2022年第39屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題參考答案

第39屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題解答

（2022年9月3日9:00-12:00）

一、選擇題（本題60分，含5小題，每小題12分。在每小題給出的4個選項中，有的

小題只有一項符合題意，有的小題有多項符合題意。將符合題意的選項前面的英文字母寫在答題紙對應(yīng)小

題后面的括號內(nèi)。全部選對的得12分，選對但不全的得6分，有選錯或不答的得0分。）

1.D2.BC3.D4.C5.B

二、填空題（本題100分，每小題20分，每空10分。請把答案填在答題紙對應(yīng)題號后面的橫線上。只需

給出結(jié)果，不需寫出求得結(jié)果的過程。）

RT415-

7.[P=—2-(4^-K),-RT]8.一,一

0L88J

*oJ

9.[380052:2043,380052:2043]或[42251:227,42251:227]

或[186.0:1,186.0:1]或[186.1:1,186.1:1]

三、計算題（本題240分，共6小題，每小題40分。計算題的解答應(yīng)寫出必要的文字說明、方程式和重

要的演算步驟，只寫出最后結(jié)果的不能得分。有數(shù)值計算的，答案中必須明確寫出數(shù)值，有單位的必須寫出

單位。）

11.

（1）一套平凸-平板透鏡相切式干涉裝置如解題圖11a所示，在平行于

系統(tǒng)光軸0A的光線傍軸垂直（垂直于平板）入射的條件下，即e?R時,

在直角三角形OAB中，運用勾股定理得

（R-e）2+r2=R2①

式中，，?是入射光線到系統(tǒng)光軸0A的距離，e是該光線在平板上反射

光線所走過的距離。略去/項（二階小量），由①式得

e，②

2R

后文的討論都基于此傍軸垂直入射時的公式。

對于題干圖11a所示的平凸-平凹內(nèi)切結(jié)構(gòu)的干涉裝置。在平行于系

統(tǒng)光軸的光線（與光軸相距r）傍軸入射的條件下，利用公式②得

第1頁，共10頁

2

2R2

這里，小e?是入射光線的延長線分別與兩球面的交點到該光線與

過兩球面內(nèi)切點的切平面的交點之間的距離，如解題圖11b所示。

光線在下、上兩個球面反射并相遇時，其光程差為

\L=2{ex-e2）+-⑤

式中右側(cè)的人是由于考慮到光線在下面的凹球面上反射時有半玻

2

損失的緣故。干涉圖案中第上級亮環(huán)、暗環(huán)分別滿足條件

AZ,=U,左=1,2,…，亮環(huán)

⑥

AA=（2A:+1）1,左=0,1,2,…，暗環(huán)（或暗斑）

⑦

由③④⑤⑥⑦式可得，第上級亮環(huán)半徑為

⑧

第左級暗環(huán)的半徑為

kA

恪二,4=0,1,2,….暗環(huán)（或暗斑）⑨

J____1_

（2）由⑨式（或⑧式）得，第％+加級與第左級暗（或亮）環(huán)半徑之平方差為（加為任一正整數(shù)）

⑩

這一分布規(guī)律與左無關(guān)。由⑩式得

熱亂二叫

?

m（凡R2）

此即測量入射單色光波長的公式。

（3）只要制定出關(guān)于此的一套符號法則，即可將第（1）問的結(jié)果推廣到

兩凸透鏡在頂點外切的平凸-平凸外切結(jié)構(gòu)（見解題圖11c）和平凸-平板外

切干涉裝置（見解題圖11a）。對&作符號規(guī)定如下：

當(dāng)下側(cè)透鏡的球心與平凸透鏡的球心在公切面同一側(cè)時，規(guī)定&>0

（即下側(cè)為平凹透鏡，如解題圖11b所示）；?

當(dāng)下側(cè)透鏡的球心與平凸透鏡的球心在公切面不同側(cè)時，規(guī)定與<0:

（即下側(cè)為平凸透鏡，如解題圖11c所示）；?

