數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)湘教版必修三講義第六章立體幾何初步6-1-3-2

第2課時(shí)柱、錐、臺(tái)和球的體積[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解柱、錐、臺(tái)和球的體積計(jì)算公式．2．能夠運(yùn)用柱、錐、臺(tái)、球的體積公式求簡(jiǎn)單幾何體的體積．3．會(huì)解決球的組合體及三視圖中球的有關(guān)問題．[知識(shí)鏈接]1．長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體的表面積S＝2(ab＋bc＋ac)，體積V＝abc．2．棱長(zhǎng)為a的正方體的表面積S＝6a2，體積V＝a3．3．底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l的圓柱側(cè)面積S側(cè)＝2πrh，表面積S＝2πrh＋2πr2．4．底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l的圓錐側(cè)面積S側(cè)＝πrl，表面積S＝πr2＋πrl．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]柱、錐、臺(tái)、球的體積其中S′，S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑.名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱πr2h錐體棱錐eq\f(1,3)Sh圓錐eq\f(1,3)πr2h臺(tái)體棱臺(tái)eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)圓臺(tái)eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)球eq\f(4,3)πR3要點(diǎn)一柱體的體積例1某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于________．答案56解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示)．∴其體積為eq\f(1,2)×(2＋5)×4×4＝56.規(guī)律方法1．解答此類問題的關(guān)鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)在直觀圖中求出計(jì)算體積所需要的數(shù)據(jù)．2．若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時(shí)，依據(jù)需要先將幾何體分割分別求解，最后求和．跟蹤演練1一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.答案4解析此幾何體是兩個(gè)長(zhǎng)方體的組合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.要點(diǎn)二錐體的體積例2如圖三棱臺(tái)ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1ABC，三棱錐BA1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比．解設(shè)棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺(tái)＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB－A1B1C＝V臺(tái)－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.規(guī)律方法三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺(tái)體的體積關(guān)系，割補(bǔ)法在立體幾何中是一種重要的方法．跟蹤演練2一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)180°，如圖所示，求所得幾何體的體積．解正三角形SAB繞對(duì)稱軸SO旋轉(zhuǎn)180°得到一個(gè)圓錐．∵圓錐的底面半徑r＝eq\f(AB,2)＝1，圓錐的高SO＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.∴所得幾何體的體積為eq\f(\r(3),3)π.要點(diǎn)三臺(tái)體的體積例3已知正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)面積是780cm2.求正四棱臺(tái)的體積．解如圖所示，正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，A1B1＝10cm，ABA1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，連結(jié)E1E，則E1E是側(cè)面ABB1A1的高．設(shè)O1，O分別是上、下底面的中心，連結(jié)O1O，O1E，OE，則四邊形EOO1E1是直角梯形．由S側(cè)＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5，OE＝eq\f(1,2)AB＝10，∴O1O＝eq\r(E1E2－（OE－O1E1）2)＝12，V正四棱臺(tái)＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱臺(tái)的體積為2800cm3.規(guī)律方法求臺(tái)體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺(tái)體的高．要注意充分運(yùn)用棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形或圓臺(tái)的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系．跟蹤演練3本例若改為“正四棱臺(tái)的上、下兩底的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm，求該棱臺(tái)的體積．”解如圖，正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，則O1B1＝eq\r(2)cm，OB＝2eq\r(2)cm，過點(diǎn)B1作B1M⊥OB于點(diǎn)M，那么B1M為正四棱臺(tái)的高．在Rt△BMB1中，BB1＝2cm，MB＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)(cm)．根據(jù)勾股定理MB1＝eq\r(BBeq\o\al(2,1)－MB2)＝eq\r(22－（\r(2)）2)＝eq\r(2)(cm)．S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱臺(tái)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(4＋eq\r(4×16)＋16)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×28＝eq\f(28,3)eq\r(2)(cm3)．要點(diǎn)四球的體積例4過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積和表面積．解如圖，設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的截面為圓O′，連結(jié)OO′，AO，AO′.∵AB＝BC＝CA＝3cm，∴O′為正三角形ABC的中心，∴AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)(cm)．設(shè)AO＝R，則OO′＝eq\f(1,2)R.∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝eq\r(AO2－OO′2)＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)(cm)，∴R＝2cm，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)，即球的體積為eq\f(32,3)πcm3，表面積為16πcm2.規(guī)律方法球的基本性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問題的依據(jù)，球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法．跟蹤演練4如果三個(gè)球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的體積是其余兩個(gè)球的體積之和的()A．1倍 B．2倍C．3倍 D．4倍答案C解析半徑大的球的體積也大，設(shè)三個(gè)球的半徑分別為x，2x，3x，則最大球的半徑為3x，其體積為eq\f(4,3)π×(3x)3，其余兩個(gè)球的體積之和為eq\f(4,3)πx3＋eq\f(4,3)π×(2x)3，∴eq\f(4,3)π×(3x)3÷[eq\f(4,3)πx3＋eq\f(4,3)π×(2x)3]＝3.1．已知長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1∶2∶3，體對(duì)角線的長(zhǎng)是2eq\r(14)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是()A．6 B．12C．24 D．48答案D解析設(shè)長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為x，2x，3x，又體對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(14)，則x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2eq\r(14))2，解得x＝2.