新教材人教a版必修第二冊10.3.1頻率的穩(wěn)定性10.3.2隨機模擬學案

10．3頻率與概率10．頻率的穩(wěn)定性10．隨機模擬新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.結合具體實例，會用頻率估計概率數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析，會用模擬方法估計概率，理解用模擬法估計概率的實質數(shù)學建模投擲一枚質地均勻，形狀規(guī)范的硬幣，正面和反面出現(xiàn)的概率是一樣的，都是eq\f(1,2).很多人會問，為什么正面和反面出現(xiàn)的概率是一樣的？顯然，硬幣是質地均勻，形狀規(guī)范的，哪一面都不會比另一面有更多的出現(xiàn)機會，正面和反面出現(xiàn)的概率是一樣的，這稱為古典概型的對稱性，體育比賽經常用到這個規(guī)律來決定誰開球，誰選場地．為了解釋這個現(xiàn)象，在歷史上，有很多人對這個問題進行過驗證，從結果可以看出，隨著次數(shù)的不斷增加，正面出現(xiàn)的頻率越來越接近eq\f(1,2)，我們也有理由相信，隨著次數(shù)的繼續(xù)增加，正面和反面出現(xiàn)的頻率將固定在eq\f(1,2)處，即正面和反面出現(xiàn)的概率都為eq\f(1,2).[問題]你認為頻率與概率之間有什么關系？知識點一頻率的穩(wěn)定性大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性．一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．頻率和概率可以相等嗎？提示：可以相等．但因為每次試驗的頻率為多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．1．氣象臺預測“本市明天降雨的概率是90%”，對預測的正確理解是()A．本市明天將有90%的地區(qū)降雨B．本市明天將有90%的時間降雨C．明天出行不帶雨具肯定會淋雨D．明天出行不帶雨具可能會淋雨解析：選D“本市明天降雨的概率是90%”也即為“本市明天降雨的可能性為90%”．故選D.2．某家具廠為足球比賽場館生產觀眾座椅．質檢人員對該廠所生產的2500套座椅進行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有2套次品，則該廠所生產的2500套座椅中大約有________套次品．解析：設有n套次品，由概率的統(tǒng)計定義，知eq\f(n,2500)＝eq\f(2,100)，解得n＝50，所以該廠所生產的2500套座椅中大約有50套次品．答案：50知識點二隨機模擬1．產生隨機數(shù)的方法(1)利用計算器或計算機軟件產生隨機數(shù)；(2)構建模擬試驗產生隨機數(shù)．2．蒙特卡洛方法利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法．1．用拋質地均勻的硬幣的方法可產生________個隨機數(shù)，拋質地均勻的骰子可產生________個隨機數(shù)．答案：262．在用隨機模擬方法解決“盒中僅有4個白球和5個黑球，從中取4個，求取出2個白球2個黑球的概率”問題時，可讓計算機產生1～9的隨機整數(shù)，并用1～4代表白球，用5～9代表黑球．因為是摸出4個球，所以每4個隨機數(shù)作為一組．若得到的一組隨機數(shù)為“4678”，則它代表的含義是__________________．解析：分析題意，易知數(shù)字4代表白球，數(shù)字6，7，8代表黑球，因此這組隨機數(shù)的含義為摸出的4個球中，只有1個白球．答案：摸出的4個球中，只有1個白球用頻率估計概率[例1](鏈接教科書第253頁例1)某射手在同一條件下進行射擊，結果如表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率(1)填寫表中擊中靶心的頻率；(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？[解](1)，，，，，0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)，所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9.eq\a\vs4\al()A發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機變量，當n很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動，這個穩(wěn)定值就是概率．2．解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率．[跟蹤訓練]近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱．為調查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位：噸)：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率．解：(1)廚余垃圾投放正確的概率為eq\f(“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量,廚余垃圾總量)＝eq\f(400,400＋100＋100)＝eq\f(2,3).(2)設生活垃圾投放錯誤為事件A，則A的概率為“廚余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里廚余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里廚余垃圾量和可回收物量的總和除以生活垃圾總量，即P(A)＝eq\f(30＋20＋100＋20＋100＋30,1000)＝0.3.游戲的公平性[例2](鏈接教科書第253頁例2)有兩個不透明的箱子，每個箱子都裝有4個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1，2，3，4.(1)甲從其中一個箱子中摸出一個球，乙從另一個箱子中摸出一個球，誰摸出的球上標的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；(2)摸球方法與(1)相同，若規(guī)定：兩人摸到的球上所標數(shù)字相同甲獲勝，所標數(shù)字不相同則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？請說明理由．[解](1)記甲、乙摸出的數(shù)字為(x，y)，則共有16種情況，則x>y的有(4，1)，(4，2)，(4，3)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6種情況，故甲獲勝的概率為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)不公平．理由如下：摸到的球上所標數(shù)字相同的情況有(4，4)，(3，3)，(2，2)，(1，1)，共4種情況，故甲獲勝的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，乙獲勝的概率為eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)，故不公平．eq\a\vs4\al()游戲公平性的標準及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的；(2)具體判斷時，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進行比較．[跟蹤訓練]有一個轉盤游戲，轉盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字．