當(dāng)下側(cè)相切的透鏡為平板玻璃時，規(guī)定&=8；（即下側(cè)為平板玻璃，解題圖11c

第2頁，共10頁

如解題圖11a所示)。?

這樣，平凸-平凹透鏡、平凸-平凸透鏡、平凸-平板透鏡三種干涉裝置的干涉條紋規(guī)律，均可用公式⑧

⑨⑩?表示。?

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分，

第(1)問23分，①②③④式各2分，⑤⑥⑦⑧⑨式各3分(⑦⑨式未寫出％=0的不扣分)；

第(2)問6分，⑩?式各3分；

第(3)問11分，??式各4分，?式3分。

12.

(1)活塞所受重力為

G=pshg①

活塞上表面所受到的向下的壓力為

兄=S、g(Hi)+21mls②

設(shè)管下部充的氣體為“mol,氣柱高度為心，氣體壓強為P。管下部所充氣體下表面所受的向上的壓強為

P=A("+4)g+E1m③

對于管下部所充氣體，由理想氣體狀態(tài)方程知

Psha-nRT(4)

當(dāng)活塞剛好開始上浮時，活塞受力平衡

G+Fw=Ps⑤

將①②式代入⑤式，并與③④式聯(lián)立解得

“=(2—A){+4("-力)]g+4m}S'"⑥

一AvRT

由⑥式和題給數(shù)據(jù)得

〃=3.9x102⑦

(2)先不考慮額外的壓力。當(dāng)活塞頂跟水面齊平時，活塞上表面所受到的向下的壓力為

《=以內(nèi)⑧

設(shè)此時氣柱高度為修，氣體壓強為尸'。管下部所充氣體下表面所受的向上的壓強為

P'=Pwg(h+h'J+PMm⑨

對于管下部所充氣體，由理想氣體狀態(tài)方程知

P'sh'3=nRT⑩

此時活塞受到的向上的合外力為

AF=P's-G-F；@

聯(lián)立⑨⑩式解得

P二乙m+2劭+?

2Vs

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將①⑧?式代入?式得

好=:心+（。）的+回+、初￥+，P@RTs

4-2p?

21Vs

由力平衡條件、?式和題給數(shù)據(jù)得，

%=△尸=5000（7^-19）N=1.7x10'N?

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分，

第（1）問24分，①②③④⑤式各4分，⑥⑦式各2分；

第（2）問16分，⑧⑨⑩?式各2分，?式4分，??式各2分。

13.

（1）設(shè)空間站高度為，，地球半徑為R,地球質(zhì)量為空間站質(zhì)量為m,空間站繞地心O轉(zhuǎn)動的周期

為7。重力加速度大小為g。由萬有引力定律有

G4g①

2

「Mmv

G----7=m---------②

（R+”）（R+H）

式中G是引力常量?？臻g站繞地球轉(zhuǎn)動的周期滿足

—+〃）③

V

由①②式得

^R2-R-H=O

v

由此解得

R」2+W+4g"H④

2g

由③④式得

一2兀卜+.+4g%M⑤

2gv

由⑤式和題給數(shù)據(jù)解得

7=5.6x1035⑥

（2）記空間站軌道平面與赤道面的交線的一段為OB,B點在地面赤道上。連

接空間站軌道平面與北緯42。線的交點A和地心。點。穿過A的經(jīng)線與赤道交

于C點，如解題圖13a所示。由題意可知，空間站從北緯A的正上方到赤道正

上方走過1/4個周期。因此

解題圖13a

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ZAOB=ZCOB=-⑦

2

式中，NAOB為空間站從北緯42。線正上方的位置到赤道所轉(zhuǎn)過的角度，NCOB為A點與B點的經(jīng)度差。

空間站從北緯A的正上方到赤道正上方所花時間為

A/=-r⑧

4

設(shè)地球自轉(zhuǎn)角速度為4,在空間站繞轉(zhuǎn)的時間加內(nèi)，地球轉(zhuǎn)動的角度為

⑨

⑩

B、A兩點的經(jīng)度之差為(用弧度表示):

△夕=NCOB-A6?

