高考數(shù)學(xué) 2.5 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)總復(fù)習(xí)

要點(diǎn)梳理1.對(duì)數(shù)的概念（1）對(duì)數(shù)的定義如果ax=N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作_________,其中____叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),____叫做真數(shù).aN§2.5對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)x=logaN基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)精選ppt（2）幾種常見對(duì)數(shù)2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)①=_____;②logaaN=_____(a>0且a≠1).

對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對(duì)數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)_______常用對(duì)數(shù)底數(shù)為__________自然對(duì)數(shù)底數(shù)為__________elnNlgNlogaN10NN精選ppt（2）對(duì)數(shù)的重要公式①換底公式:(a,b均大于零且不等于1)；②推廣logab·logbc·logcd=______.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=______________;②=______________;logadlogaM+logaNlogaM-logaN精選ppt③logaMn=

___________(n∈R);④3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)nlogaM

a>10<a<1圖象精選ppt性質(zhì)(1)定義域:__________(2)值域:_____(3)過點(diǎn)_______,即x=___時(shí),y=___(4)當(dāng)x>1時(shí),_____當(dāng)0<x<1時(shí),_______(4)當(dāng)x>1時(shí),_______當(dāng)0<x<1時(shí),_____(5)是(0，+∞)上的___________(5)是(0，+∞)上的____________R(0,+∞)(1,0)y>0y>0y<0y<010增函數(shù)減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)_________互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線_________對(duì)稱.y=logaxy=x精選ppt基礎(chǔ)自測(cè)1.（2009·湖南理）若log2a<0,則（）A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0

解析∵log2a<0=log21,∴0<a<1.∵∴b<0.D精選ppt2.已知log7[log3(log2x)]=0，那么等于（）A.B.C.D.

解析由條件知log3(log2x)=1,∴l(xiāng)og2x=3,∴x=8,∴C精選ppt3.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,則a,b,c的大小關(guān)系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

解析

a=0.32∈(0,1),b=log20.3<0,

c=20.3∈(1,+∞),∴b<a<c.D精選ppt4.設(shè)a>1，函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為則a等于（）A.B.2C.D.4

解析根據(jù)已知條件loga(2a)-logaa=整理得：loga2=則即a=4.D精選ppt5.函數(shù)的定義域是_______.

解析要使有意義需使∴0<3x-2≤1,即<x≤1,∴的定義域?yàn)榫xppt題型一對(duì)數(shù)的化簡與求值【例1】(1)化簡:(2)化簡:(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.

(1)、（2）為化簡題目，可由原式聯(lián)想指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、公式的結(jié)構(gòu)形式來尋找解題思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式來求

a2m+n的值.思維啟迪題型分類深度剖析精選ppt解(1)原式=(2)(3)方法一∵loga2=m,∴am=2.∵loga3=n,∴an=3.故a2m+n=(am)2·an=4×3=12.方法二∵loga2=m,loga3=n,精選ppt

（1）在對(duì)數(shù)運(yùn)算中,先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡合并，在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化.(2)熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧.探究提高精選ppt知能遷移1(1)化簡(log43+log83)(log32+log92)=________.解析

精選ppt(2)已知3a=5b=A,且則A的值是（）A.15B.C.D.225

解析∵3a=5b=A,∴a=log3A,b=log5A,∴=logA3+logA5=logA15=2,∴A2=15,∴A=或A=（舍）.B精選ppt題型二比較大小【例2】(2009·全國Ⅱ理,7)設(shè)a=log2π,

則（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

(1)引入中間量如“1”或“

”比較.(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性.

解析∵a=log2π>1,∴a>b,a>c.∴b>c,∴a>b>c.思維啟迪A精選ppt探究提高比較對(duì)數(shù)式的大小，或證明等式問題是對(duì)數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多,①當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較;②若底數(shù)不同，真數(shù)相同,可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；③若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較.精選ppt知能遷移2比較下列各組數(shù)的大小.(1)(2)log1.10.7與log1.20.7;(3)已知比較2b,2a,2c的大小關(guān)系.

