高中數(shù)學(xué)同步練習(xí)題（附答案分析） 正弦定理和余弦定理

4-6正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化1.(文)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么角C等于()A．120° B．105°C．90° D．75°[答案]A[解析]∵c＝eq\r(3)a，∴sinC＝eq\r(3)sinA＝eq\r(3)sin(180°－30°－C)＝eq\r(3)sin(30°＋C)＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinC＋\f(1,2)cosC))＝eq\f(3,2)sinC＋eq\f(\r(3),2)cosC，即sinC＝－eq\r(3)cosC，∴tanC＝－eq\r(3).又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.故選A.(理)(2011·鄭州六校質(zhì)量檢測(cè))△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形[答案]A[解析]依題意得eq\f(sinC,sinB)<cosA，sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B為鈍角，△ABC是鈍角三角形，選A.2．(文)(2011·湖北八校聯(lián)考)若滿足條件C＝60°，AB＝eq\r(3)，BC＝a的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，eq\r(3))C．(eq\r(3)，2) D．(1,2)[答案]C[解析]由條件知，asin60°<eq\r(3)<a，∴eq\r(3)<a<2.(理)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若a＝2，b＝2eq\r(2)，且三角形有兩解，則角A的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))[答案]A[解析]由條件知bsinA<a，即2eq\r(2)sinA<2，∴sinA<eq\f(\r(2),2)，∵a<b，∴A<B，∴A為銳角，∴0<A<eq\f(π,4).3．(2011·福建質(zhì)檢)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a＝1，c＝4eq\r(2)，B＝45°，則sinC等于()A.eq\f(4,41) B.eq\f(4,5)C.eq\f(4,25) D.eq\f(4\r(41),41)[答案]B[解析]依題意得b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝5，又eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，所以sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(4\r(2)sin45°,5)＝eq\f(4,5)，選B.4．(2012·天津理，6)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，已知8b＝5c，C＝2B，則cosCA.eq\f(7,25) B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25) D.eq\f(24,25)[答案]A[解析]由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)及8b＝5c，C＝2B得，5sin2B＝8sinB，∴cosB＝eq\f(4,5)，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(7,25).5．(2011·遼寧理，4)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)[答案]D[解析]∵asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，∴sinB＝eq\r(2)sinA，∴b＝eq\r(2)a，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2).6．(文)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，則A＝()A．30° B．60°C．120° D．150°[答案]A[解析]由余弦定理得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，由題知b2－a2＝－eq\r(3)bc，c2＝2eq\r(3)bc，則cosA＝eq\f(\r(3),2)，又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故選A.(理)△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B＝30°，△ABC的面積為0.5，那么b為()A．1＋eq\r(3) B．3＋eq\r(3)C.eq\f(3＋\r(3),3) D．2＋eq\r(3)[答案]C[解析]eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)，∴ac＝2，又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝eq\f(3＋\r(3),3).7．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－1,0)，C(1,0)，頂點(diǎn)B在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值為________．[答案]2[解析]由題意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋BA,AC)＝2.8．(2011·廣州一測(cè))△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別為a、b、c，已知c＝3，C＝eq\f(π,3)，a＝2b，則b的值為________．[答案]eq\r(3)[解析]依題意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcoseq\f(π,3)，解得b2＝3，∴b＝eq\r(3).9．(文)(2012·石家莊質(zhì)檢)在△ABC中，∠A＝60°，BC＝2，AC＝eq\f(2\r(6),3)，則∠B＝________.[答案]45°[解析]利用正弦定理可知：eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(2,sin60°)＝eq\f(\f(2\r(6),3),sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∵2>eq\f(2\r(6),3)，∴BC>AC，∴∠A>∠B，∴∠B＝45°.(理)(2012·北京西城區(qū)期末)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若b＝eq\r(5)，B＝eq\f(π,4)，tanC＝2，則c＝________.[答案]2eq\r(2)[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(sin2C＋cos2C＝1,tanC＝2?\f(sinC,cosC)＝2))?sin2C＝eq\f(4,5)?sinC＝eq\f(2\r(5),5).由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(sinC,sinB)×b＝2eq\r(2).10．(2012·河南商丘模擬)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且bcosC＝(3a－c)cosB(1)求cosB的值；(2)若eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝2，且b＝2eq\r(2)，求a和c的值．[解析](1)由正弦定理得，sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，可得sinA＝3sinAcosB.又sinA≠0，∴cosB＝eq\f(1,3).(2)由eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝2，可得accosB＝2.又cosB＝eq\f(1,3)，∴ac＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB，及b＝2eq\r(2)，可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，即a＝c.