由⑦⑧⑨⑩?式得：

?

由⑥?式和題給數(shù)據(jù)4=24h,得

△夕2。.47兀284°?

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分，

第(1)問26分，①②式各5分，③④⑤⑥式各4分;

第(2)問14分，⑦⑧⑨⑩???式各2分。

14.

(1)在xQy系中，由圖14a、b所示速度圖線%-八%”可知，在階段I(0W/<5S),物塊A做勻加速直

線運動，它在x、y方向的加速度分別為

2

alx=8.0cm/s①

2

aly=4.0cm/s②

在階段II(5sM±<10s曰2)，A做勻速直線運動。在階段HI(10s±<15s%)，A做類斜拋運動，它

在y方向做勻速直線運動，在x方向做勻加速直線運動，加速度為

aw\x=-16cnVs2(§)

由速度圖線上“、可知，在xQy系中，物塊A在0?f415s內(nèi)時間段沿x、y方向的位移分別為

x=(—X40x5+40x5)cm=3.0m④

y=弓x20x5+20x10)cm=2.5m⑤

第5頁，共10頁

在f=15s時，物塊A在xQy系中的位置為(3.0m,2.5m)。

(2)設(shè)車廂相對于水平地面在V方向的加速度為a；。設(shè)在某一時刻物塊A速度方向與v軸夾角為6。物

體A在xQy系中x方向上受到摩擦力和慣性力的作用，由牛頓第二定律有

-ma'x—jjmgsin0=max⑥

同理，在x'O'y系中，車廂在x'方向所受到的合力滿足

車廂在￡方向所受到的合力在整個過程中的沖量為

/"=J城⑺d/=Mj《(/)d/⑧

00

利用⑥式，⑧式可寫成

/Lx=jax(t)dt-pMgjsin+jsinftl/+jsin0dt⑨

。I。l\h)

由加速度的定義有

=4-0⑩

o

在階段I、n,物體A相對車廂做初速度為零的直線運動，因此角度。保持不變，其值為

s叫:言卜號=￥?

在階段HI,在xOy系中，有

%,(，)=%,，(4)

叼3a)=%k(f2)+auk(，-f2)

考慮到〃心＜0,物塊A在階段HI做類斜拋運動，，隨時間改變，但在拋物線頂點兩側(cè)的對稱點上。恰好反

號。于是有

7與

jsinGdt=-jsin0dt

h7

或

Jsin他=0?

12

這意味著在階段in滑動摩擦力在x方向上的沖量為零，實際上滑動摩擦力與物塊速度方向相反；在階段HI

的前一半和后一半，物塊在X方向上的速度方向相反，因此，作用在物塊上的滑動摩擦力方向相反；再由運

動軌跡的對稱性可知，在階段in的前一半和后一半，滑動摩擦力在x方向上的沖量正好相互抵消。由⑤⑥

⑦⑧⑨⑩??式得

第6頁，共10頁

、

"“"2指22在75

Ix=-Mvh=-M\vty+亨〃納?

57

由?與題給數(shù)據(jù)得

7；=-1000x^-0.4+^x0.2x10x10^N-s=-17489N-s=-1.7xl04N-s?

方向沿/軸負方向。

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分，

第(1)問15分，①②③④⑤式各3分：

第(2)問25分，⑥⑦⑧⑨⑩??式各3分，??式各2分。

15.

(1)由于每次出射為一個電子，而動量被通道壁完全反射，故電子沿軸向(縱向)的運動是初速度不為零

的勻加速運動，電子的縱向運動加速度為

eEG

a=—①

tn

設(shè)從入口到出口的總時間為，，由運動學(xué)公式得

2

(v0cos0)t+—at=h②

由①②式解得

/=號(J。；cos2—+2絲〃-%cos6)(3)

電子沿橫向的運動為勻速運動和完全彈性碰撞。每碰撞一次用時

總共碰撞次數(shù)為

n=—=m"oSin"(Jo；cos28+2至〃-%cos。］⑤

_TJeEd\\mJ

這里最外的方括號表示取整操作。

(2)設(shè)電子自入射開始直至第1次撞擊通道壁的過程中，電子沿橫向做勻速運動，沿縱向做勻加速運動;

電子飛行時間

d

v0sm0

軸向飛行距離為

z\2

7，m12-八1回。1

1=(%cos。)4+—at=dcot夕+———-—?

