2022年全國高中數學競賽奧賽模擬試題一（含答案解析）

清北學堂2022年8月全國高中數學競賽模擬試題

考試時間：80分鐘滿分：120分

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

?210g42022x202242^642022=

2.已知定義在膿上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=/(%),且當xC[0,1)時,/(x)=2X-1.則

/(晦康)=-----------

3.已知集合：A=[1,2,3],B={1,2,...,2022},對于映射滿足對任意

均有X+/(X)+xf(x)是奇數的概率為.

4.如圖，半徑為1的球的內部有一個內接正方體，4,B,C,D為正方體的四個頂點.則該球的

球心到四面體4BCD各面的距離中的最小值為.

5.設了為拋物線r：y=2px(p>0)的焦點，過F且傾斜角為60°的直線與拋物線廣交于A、

B兩點(4在第四象限，B在第一象限)，0為坐標原點，過點A作拋物線廠的準線的垂線，垂

足為出貝喘=-----------

已知復數、滿足：則||=.

6.ZiZ2|Z1I=1,\z2\=I,|3zi—2Z2\=7.

7.在A/BC中，若|荏|=2,|前|=3,|近|=4,。為A4BC的內心，且而=4萬+從近，

則4+〃=.

8.對于正整數k,g(/c)表示％的最大奇因數(如g(60)=15).則g⑴+g(2)+…+g(2022)

除以100的余數為.

二、簡答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9.在xOy平面中，過x軸上一點P作兩條直線A2B2,其中均在拋物線r：

y2=2px(p>0)上.設AW，分別經過x軸上的點S,「比較歷?而與|麗|的大小.

10.定義數列{a}：

2

=2,an+1=an—an4-1(n=1,2,

證明：1-2n?；2022v工+工+…H-----<1.

2022“u"a\。2。2022

11.設a,b,c為互不相同的非零實數，滿足：方程。爐+bx+c=0,匕爐+c%+a=0,c%3+

ax+b^O有公共根，且這三個方程中存在兩個方程無虛根.求？+色+￡的最小值.

bca

加試試題

考試時間：170分鐘滿分：180分

一、(本題滿分40分)如圖，設3為△力BC的外接圓，3直徑KL過4B的中點M,K和C在AB

的異側.一圓過L與“并與KC相交于P,Q(Q在KP上).LQ與。KMQ再次交于R.

證明:A.P,B,R四點共圓.

二、（本題滿分40分）

求最小的實數人使得對于任意正整數n以及正實數%,。2，…,?n-均有

nn

2k+1

w---------------<A

+。2+…+Q/cyi

k=lk=l

成立.

三、（本題滿分50分）

（1）證明：存在無窮多個正整數幾，使得"+1|川.

（2）證明：存在無窮多個正整數n,使得足+1*汨.

四、（本題滿分50分）

已知4,A2,必，為集合｛1，2,n｝的所有子集.求

2"

W14nAi+1114u4+11(>i2n+1=A1).

i=i

的最大可能值.

清北學堂2022年8月全國高中數學聯合競賽模擬試題參考答案

考試時間：80分鐘滿分：120分

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

]2^°g42022x2022乂2^°g642022=

答案：2022.

2.已知定義在膿上的奇函數f(x)滿足+2)=/(x),且當xW[0,1)時,/(x)=2X-1.則

/(晦短)=-----------

冬安_499

口案：-512,

解析：

由題意，知/。)是以2為周期的周期函數.

又由于f(x)為奇函數，且在芯6[0,1)時，/(久)=2，-1.故當工€(-1,0]時，

fW=~/(-x)

=-(2-x-1)=1-2r.

由于-11<log23石<一10,于是，

/(晦速=，(10+1唯表)

.1024

=/(1唯第=1-2~0822022

2022499

=d1--------=-----

1024512

3.已知集合：A={1,2,3},B={1,2,...,2022),

對于映射滿足對任意x64,均有%+/0)+%〃>)是奇數的概率

為__________.

答案：g.

解析：注意到，集合力-B的映射共有20223個.

由于x+f(x)+4(%)=(/(%)+l)(x+1)-1,為了使結果為奇數,/⑴、f(3)可以為

集合8中的任意數.但/(2)的取值只能是集合B中的奇數，從而得到滿足要求的映射,共有

1011x2022x2022個，從而所求概率為坦合等絲=1

2022°2

4.如圖，半徑為1的球的內部有一個內接正方體，4,B,C,D為正方體的四個頂點.則該球的

球心到四面體ABCD各面的距離中的最小值為.

答案：提

因為正方體內接于半徑為1的球，所以，正方體的棱長為1.

