新教材人教a版必修第二冊(cè)10.1.3古典概型學(xué)案

古典概型新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算據(jù)《西墅記》所載，唐明皇與楊貴妃擲骰子戲娛，唐明皇的戰(zhàn)況不佳，只有讓六顆骰子中的兩顆骰子同時(shí)出現(xiàn)“四”才能轉(zhuǎn)敗為勝．于是唐明皇一面舉骰投擲，一面連呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悅，命令高力士將骰子的四點(diǎn)涂為紅色，紅色通常是不能亂用的．因此直到今天，骰子的幺、四兩面為紅色，其余四面都是黑色．[問題]您能算出唐明皇轉(zhuǎn)敗為勝的概率是多少嗎？知識(shí)點(diǎn)古典概型1．事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2．古典概型的定義試驗(yàn)E具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．3．古典概型的概率計(jì)算公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\a\vs4\al(\f(k,n))＝eq\f(n（A）,n（Ω）)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．eq\a\vs4\al()若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，則該試驗(yàn)還不能判斷是古典概型，還必須滿足每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等．1．?dāng)S一枚不均勻的骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)的概率，這個(gè)概率模型還是古典概型嗎？提示：不是．因?yàn)轺蛔硬痪鶆?，所以每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性不相等．2．若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，則該試驗(yàn)是古典概型嗎？提示：不一定．還要看每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是否相同，若相同才是，否則不是．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)任何一個(gè)事件都是一個(gè)樣本點(diǎn)．()(2)古典概型中每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等．()(3)古典概型中的任何兩個(gè)樣本點(diǎn)都是互斥的．()答案：(1)×(2)√(3)√2．袋中裝有紅白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽取三次，所有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．解析：從裝有紅白兩球的袋中有放回的取出，所有取法有：共8個(gè)樣本點(diǎn)．答案：83．從1，2，3中任取兩個(gè)數(shù)字，設(shè)取出的數(shù)字含有2為事件A，則P(A)＝________．解析：從1，2，3中任取兩個(gè)數(shù)字，所有可能的結(jié)果有：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3個(gè)，其中含有2的結(jié)果有2個(gè)，故P(A)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)古典概型的判斷[例1]判斷下列概率模型中哪些是古典概型，為什么？(1)從區(qū)間[1，10]內(nèi)任意取出一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；(2)從含有1的10個(gè)整數(shù)中任意取出一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；(3)向一個(gè)正方形ABCD內(nèi)投擲一點(diǎn)P，求P恰好與A點(diǎn)重合的概率．[解]根據(jù)古典概型的特征進(jìn)行考慮，(1)(3)中樣本點(diǎn)有無限多個(gè)，因此不屬于古典概型．(2)從含有1的10個(gè)整數(shù)中任取1個(gè)整數(shù)，其樣本點(diǎn)總數(shù)為10，是有限的，且每個(gè)數(shù)取到的可能性相等，故(2)為古典概型．eq\a\vs4\al()判斷一個(gè)試驗(yàn)是不是古典概型的步驟(1)明確試驗(yàn)及其結(jié)果；(2)判斷所有結(jié)果(即樣本點(diǎn))是否有限；(3)判斷有限個(gè)結(jié)果是否等可能出現(xiàn)，這需要有日常生活的經(jīng)驗(yàn)．另外，題目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的語言．[跟蹤訓(xùn)練]某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)、命中9環(huán)、…、命中5環(huán)和不中環(huán)．你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？解：不是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的所有可能結(jié)果只有7個(gè)，而命中10環(huán)、命中9環(huán)、…、命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個(gè)條件.古典概型的計(jì)算角度一求“無序抽取”型古典概型的概率[例2]在大小、質(zhì)地完全相同的6個(gè)球中，2個(gè)是紅球，4個(gè)是白球，若從中任意選取3個(gè)，則所選的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是多少？[解]設(shè)白球標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，紅球標(biāo)號(hào)為5，6，從6個(gè)球中任選3球的樣本空間Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共20個(gè)樣本點(diǎn)，用事件A表示“至少有1個(gè)紅球”，則A＝{(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共包含16個(gè)樣本點(diǎn)．故所選3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率P(A)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5).