游戲規(guī)則如下：兩個人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉動轉盤，乙猜，若猜出的結果與轉盤轉出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下三種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”；C．猜“是大于4的數(shù)”或“不是大于4的數(shù)”．請回答下列問題：(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜數(shù)方案，并且怎樣猜？為什么？(2)為了保證游戲的公平性，你認為應選哪種猜數(shù)方案？為什么？(3)請你設計一種其他的猜數(shù)方案，并保證游戲的公平性．解：(1)A方案中，“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率都為0.5；B方案中，“是4的整數(shù)倍的數(shù)”的概率為，“不是4的整數(shù)倍的數(shù)”的概率為0.8；C方案中，“是大于4的數(shù)”的概率為，“不是大于4的數(shù)”B方案，猜“不是4的整數(shù)倍的數(shù)”獲勝的概率最大．(2)為了保證游戲的公平性，應當選擇方案A.因為方案A猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”，從而保證了該游戲是公平的．(3)可以設計為：猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”，也可以保證游戲的公平性．用隨機模擬估計概率[例3](鏈接教科書第256頁例3、例4)一個袋中有7個大小、形狀相同的小球，6個白球，1個紅球，現(xiàn)任取1個球，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率．[解]用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示紅球，利用計算器或計算機產生1到7之間(包括1和7)取整數(shù)值的隨機數(shù)，因為要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個隨機數(shù)作為一組，如下，產生20組隨機數(shù)：666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662就相當于做了20次試驗，在這些數(shù)組中，前兩個數(shù)字不是7，第三個數(shù)字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為eq\f(2,20)＝0.1.eq\a\vs4\al()利用隨機模擬估計概率應關注三點用整數(shù)隨機數(shù)模擬試驗估計概率時，首先要確定隨機數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗結果．我們可以從以下三方面考慮：(1)當試驗的樣本點等可能時，樣本點總數(shù)即為產生隨機數(shù)的范圍，每個隨機數(shù)代表一個樣本點；(2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù)；(3)當每次試驗結果需要n個隨機數(shù)表示時，要把n個隨機數(shù)作為一組來處理，此時一定要注意每組中的隨機數(shù)字能否重復．[跟蹤訓練]已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采取隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率．先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果，經隨機數(shù)模擬產生了20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃有兩次命中的概率為________．解析：由題意知，在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有191，271，932，812，393，共5組隨機數(shù)，∴所求概率為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)探究統(tǒng)計與概率的綜合問題天安門廣場國旗的升降時間是根據(jù)北京的日出日落時間確定的，具體時間是由北京天文臺的天文學家專門計算的．早晨，當太陽的上部邊緣與天安門廣場所見地平線相平時，為升旗時間．國旗的降旗時間分為逐漸推遲和逐漸提前兩個時段．遇到陰天、雨天或雪天，升旗和降旗的時間與前一天相同．每個月第一天，天安門廣場升旗時由軍樂隊奏國歌，整個升旗持續(xù)時間為2分零7秒．下表是某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表.日期升旗時刻日期升旗時刻1月1日7：365月15日5：001月23日7：306月9日4：452月5日7：156月16日4：452月21日7：006月21日4：453月3日6：458月20日5：303月13日6：309月5日6：453月22日6：1510月6日6：154月10日5：4510月21日6：304月20日5：3011月3日6：455月1日5：1512月18日7：30將表中的升旗時刻化為分數(shù)后作為樣本數(shù)據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如：7：36可化為7\f(36,60)＝7\f(3,5))).[問題探究]1．請完成下面的頻率分布表及頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率4：00～4：5935：00～5：596：00～6：597：00～7：595合計20eq\a\vs4\al()提示：頻率分布表及頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率4：00～4：5935：00～5：5956：00～6：5977：00～7：595合計20eq\a\vs4\al()2．若甲學校從上表日期中隨機選擇一天觀看升旗．試估計甲學校觀看升旗的時刻早于6：00的概率．提示：由表知，甲學校從20次升旗日期中隨機選擇一天觀看升旗，觀看升旗的時刻早于6：00的為8次，利用頻率估計概率，可知甲學校觀看升旗的時刻早于6：00的概率約為eq\f(8,20)＝0.4.[遷移應用]若甲、乙兩個學校各自從表中五月、六月的日期中隨機選擇一天觀看升旗，求兩校觀看升旗的時刻均不早于5：00的概率．解：由題中表知，五月、六月的升旗日期中不早于5：00的時間有2次，兩個月一共升旗5次．設按表中五月、六月的日期先后順序，甲校選擇一天觀看升旗分別為a1，a2，a3，a4，a5，乙校選擇一天觀看升旗分別為b1，b2，b3，b4，b5，則甲、乙兩個學校觀看升旗的時刻的樣本空間Ω＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a4，b1)，(a5，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(a4，b2)，(a5，b2)，(a1，b3)，(a2，b3)，(a3，b3)，(a4，b3)，(a5，b3)，(a1，b4)，(a2，b4)，(a3，b4)，(a4，b4)，(a5，b4)，(a1，b5)，(a2，b5)，(a3，b5)，(a4，b5)，(a5，b5)}，共有25個樣本點．設兩校觀看升旗的時刻均不早于5：00為事件A，則A包含4個樣本點，即(a1，b1)，(a2，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，所以P(A)＝eq