解（1）∵<log31=0,>log51=0,∴精選ppt(2)方法一∵0<0.7<1,1.1<1.2,∴0>log0.71.1>log0.71.2,即由換底公式可得log1.10.7<log1.20.7.方法二作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象.如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.(3)∵為減函數(shù)，∴b>a>c,而y=2x是增函數(shù)，∴2b>2a>2c.精選ppt題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例3】(12分)已知函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)，如果對(duì)于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，試求

a的取值范圍.當(dāng)x∈[3，+∞)時(shí)，必有|f(x)|≥1成立,可以理解為函數(shù)|f(x)|在區(qū)間[3，+∞)上的最小值不小于1.解當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)于任意x∈[3，+∞),都有f(x)>0.所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3，+∞)上為增函數(shù)，∴對(duì)于任意x∈[3，+∞),有f(x)≥loga3.4分思維啟迪精選ppt因此,要使|f(x)|≥1對(duì)于任意x∈[3，+∞)都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1<a≤3.6分當(dāng)0<a<1時(shí)，對(duì)于x∈[3，+∞),有f(x)<0,∴|f(x)|=-f(x).8分∵f（x）=logax在[3，+∞)上為減函數(shù)，∴-f（x）在[3，+∞)上為增函數(shù).∴對(duì)于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.10分因此，要使|f(x)|≥1對(duì)于任意x∈[3，+∞)都成立,只要-loga3≥1成立即可，精選ppt綜上,使|f(x)|≥1對(duì)任意x∈[3，+∞)都成立的a的取值范圍是(1，3]∪[，1).12分本題屬于函數(shù)恒成立問題，即在x∈[3，+∞)時(shí),函數(shù)f(x)的絕對(duì)值恒大于等于1.恒成立問題一般有兩種思路:一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問題.這里函數(shù)的底數(shù)為字母a,因此需對(duì)參數(shù)a分類討論.探究提高精選ppt知能遷移3(1)設(shè)f(x)=是奇函數(shù)，則使

f(x)<0的x的取值范圍是（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)

解析∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0.解之，得a=-1.∴f(x)=令f(x)<0，則∴x∈(-1，0).A精選ppt(2)已知f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定義域上的增函數(shù),那么a的取值范圍是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)∪(1,3)D.(3,+∞)解析記u=(3-a)x-a,當(dāng)1<a<3時(shí)，y=logau在（0，+∞）上為增函數(shù)，

u=(3-a)x-a在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴此時(shí)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，符合要求.當(dāng)a>3時(shí)，y=logau在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，而u=(3-a)x-a在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，精選ppt∴此時(shí)f(x)在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，不符合要求.當(dāng)0<a<1時(shí)，同理可知f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，不符合題意.故選B.

答案

B精選ppt題型四對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【例4】已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn).（1）證明：點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一直線上；（2）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).（1）證明三點(diǎn)在同一條直線上只需證明

kOC=kOD;(2)解方程組得x1,x2,代入解析式即可求解.思維啟迪精選ppt（1）證明設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,由題設(shè)知x1>1,x2>1,則點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為log8x1、log8x2.因?yàn)锳、B在過點(diǎn)O的直線上，所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率為k1=OD的斜率為k2=由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直線上.精選ppt（2）解由于BC平行于x軸，知log2x1=log8x2，即得代入x2log8x1=x1log8x2,得由于x1>1,知log8x1≠0,故

又因x1>1,解得x1=,于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為利用函數(shù)圖象和解析幾何的思想方法,突出了本題的直觀性.將對(duì)數(shù)的運(yùn)算融于幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.探究提高精選ppt知能遷移4已知函數(shù)

是奇函數(shù)(a>0,

a≠1）.(1)求m的值；(2)判斷f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性并加以證明.