22QmYsin0)

第7頁，共10頁

第1次撞擊后此電子的縱向動量被吸收，橫向動量被垂直出射的2個電子均分，則撞出的每個電子的

出射橫向速度4」和縱向速度％分別為

口=g/sin，，4j=°⑧

此后每次撞擊時，新次級電子的縱向速度重置為零，而橫向速度減半，故從撞擊開始直至下一次撞擊前的

運動時間加倍。即在第i(i>0)次和第i+1次撞擊之間，電子沿軸向運動的距離為

.1eE

2⑨

電子沿軸向運動的距離為

d

=---⑩

而在第i(i>0)次、第i+1次撞擊后的橫向速度滿足

?

每次撞擊產(chǎn)生的電子加倍，故欲使信號電量被放大到至少2。倍，則應(yīng)至少撞擊p次。故通道長度至少

為

h=￡h…?

/=0

由⑦⑨⑩??式得

A=Jcot<9+--f——]r40+4l+---+4p-11

2加[%sin。JLJ

「v?

1eEd]4p-\

=dJcot0n+-----------------------------

2mI%sin。J3

(3)在第1次撞擊之前，⑥⑦⑧式的分析當(dāng)把E置零后仍適用于此問。特別的，在第1次撞擊前軸向飛行

距離為

片_?1=dcot0.?

由于每次撞擊前后，出射電子垂直孔壁方向的速度均減半，故⑧?式仍成立。撞擊后電子在勻強磁場

中電子做圓周運動，圓周的圓心在出射點正下側(cè)孔壁上。洛倫茲力提供向心力。設(shè)第i次撞擊后電子運動半

圓半徑為7，則有

mv0..

%B=—?

ri

為了使電子射出通道，電子縱向運動距離滿足

〃)

<%+￡(24?

/=1

由⑧??式得

加。osin0f1Y

?

第8頁，共10頁

由???式得

片川+2處巫^￡[1=公。道+網(wǎng)邛=〃。配+型應(yīng)吆?

eB2⑴曲（1-；）eB

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分，

第（1）問12分，①②式各3分，③④⑤式各2分；

第（2）問16分，⑥⑦⑧⑨⑩???式各2分；

第（3）問12分，?式2分，??式各3分，??式各2分。

16.

（1）按照波爾模型，氫原子中電子在分立的定態(tài)圓軌道上運動。按照波爾量子化條件，在第〃個定態(tài)圓軌

道上（或稱為氫原子處于第〃能級上），電子的角動量為

L“=匕1%?！?nti,n=1,2,3,①

式中乙、?！笆堑凇ǘ☉B(tài)圓軌道上電子運動的軌道半徑和的速率。按照庫侖定律和牛頓第二定律有

1e2v-

m②

A2=c

4兀備r?rn

聯(lián)立①②式解得

4?！?方2〃2

③

12

mce

2

e

“一④

4兀分“力

環(huán)電流大小為

/?=旦⑤

2m

由③④⑤式得

,=M

"32一曲〃3

（2）設(shè)通電流的矩形長為。、寬為6。依題意，矩形上、下邊導(dǎo)線處的磁感應(yīng)強度用、與滿足

Bi=B?+B；b⑦

矩形左、右兩導(dǎo)線所受安培力相互抵消，上、下兩導(dǎo)線所受安培力分別為

K=B/a⑧

⑨

F2=BJa

矩形電流所受合力為

F=F}-F2=B'Jab=B'JS⑩

若電流為逆時針方向，則所受合力方向向上；若電流順時針方向，則所受合力方向向下