設。為球心.易知，球心。到面ABC、面4B0、面4C。的距離相等，且均為苧.

再設球心。到面BCD的距離為/I.則由

“四面體4BCD="四面體48CD+0四面體48CD+“四面體4BCD—“四面體4BCD

h=-.

3

5.設F為拋物線r：y=2px(p>0)的焦點，過F且傾斜角為60°的直線與拋物線「交于力、

B兩點(4在第四象限，B在第一象限)，。為坐標原點，過點A作拋物線r的準線的垂線，垂

足為喘=-----------

答案：3.

6.已知復數Z1、Z2滿足：

Izil=1,㈤=1,I3Z1—2Z2\=7.

則包=__________.

ZZ

答案：1(-l±V3i).

解析：由題意得

_d_25

ZiZi=1,Z2Z2=彳，

(3z1—2z2)(3方—2面)=49.

故9zi為+4Z2^2—6Q1為+z2z])=49

=>ztz2+Z22l=-7

一紅.史+包=_￡

Z24zi2

解得紅=*一1±Ki).

Z25

7.在A4BC中，若|四|=2,|近|=3,|正|=4,。為AABC的內心，且而=4荏+〃配,

貝!M+n—__________.

答案：\

解析：延長A0,與對邊BC交于點D.

根據三角形角平分線定理知

|而||荏|2

同=扃13

國一國一二_一三

~

|OD|一網1x4-4

=而=|而=式四+而)=式湘+|阮)=|四+萍

=4+〃=(

8.對于正整數k,g(k)表示％的最大奇因數(如g(60)=15).則

g(l)+g(2)+...+g(2022)

除以100的余數為.

答案：

解析：注意到，當k為奇數時，g(k)=k：

當k為偶數時，g(k)=g(§.

則g⑴+g(2)+..+g(2022)

=(9(1)+9(3)+-.+9(2021))+(g(2)+g(4)+...+g(2022))

=(1+3+...+2021)+(g(l)+g(2)+...+g(1011))

=10112+(g(l)+g(3)+...+g(1011))+(g(2)+g(4)+...+g(1010))

=10112+5052+2522+1262+632+322+162+82+424-22+l2

=60(modl00)

二、簡答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9.在xOy平面中，過x軸上一點P作兩條直線4%,A2B2,其中AI，BI，&，B2均在拋物線「:

y2=2px(p>0)上.設A]%，4Bi分別經過x軸上的點S,T,比較不?而與|前『的大小

解答：萬?而與|而『相等，理由如下.

設點P的坐標為(t,0),點S的坐標為(s,0),點7的坐標為(￡,0)

若t=0,則赤?而;=|而『=0,滿足要求.

若CHO,設直線4/1：x=kxy+a,直線A2B2-x=k2y4-a,

%(%i,月),當(稱y2)>A2Q3,、3)，B2Q4,y。

聯立[拋物線r：y2=2px,得y2_2pkiy_2pa=0,△=(2pkJ2+8pa>0

(直線4Bi：x=k1y+a

由韋達定理：yi+丫2=2p/q,yry2=-2pa.同理，有為+y4=2pk2^y3y4=-2pa.

設直線4B2：y=(紇左)%+也匕也1，4為號=(22)%+*冬，

X4—X1X4—X1X3—%2%3—%2

則：s=-=ra+0)t=_=(Q+0)

y4-yin-1y2iyz-yzyi-y3

所以，OS,OT=st=az=\OP\.

10.定義數列｛冊｝:

2

%=2,an+1=an—an4-1(n=1,2,

證明：1一^^<?+2+???+烹<L

證明：由已知可得

冊+i-1=a,一冊=an(a?-1)

i1_1

n，...

a_a_

n+llnlan

i.i..1

=>----1------F...H--------

Q2022

11

++.??+()

。202211。2023-1

-11

郁一1-。2023-1

=1----------

?2023-1

因為臼=2,取=3,。3=7,且

2

an+1-an=%2_2%+1=(%-I)>0,所以，｛斯｝為單調遞增的正整數數列，且對

每一個正整數九，均有即32.

因此，—+--+...4—--<1.

2022

下面用數學歸納法證明:當nN3時,

n+

an+1>n(n6Z).

從而。2023>20222022,

則工+=1

。202022

因此，原不等式得證.

11.設a,b,c為互不相同的非零實數，滿足：方程以3+bx+c=0,bd+ex+a=0,cr3+

ax+b=0有公共根，且這三個方程中存在兩個方程無虛根.求￡+2+2的最小值.

解答：設%o表示方程。爐+加；+c=0,ax3+bx+c=0,ax3+hx4-c=0的公共根，則有

(a+b+c)(x()3+XQ+1)=0.

