新教材人教b版選擇性必修第二冊組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)案

第2課時組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.學(xué)會運用組合的概念，分析簡單的實際問題．(重點)2.能解決無限制條件的組合問題．(難點)通過組合解決實際問題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).某國際會議中心有A、B、C、D和E共5種不同功能的會議室，且每種功能的會議室又有大、中、小和特小4種型號，總共20個會議室．現(xiàn)在有一個國際學(xué)術(shù)會議需要選擇3種不同功能的6個會議室，并且每種功能的會議室選2個型號．問題：會議中心的工作人員安排會議的方法有多少種？組合數(shù)的性質(zhì)(1)Ceq\o\al(m,n)＝eq\O(C\o\al(n－m,n))；(2)Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)Ceq\o\al(1,m)＋Ceq\o\al(2,m)＝Ceq\o\al(3,m＋1)(m≥2且m∈N*)． ()(2)從4名男生3名女生中任選2人，至少有1名女生的選法共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,6)種． ()(3)把4本書分成3堆，每堆至少一本共有Ceq\o\al(2,4)種不同分法．()[答案](1)×(2)×(3)√2．若Ceq\o\al(x,6)＝Ceq\o\al(2,6)，則x的值為()A．2 B．4C．0 D．2或4D[由Ceq\o\al(x,6)＝Ceq\o\al(2,6)可知x＝2或x＝6－2＝4.故選D.]3．Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)的值為________．84[Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)＝Ceq\o\al(6,9)＝eq\f(9！,6！×3！)＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84.]4．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種．96[甲選修2門，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)不同方案．乙選修3門，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)不同選修方案．丙選修3門，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)不同選修方案．由分步乘法計數(shù)原理，不同的選修方案共有6×4×4＝96(種)．]組合數(shù)的性質(zhì)【例1】計算：(1)Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(98,100)·Ceq\o\al(7,7)；(2)Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)；(3)Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－1,n)(n＞0，n∈N)．[解](1)原式＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,100)×1＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＋eq\f(100×99,2×1)＝56＋4950＝5006.(2)原式＝2(Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,5))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32.(3)原式＝Ceq\o\al(1,n＋1)·Ceq\o\al(1,n)＝(n＋1)n＝n2＋n.性質(zhì)“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”的意義及作用eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)化簡：Ceq\o\al(9,m)－Ceq\o\al(9,m＋1)＋Ceq\o\al(8,m)＝________；(2)已知Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，求n的值．(1)0[原式＝(Ceq\o\al(9,m)＋Ceq\o\al(8,m))－Ceq\o\al(9,m＋1)＝Ceq\o\al(9,m＋1)－Ceq\o\al(9,m＋1)＝0.](2)[解]根據(jù)題意，Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，變形可得Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n)＋Ceq\o\al(7,n)，由組合數(shù)的性質(zhì)，可得Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.有限制條件的組合問題【例2】高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動．(1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的選法有多少種？(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的選法有多少種？(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？[思路點撥]可從整體上分析，進(jìn)行合理分類，弄清關(guān)鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用兩個計數(shù)原理解決．[解](1)從余下的34名學(xué)生中選取2名，有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)．∴不同的選法有561種．(2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有Ceq\o\al(3,34)種．或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984種．∴不同的選法有5984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100種．∴不同的選法有2100種．(4)選取2名女生有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3名女生有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方法N＝Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555種．∴不同的選法有2555種．(5)選取3名的總數(shù)有Ceq\o\al(3,35)，至多有2名女生在內(nèi)的選取方式共有N＝Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090種．∴不同的選法有6090種．常見的限制條件及解題方法1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)．2．含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解．3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問題分類表達(dá)，逐類求解．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．“抗擊疫情，眾志成城”，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴抗擊疫情前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是內(nèi)科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？[解](1)分步：首先從4名內(nèi)科專家中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，再從除內(nèi)科專家的6人中選取4人，有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90(種)抽調(diào)方法．(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法．法一：按選取的內(nèi)科專家的人數(shù)分類：①選2名內(nèi)科專家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名內(nèi)科專家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)種選法；③選4名內(nèi)科專家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185(種)抽調(diào)方法．法二：不考慮是否有內(nèi)科專家，共有Ceq\o\al(6,10)種選法，考慮選取1名內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；沒有內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法，所以共有：Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185(種)抽調(diào)方法．(3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答．①沒有內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法；②有1名內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；③有2名內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115(種)抽調(diào)方法.分組分配問題[探究問題]1．把3個蘋果平均分成三堆共有幾種分法？為什么？[提示]共1種分法．因為三堆無差異．2．若把3個不同的蘋果分給三個人，共有幾種方法？[提示]共有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6種分法．【例3】(教材P20例5改編)6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路點撥](1)是平均分組問題，與順序無關(guān)，相當(dāng)于6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，可以理解為一個人一個人地來取，(2)是“均勻分組問題”，(3)是分組問題，分三步進(jìn)行，(4)分組后再分配，(5)明確“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解](1)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種．(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有Aeq\o\al(3,3)種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝xAeq\o\al(3,3)，所以x＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法．(3)這是“不均勻分組”問題，一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種方法．(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種方法．(5)可以分為三類情況：①“2、2、2型”即(1)中的分配情況，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情況，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,)5Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種方法；③“1、1、4型”，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90種方法．所以一共有90＋360＋90＝540種方法．分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種1．完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等．2．部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！.3．完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)．36[分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2,1,1分成三組，其分法有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種；第二步，將分好的三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有Aeq\o\al(3,3)種．所以滿足條件的分配方案有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．]1．在組合數(shù)的計數(shù)中，恰當(dāng)利用組合數(shù)的性質(zhì)解題可以使問題簡化．2．對于含有限制條件的組合問題，要合理分類，必要時可用間接法．3．對于分組問題應(yīng)注意避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏，對于分配問題解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)．1．某研究性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問卷調(diào)查活動需要挑選3名同學(xué)參加，其中至少一名女生，則不同的選法種數(shù)為()A．120種 B．84種C．52種 D．48種C[間接法：Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)＝52種．]2．5個代表分4張同樣的參觀券，每人最多分一張，且全部分完，那么分法一共有()A．Aeq\o\al(4,5)種 B．45種C．54種 D．Ceq\o\al(4,5)種D[由于4張同樣的參觀券分給5個代表，每人最多分一張，從5個代表中選4個即可滿足，故有Ceq\o\al(4,5)種．]3．方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)的解為________．4或6[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14－2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或6.]4．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)的值等于________．7315[原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o