多維隨機(jī)向量的分布及其數(shù)字特征

?

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2012第三章多維隨機(jī)向量的分布及其數(shù)字特征常用的多維隨機(jī)向量的分布

?

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2012圖示第一節(jié)二維隨機(jī)向量及其分布

定義?

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2012實(shí)例

炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X

、Y

有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實(shí)例

考查某一地區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H

和體重W就構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).說(shuō)明

?

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2012二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)

(1)分布函數(shù)的定義

?

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2012?

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2012(2)分布函數(shù)的性質(zhì)且有?

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2012?

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2012證明?

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2012

若二維隨機(jī)變量

(X,Y)所取的可能值是有限對(duì)或無(wú)限可列多對(duì),則稱

(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.二維離散型隨機(jī)變量

1.定義?

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20122.二維離散型隨機(jī)變量的分布律

?

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2012二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律也可表示為?

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2012解且由乘法公式得例1?

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2012?

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2012例2一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,從中任取一個(gè),不放回袋中,再任取一個(gè),設(shè)每次取球時(shí),各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求(X,Y)的分布律與分布函數(shù).

(X,Y)的可能取值為解?

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2012故(X,Y)的分布律為下面求分布函數(shù).?

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2012?

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2012?

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2012所以(X,Y)

的分布函數(shù)為?

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2012說(shuō)明離散型隨機(jī)變量(X,Y)

的分布函數(shù)歸納為?

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20121.定義二維連續(xù)型隨機(jī)變量?

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20122.性質(zhì)?

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2012表示介于f(x,y)和xoy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.3.說(shuō)明?

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2012例3?

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2012解?

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2012

(2)將(X,Y)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),即有?

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2012第二節(jié)邊緣分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性邊緣分布?

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2012為隨機(jī)變量

(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).?

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2012離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

?

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2012?

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2012因此得離散型隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為?

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2012例1

已知下列分布律求其邊緣分布律.?

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2012注意聯(lián)合分布邊緣分布解?

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2012連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布?

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2012同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.?

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2012解例2?

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2012?

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2012作業(yè)：P122習(xí)題3：

1.2.3.5.?

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2012隨機(jī)變量的獨(dú)立性1.定義?

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20122.說(shuō)明

(1)若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為?

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2012?

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2012解例1?

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2012(1)由分布律的性質(zhì)知?

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2012特別有又(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有?

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2012解由于X與Y相互獨(dú)立,例2?

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2012?

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2012多維隨機(jī)向量1.分布函數(shù)?

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20122.概率密度函數(shù)?

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2012其它依次類推.3.邊緣分布函數(shù)?

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20124.邊緣概率密度函數(shù)?

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20125.相互獨(dú)立性?

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2012離散型隨機(jī)變量的條件分布

第三節(jié)條件分布?

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2012定義?

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2012例1?

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2012解由上述分布律的表格可得?

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2012?

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2012定義連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布?

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2012?

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2012答思考:?

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2012說(shuō)明聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下聯(lián)合分布條件分布函數(shù)與條件密度函數(shù)的關(guān)系邊緣分布條件分布聯(lián)合分布?

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2012解例2?

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2012又知邊緣概率密度為?

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2012為了解決類似的問(wèn)題下面我們討論隨機(jī)變量函數(shù)的分布.一、問(wèn)題的引入第四節(jié)多維隨機(jī)向量函數(shù)的概率分布?

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2012離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例1?

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2012概率解等價(jià)于?

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2012概率?

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2012?

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2012結(jié)論?

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2012連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1.Z=X+Y的分布?

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2012由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對(duì)稱,當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),?

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2012由公式解例2

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.?

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2012得?

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2012說(shuō)明

有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.作業(yè)：P122習(xí)題3：

6.8~10.12.13.?

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2012?

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2012同理可得故有?

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2012當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),由此可得分布密度為?

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2012解由公式例3?

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2012得所求密度函數(shù)得?

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2012則有?

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2012故有?

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2012推廣?

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2012統(tǒng)計(jì)中常見的三種分布1.?

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2012?

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2012性質(zhì)1?

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2012性質(zhì)3證明?

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2012?

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2012附表一般只詳列到

n=45為止.例2?

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2012例如利用上面公式,而查詳表可得費(fèi)舍爾(R.A.Fisher)證明:?

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2012t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.2.?

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2012當(dāng)n充分大時(shí),其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形.?

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2012由分布的對(duì)稱性知?

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2012例3?

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20123.?

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2012?

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2012根據(jù)定義可知,?

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2012例4?

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2012證明?

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2012?

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2012第五節(jié)多維隨機(jī)向量的數(shù)字特征二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?

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2012?

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2012解例

1

設(shè)(X,Y)的分布律為?

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2012由于?

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2012?

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2012例2?

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2012解?

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2012

1.

2.設(shè)X，Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)；請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立證明：二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望利用這些性質(zhì)可以再求數(shù)學(xué)期望時(shí)計(jì)算得以化簡(jiǎn)。

3.若隨機(jī)變量的取值非負(fù),且存在,則

推論:.

4.設(shè)的數(shù)學(xué)期望存在,則有證明:對(duì)于任意的實(shí)數(shù),由于

這個(gè)不等式稱作Cauchy-Schwarz不等式.作業(yè)：P122習(xí)題3：16.19.?

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20121.問(wèn)題的提出

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差一協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義

?

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20122.定義?

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20123.說(shuō)明?

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20124.協(xié)方差的計(jì)算公式證明?

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2012?

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20125.性質(zhì)

?

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2012解例1?

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2012?

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2012?

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2012結(jié)論?

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20121.問(wèn)題的提出二、相關(guān)系數(shù)的意義?

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2012解得?

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20122.相關(guān)系數(shù)的意義?

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2012(1)不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系3.注意相互獨(dú)立不相關(guān)(2)不相關(guān)的充要條件?

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20124.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)證明?

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2012由方差性質(zhì)知?

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2012故有?

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20123.協(xié)方差矩陣?

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2012?

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2012協(xié)方差矩陣的應(yīng)用協(xié)方差矩陣可用來(lái)表示多維隨機(jī)變量的概率密度，從而可通過(guò)協(xié)方差矩陣達(dá)到對(duì)多維隨機(jī)變量的研究?

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20121.二維均勻分布定義設(shè)

D是平面上的有界區(qū)域,其面積為

S,若二維隨機(jī)變量

(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在D上服從均勻分布.第六節(jié)常用的多維隨機(jī)向量的分布?

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2012例4已知隨機(jī)變量(X,Y)在D上服從均勻分布,試求(X,Y)的分布密度及分布函數(shù),其中D為x軸,y軸及直線y=x+1所圍成的三角形區(qū)域.解?

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2012?

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2012?

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2012?