∴三條棱長(zhǎng)分別為2，4，6.∴V長(zhǎng)方體＝2×4×6＝48.2．一個(gè)球的表面積是16π，則它的體積是()A．64π B.eq\f(64π,3)C．32π D.eq\f(32,3)π答案D解析設(shè)球的半徑為R，則由題意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半徑為2，體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.3．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．π B．2πC．4π D．8π答案B解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長(zhǎng)為2r，由題意得S圓柱側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.4．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐D1－ACD的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1答案A解析三棱錐D1－ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．答案16π－16解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16π；正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為16π－16.1．計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．旋轉(zhuǎn)體的軸截面是用過旋轉(zhuǎn)軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體而得到的截面．例如，圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是過球心的平面截球所得的大圓面．2．在求不規(guī)則的幾何體的體積時(shí)，可利用分割幾何體或補(bǔ)全幾何體的方法轉(zhuǎn)化為柱、錐、臺(tái)、球的體積計(jì)算問題．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96答案B解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.2．若將氣球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍，則它的體積增大到原來的()A．2倍 B．4倍C．8倍 D．16倍答案C解析設(shè)氣球原來的半徑為r，體積為V，則V＝eq\f(4,3)πr3，當(dāng)氣球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍后，其體積變?yōu)樵瓉淼?3＝8倍．3．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.eq\f(9,2)π＋12 B.eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42 D．36π＋18答案B解析由三視圖可得幾何體為長(zhǎng)方體與球的組合體，故體積為V＝32×2＋eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝18＋eq\f(9,2)π.4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(560,3) B.eq\f(580,3)C．200 D．240答案C解析先將三視圖還原為空間幾何體，再根據(jù)體積公式求解．由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為8，高為4，故面積為S＝eq\f(（2＋8）×4,2)＝20.又棱柱的高為10，所以體積V＝Sh＝20×10＝200.5．設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A.eq\f(4,3)π B.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．32eq\r(3)π答案C解析由題意可知，6a2＝24，∴a＝2.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.6．半徑為2的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為________．答案eq\f(\r(3),3)π解析由題意可知該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，如圖所示，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2πr＝2π，,h2＋r2＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,h＝\r(3).))∴它的體積為eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.7．一個(gè)三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖如圖所示，AA1＝3.(1)請(qǐng)畫出它的直觀圖；(2)求這個(gè)三棱柱的表面積和體積．解(1)直觀圖如圖所示．(2)由題意可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4)，S側(cè)＝3AC×AA1＝3×3×3＝27.故這個(gè)三棱柱的表面積為27＋2×eq\f(9\r(3),4)＝27＋eq\f(9\r(3),2).這個(gè)三棱柱的體積為eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(27\r(3),4).二、能力提升8．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)π B．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π答案B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，連結(jié)O′O，O′M，OM，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(（\r(2)）2＋1)＝eq\r(3).即球的半徑為eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.9．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1答案B解析由三視圖還原出直觀圖，根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”尋找出此三棱錐的相關(guān)數(shù)據(jù)，代入棱錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算．如圖，三棱錐的底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，有一條側(cè)棱和底面垂直，且其長(zhǎng)度為2，故三棱錐的高為2，故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)，故選B.10.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.答案4解析設(shè)球的半徑為r，則放入球后，球和水的體積為πr2×6r＝6πr3，又高度為8cm的水的體積為8πr2，3個(gè)球的體積和為3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，則6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．11．若E，F(xiàn)是三棱柱ABC－A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn)，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A－BEFC的體積．解如圖所示， 連結(jié)AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A－BEFC的高與四棱錐A－B1EFC1的高相等，∴VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝eq\f(1,2)VA－BB1C1C.又VA－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h，VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，∴VA－A1B1C1＝eq\f(m,3)，∴VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝eq\f(2,3)m，∴VA－BEFC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)m＝eq\f(m,3)，即四棱錐A－BEFC的體積是eq\f(m,3).三、探究與創(chuàng)新12．已知過球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．解∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.因球心O到截面△ABC的射影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△A