3

若％03+%o+1=0,則有+c=—ax0=a(x0+1)=(b—a)x0=(a—c)

同理得,(c-b)xQ=(6-a).

(b-a)2=+(a-c)2+(cf)2=

由于a,Ac互不相同且%0。0,則(b-a)2=(a-c)(c-b)<=>0

2

矛盾.

則a+b+c=0.此時％°=1為公共根.

33

由Q%3+bx+c=0,ax+bx+c=0,ax+bx+c=0,a+b+c=0且1為公共根,

ax2+ax—c=0

則b%3+加；—a=0此三個方程中存在兩個無虛根(ANO).-------(15分)

ex3+ex—b=0

4=Q2+4ac=M+4磯—a—h)<0

不妨設a,b>0,c=-a—bV0,?A2=/+4ba>0

A=c24-4cb>0=>c<-4b

設。=一班(tN4),則(a,b,c)=((C-l)b,b,(一班))

ljlig*￡=-l_l--L-,且該式子在t24時單調增.

b+c+attt-1

所以最小值在"4取最小值為尊

加試試題

考試時間：170分鐘滿分：180分

一、（本題滿分40分）如圖，設3為A4BC的外接圓，3直徑KL過AB的中點M,K和C在4B

的異側.一圓過L與M并與KC相交于P,Q（Q在KP上）.LQ與。KMQ再次交于R.

證明：A,P,B,R四點共圓.

根據題意，可以得出4LAK=41MF=ZJ1MZ,=90。

所以，LA2=LB2=LM-LK=LQ-LR,KA2=KB2=KM-KL=KQ-KP

所以，乙ARL=Z.LAQ,乙BRL=乙LBQ,

NAPK=乙KAQ/BPK=乙KBQ,

因為，4B,L,K四點共圓，^\ALAK+Z.LBK=180°

所以，/.ARB+Z.APB=^LLAQ+/.LBQ+^KAQ+^KBQ=/.LAK+^LBK=180°,即

AP,B,R四點共圓，證畢.

二、（本題滿分40分）

求最小的實數；I,使得對于任意正整數n以及正實數為,a?，…,an,均有

2fc4-1U1

-----------------------V4）—

Zk=\Q]+。2+**■+Q/ck=lQk

成立.

解答：A=4.

近似取等：取以=k,

左式=2$毅=2￡屋《+擊），

右式=盛/

故；1=4為最小值-10

分

下面證明;I=4可行.我們加強歸納證明：

yn——如里——<4Yn----------------.------------------------------------------------------------20分

k=la]+a2+”.+aAk=l以Q1+Q2+…+a”

首先，n=1時，結論成立；

假設n時成立，考慮n+1時.

只需證明：

————+_—=-+———.--------------------------------------------------30分

。1+。2+…+%+1Q1+Q2+…+Q“+1Qn+1。1+。2+…+a”

由柯西不等式，

4n2

（------1-----------；-----；----）（。1+。2+'**+。n+1）之（幾+2）2=（九+I）2+2n+3

%+1+02+??,+%

上式成立,原木等式得證!------------------------------------------------------40

分

三、(本題滿分50分)

(1)證明：存在無窮多個正整數n,使得水+1|加.

(2)證明：存在無窮多個正整數n,使得小+11汨.

解答：

(1)思路：通過因式分解，把小+1分解為若干個小于n的數的乘積，從而有*+1.

令n=2m2,則/+1=4m4+1=(2m2+2m+l)(2m2-2m+1).-----------------------10分

此時27n2-2m4-1<2m2=n,只需要再把2/+2m4-1搞小一點即可.

令m=l(mod5),有5\2m2+2m+1.

故九2+1=5?之山+："+】.(2m2-2m+1),當九充分大時此三項互不相同且都小于兒故存在

無窮多項九，使得小+1|加成立.------------------------------------------------20分

(2)要使得標+1*n!,只需使得泳+1含有素因子p,且p>n.-------------------------------30分

目前并不好處理，在確定九之后并不容易尋找九2+1的素因子p.所以就可以轉換思路：

假如先確定素因子P，尋找?guī)?lt;p旦口|足+1,是不是容易呢？

事實上，我們可以證明：對于4k+1型素數p,均存在nVp且pl"+1.

證明：任取層+1的素因子q,有層=-l(modQ).

故1三(層)然=(-1)號.知?為偶數，q必為4k+1型素數.

而當4為4k+1型素數時，一1是它的二次剩余，故存在n<q,使得"三-l(rnodq).

因這樣的p有無窮多個，知符合條件的n有無窮多個.-----------------------------50分

四、(本題滿分50分)

已知&,