角度二求“有序不放回抽取”型古典概型的概率[例3]三張卡片上分別寫有字母E，E，B，將三張卡片隨機(jī)排成一行，恰好排成BEE的概率為________．[解析]記寫有E的兩張卡片分別為E1，E2，畫樹狀圖如下：故樣本空間Ω＝{E1E2B，E1BE2，E2E1B，E2BE1，BE1E2，BE2E1}，共6個(gè)樣本點(diǎn)，記事件A為“恰好排成BEE”，則A＝{BE1E2，BE2E1}，共包含2個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)角度三求“有放回抽取”型古典概型的概率[例4]一個(gè)盒子中裝有4個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.(1)從盒子中不放回地隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2)先從盒子中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回盒子中，然后再從盒子中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n<m＋2的概率．[解](1)從盒子中不放回地隨機(jī)抽取兩個(gè)球，其樣本空間Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，用A表示“取出的球的編號(hào)之和不大于4”，則A＝{(1,2)，(1,3)}，A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.因此所求事件的概率P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從盒子中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再從盒子中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，用數(shù)對(duì)(m，n)來表示取出的結(jié)果，則樣本空間Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共包含16個(gè)樣本點(diǎn)，用B表示“n≥m＋2”，故eq\x\to(B)表示“n<m＋2”，則B＝{(1,3)，(1,4)，(2,4)}，共包含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以eq\x\to(B)包含的樣本點(diǎn)有13個(gè)，所以P(eq\x\to(B))＝eq\f(13,16).eq\a\vs4\al()求解古典概型的概率“四步”法[注意]計(jì)算樣本點(diǎn)時(shí)要注意兩個(gè)區(qū)別(1)“無序”與“有序”的區(qū)別．“無序”指取出的元素沒有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有順序，常用“依次取出”表述；(2)“有放回”與“無放回”的區(qū)別．“有放回”取出的元素可以重復(fù)，而“無放回”取出的元素沒有重復(fù)．[跟蹤訓(xùn)練]1．(2020·江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是________．解析：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)共有36種情況，其中點(diǎn)數(shù)和為5的情況有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4種，則所求概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).答案：eq\f(1,9)2．一個(gè)盒子中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，這3個(gè)球除顏色外完全相同．有放回地連續(xù)抽取2次，每次從中任意地取出1個(gè)球．計(jì)算下列事件的概率：(1)取出的兩個(gè)球都是白球；(2)第一次取出白球，第二次取出黑球；(3)取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球．解：把2個(gè)白球記為白1，白2.所有樣本點(diǎn)有：(黑，黑)，(黑，白1)，(黑，白2)，(白1，黑)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，黑)，(白2，白1)，(白2，白2)，共9個(gè)．(1)設(shè)“取出的兩個(gè)球都是白球”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4個(gè)．故取出的兩個(gè)球都是白球的概率P(A)＝eq\f(4,9).(2)設(shè)“第一次取出白球，第二次取出黑球”為事件B，則事件B包含的樣本點(diǎn)有(白1，黑)，(白2，黑)，共2個(gè)．故第一次取出白球，第二次取出黑球的概率P(B)＝eq\f(2,9).(3)設(shè)“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球”為事件C，則C表示“取出的兩個(gè)球都是黑球”，C包含的樣本點(diǎn)只有1個(gè)，則C包含的樣本點(diǎn)有8個(gè)，故取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球的概率P(C)＝eq\f(8,9).古典概型與其他知識(shí)的交匯問題[例5]某校從高一年級(jí)某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)，分組為[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)試估計(jì)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)()；(2)年級(jí)決定在成績(jī)[70，100]中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人組成一個(gè)調(diào)研小組，對(duì)高一年級(jí)學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況做一個(gè)調(diào)查，則在[70，80)，[80，90)，[90，100]這三組分別抽取了多少人？(3)現(xiàn)在要從(2)中抽取的6人中選出正、副2個(gè)小組長(zhǎng)，求成績(jī)?cè)赱80，90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)的概率．[解](1)由頻率分布直方圖得，眾數(shù)為eq\f(60＋70,2)＝65.