∴a＝c＝eq\r(6).[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查正、余弦定理及三角運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.能力拓展提升11.(文)(2011·泉州質(zhì)檢)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，則角B等于()A．30° B．60°C．90° D．120°[答案]B[解析]依題意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根據(jù)正弦定理得，sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，則sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，又0°<B<180°，所以cosB＝eq\f(1,2)，所以B＝60°，選B.(理)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的長度分別是a、b、c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3)，△ABC的面積等于eq\r(3)，則a、b的值分別為()A．a(chǎn)＝1，b＝4 B．a(chǎn)＝4，b＝1C．a(chǎn)＝4，b＝4 D．a(chǎn)＝2，b＝2[答案]D[解析]由余弦定理得，a2＋b2－ab＝4，又因?yàn)椤鰽BC的面積等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，∴ab＝4.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4.))解得a＝2，b＝2.12.(2011·天津理，6)如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，則sinC的值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),6)[答案]D[解析]如圖，根據(jù)條件，設(shè)BD＝2，則AB＝eq\r(3)＝AD，BC＝4.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(\r(3),sinC)＝eq\f(4,sinA)，在△ABD中，由余弦定理得，cosA＝eq\f(3＋3－4,2×\r(3)×\r(3))＝eq\f(1,3)，∴sinA＝eq\f(2\r(2),3)，∴sinC＝eq\f(\r(3)sinA,4)＝eq\f(\r(3)×\f(2\r(2),3),4)＝eq\f(\r(6),6)，故選D.13．(文)(2011·濟(jì)南外國語學(xué)校質(zhì)檢)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則∠A的大小為________．[答案]eq\f(π,6)[解析]∵sinB＋cosB＝eq\r(2)sin(B＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)，∴sin(B＋eq\f(π,4))＝1，∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,4)，∵eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，∴sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq\f(1,2)，∵a<b，∴A<B，∴A＝eq\f(π,6).(理)(2011·河南質(zhì)量調(diào)研)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝3，則△ABC的面積為________．[答案]2[解析]依題意得cosA＝2cos2eq\f(A,2)－1＝eq\f(3,5)，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5)，∵eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝AB·AC·cosA＝3，∴AB·AC＝5，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝2.14．(2011·安陽月考)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，則eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＝________.[答案]1[解析]∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，∴eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,a＋c)＝1.15．(2012·天津文，16)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知a＝2，c＝eq\r(2)，cosA＝－eq\f(\r(2),4).(1)求sinC和b的值；(2)求cos(2A＋eq\f(π,3))的值．[分析](1)由cosA＝－eq\f(\r(2),4)及0<A<π，sin2A＋cos2A＝1可求sinA，再由正弦定理求sinC，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可求b的值．(2)由(1)知道sinA，cosA，用正弦、余弦二倍角公式求sin2A，cos2A，展開cos(2A＋eq\f(π,3))代入即可．[解析](1)在△ABC中，由cosA＝－eq\f(\r(2),4)，可得sinA＝eq\f(\r(14),4).又由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)及a＝2，c＝eq\r(2)，可得sinC＝eq\f(\r(7),4).由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0，因?yàn)閎>0，故解得b＝1.所以sinC＝eq\f(\r(7),4)，b＝1.(2)由cosA＝－eq\f(\r(2),4)，sinA＝eq\f(\r(14),4)得，cos2A＝2cos2A－1＝－eq\f(3,4)，sin2A＝2sinAcosA＝－eq\f(\r(7),4).所以，cos(2A＋eq\f(π,3))＝cos2Acoseq\f(π,3)－sin2Asineq\f(π,3)＝eq\f(－3＋\r(21),8).[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦關(guān)系、兩角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)．考查基本運(yùn)算求解能力．16．(文)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量m＝(2sinB，－eq\r(3))，n＝(cos2B,2cos2eq\f(B,2)－1)且m∥n.(1)求銳角B的大?。?2)如果b＝2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．[分析](1)問利用平行向量的坐標(biāo)表示將向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角恒等變換知識(shí)解決；(2)問利用余弦定理與基本不等式結(jié)合三角形面積公式解決．[解析](1)∵m∥n，∴2sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(B,2)－1))＝－eq\r(3)cos2B，∴sin2B＝－eq\r(3)cos2B，即tan2B＝－eq\r(3)，又∵B為銳角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵B＝eq\f(π,3)，b＝2，∴由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)得，a2＋c2－ac－4＝0，又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝cS△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac≤eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)等號(hào)成立)．[點(diǎn)評(píng)]本題將三角函數(shù)、向量與解三