,

:./BFE=/CAB,

VZACB=ZFEB=90°,

:.XBEFsMBCA.

(3)解：設EF交48于/連接4E.

'：EF與AB互相平分，

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???四邊形AFBE是平行四邊形，

AZEFA=ZFEB=90°,BPEF±AD,

:?EF〃BD,

?：AJ=JB,

；?AF=DF,

：.FJ=\BD=y,

,?EF=m,

「AABCs4cBM,

：.BC：MB=AB：BC,

m2

:?BM=

6

■:△BEJSLBME,

:.BE：BM=BJ：BE,

:，BE=&

:ABEFsABCA,

,AC__BC_

??—,

EFBE

V36-m2m

即=~nT，

解得加=28（負根已經(jīng)舍棄）.

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6.如圖1,已知四邊形是菱形，G是線段CD上的任意一點時，連接8G交AC于F,

過F作FH〃CD交BC于H,可以證明結論)成立.(考生不必證明)

ADBG

(1)探究：如圖2,上述條件中，若G在。的延長線上，其它條件不變時，其結論是

否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(2)計算：若菱形中/8=6,ZADC=6Q°,G在直線8上，且CG=16,連

接8G交ZC所在的直線于F,過尸作戶H〃C￡＞交8C所在的直線于，，求8G與FG的

長.

FG

—七;還成立嗎？

BG

FHFG

【解答】解：(1)結論■=77成立

ADDG

證明：由己知易得切〃

eFHHC

AB-BC'

HCFG

,:FH〃GC,—=—

BCBG

FHFG

AB~BG

(2)???G在直線CQ上，

，分兩種情況討論如下：

①G在CD的延長線上時，0G=10,

如圖1,過8作6。JLCO于。，

由于四邊形Z6C。是菱形，ZADC=6G°,

：.BC=AB=6,NBCQ=60°,

:?BQ=33。。=3,

：.BG=J192+(3V3)2=2V97.

「._,°FHBH

又由FH〃GC,可得*77=77，

uCDC

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而△677/是等邊三角形,

：.BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,

FH6-FH

16-6

48

：.FH=五,

乙FHFG

由(1)知=

AB~BG,

?rrFHBG481?r^=16r^=

②G在。C的延長線上時，CG=16,

如圖2,過8作8QJ_CG于0,

?.?四邊形48。是菱形，ZADC=60°,

:.BC=AB=6,N8CQ=60°.

:.BQ=3?CQ=3.

：.BG=J132+(36)2=14.

,FHBH

又由24〃CG,可得0=本，

GCDC

FHBH

??—

166

?:BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

48

T-

■:FHHCG,

.BFFH

,,益一怎，

???8/=14*竽+16=等.

42112

：.FG=14+~5=~

FH488

(3)G在℃的延長線上時'布=