成績(jī)?cè)赱50，70)內(nèi)的頻率為()×，成績(jī)?cè)赱70，80)×，∴中位數(shù)為70＋eq\f,0.3)×10≈73.3.(2)成績(jī)?yōu)閇70，80)，[80，90)，[90，100]，，，∴[70，80)，[80，90)，[90，100]這三組抽取的人數(shù)分別為3，2，1.(3)由(2)知成績(jī)?cè)赱70，80)有3人，分別記為a，b，c；成績(jī)?cè)赱80，90)有2人，分別記為d，e；成績(jī)?cè)赱90，100]有1人，記為f.用x1，x2表示從[70，80)，[80，90)，[90，100]這三組中抽取的2人，則數(shù)組(x1，x2)表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)．∴從抽取的6人中選出正、副2個(gè)小組長(zhǎng)的樣本空間Ω＝{(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(a，e)，(e，a)，(a，f)，(f，a)，(b，c)，(c，b)，(b，d)，(d，b)，(b，e)，(e，b)，(b，f)，(f，b)，(c，d)，(d，c)，(c，e)，(e，c)，(c，f)，(f，c)，(d，e)，(e，d)，(d，f)，(f，d)，(e，f)，(f，e)}．設(shè)事件A＝“成績(jī)?cè)赱80，90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)”，則事件A包含的樣本點(diǎn)有18個(gè)，∴成績(jī)?cè)赱80，90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長(zhǎng)的概率P(A)＝eq\f(18,30)＝eq\f(3,5).eq\a\vs4\al()古典概型綜合問題的求解步驟(1)分析所求概率事件的構(gòu)成，確定隨機(jī)試驗(yàn)變量；(2)將事件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的條件，寫出滿足條件的樣本點(diǎn)；(3)根據(jù)古典概型的概率公式求解．[跟蹤訓(xùn)練]1．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}．則A∩B＝B的概率是()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(8,9) D．1解析：選C∵a∈A，b∈A，所以可列表如下：ba1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3)易知B中最多有兩個(gè)元素．∵A∩B＝B，∴B可能為?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝a2－4b<0，滿足條件的(a，b)為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)；當(dāng)B＝{1}時(shí)，滿足條件的(a，b)為(2，1)；當(dāng)B＝{2}，{3}時(shí)，沒有滿足條件的(a，b)；當(dāng)B＝{1，2}時(shí)，滿足條件的(a，b)為(3，2)；當(dāng)B＝{2，3}，{1，3}時(shí)，沒有滿足條件的(a，b)；故符合條件的(a，b)共有8種，∴P(A∩B＝B)＝eq\f(8,9).2．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1，設(shè)集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b得到數(shù)組(a，b)．(1)列舉出數(shù)組(a，b)對(duì)應(yīng)的樣本空間，并求函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)的概率；(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．解：(1)樣本空間Ω＝{(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共15個(gè)樣本點(diǎn)．函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)等價(jià)于Δ＝b2－4a≥0，滿足條件的(a，b)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6個(gè)樣本點(diǎn)．∴y＝f(x)有零點(diǎn)的概率P1＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)∵a>0，函數(shù)y＝f(x)圖象對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(b,2a)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴有eq\f(b,2a)≤1，滿足條件的(a，b)有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13個(gè)樣本點(diǎn)．∴y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率P2＝eq\f(13,15).1．某袋中有9個(gè)大小相同的球，其中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任意取出1個(gè)，則取出的球恰好是白球的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(4,9) D．eq\f(5,9)解析：選C袋中有9個(gè)大小相同的球，從中任意取出1個(gè)，共有9種取法．取出的球恰好是白球，共有4種取法．故取出的球恰好是白球的概率為eq\f(4,9).故選C.2．《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)八卦圖(含亁、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每卦有三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為________．解析：記八卦分別為1，2，3，4，5，6，7，8，則從八卦中任取兩卦，可能情況有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共28種取法．若兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線，可按取得卦的陽、陰線的根數(shù)分類計(jì)算；當(dāng)有一卦陽、陰線的根數(shù)為3，0時(shí)，另一卦陽、陰線的根數(shù)為0，3，共有1種取法．當(dāng)有一卦陽、陰線的根數(shù)為2，1時(shí)，另一卦陽、陰線的根數(shù)為