解（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）在其定義域內(nèi)恒成立，∴1-m2x2=1-x2恒成立，∴m=-1或m=1（舍去），∴m=-1.精選ppt（2）由（1）得

(a>0,a≠1),任取x1,x2∈(1,+∞).設(shè)x1<x2,令t(x)=

∵x1>1,x2>1,x1<x2,∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0.精選ppt∴t(x1)>t(x2),即∴當(dāng)a>1時(shí)，∴

f(x)在（1,+∞）上是減函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，

∴f(x)在（1,+∞)上是增函數(shù).精選ppt1.指數(shù)式ab=N與對(duì)數(shù)式logaN=b的關(guān)系以及這兩種形式的互化是對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的關(guān)鍵.2.在運(yùn)算性質(zhì)logaMn=nlogaM時(shí),要特別注意條件，在無M＞0的條件下應(yīng)為logaMn=nloga|M|(n∈N*,且

n為偶數(shù)).3.注意對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)換底公式及等式在解題中的靈活應(yīng)用.方法與技巧思想方法感悟提高精選ppt4.指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0,且a≠1)互為反函數(shù),要能從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.1.指數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是指數(shù)式的積、商、冪的運(yùn)算，對(duì)于指數(shù)式的和、差應(yīng)充分運(yùn)用恒等變形和乘法公式，對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是把積、商、冪的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的和、差、積.失誤與防范精選ppt2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax

(a>0,且a≠1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.3.明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì)，要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象.因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.精選ppt一、選擇題1.（2009·湖南文，1）的值為（）A.B.C.D.

解析D定時(shí)檢測(cè)精選ppt2.（2009·廣東文,4）若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)=1,則f(x)=（）A.B.2x-2C.D.log2x

解析函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的反函數(shù)是

f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2,故f(x)=log2x,故選D.D精選ppt3.(2009·遼寧文，6)已知函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥4時(shí)，當(dāng)x<4時(shí)，f(x)=f(x+1).則f(2+log23)=（）A.B.C.D.

解析因?yàn)?+log23<4,故f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).又3+log23>4,故f(3+log23)=A精選ppt4.已知0<x<y<a<1,m=logax+logay，則有()A.m<0B.0<m<1C.1<m<2D.m>2

解析

m=logaxy,∵0<x<y<a<1,∴0<xy<a2<1.∴m>logaa2=2.D精選ppt5.函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖所示,則函數(shù)y=的圖象大致是()精選ppt解析由y=f(x)的圖象可知，y=f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，故選C.

答案

C精選ppt6.函數(shù)y=loga|x+b|(a>0,a≠1,ab=1)的圖象只可能是（）

解析由a>0,ab=1可知b>0,又y=loga|x+b|的圖象關(guān)于x=-b對(duì)稱，由圖象可知b>1,且0<a<1,由單調(diào)性可知，B正確.B精選ppt二、填空題7.(2009·江蘇，11)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若AB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c,+∞),其中c=___.

解析∵log2x≤2,∴0<x≤4.又∵A

B,∴a>4,∴c=4.8.計(jì)算log525=_______.

解析原式=(-4)1+log552=-4+2=-2.4-2精選ppt9.已知0<a<b<1<c,m=logac,n=logbc,則m與n的大小關(guān)系是_______.

解析∵m<0,n<0,=logac·logcb=logab<logaa=1,∴m>n.m>n精選ppt三、解答題10.將下列各數(shù)按從大到小的順序排列:log89,log79,

解

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log8x,

y=log7x，y=log2x的圖象如圖所示,當(dāng)x=9時(shí),由圖象知log29>log79>log89>1=log88,精選ppt∴l(xiāng)og229>log79>log89>1,即>log79>log89>1.∵在R上是減函數(shù),精選ppt11.若函數(shù)y=lg(3-4x+x2)的定義域?yàn)镸.當(dāng)x∈M時(shí)，求f(x)=2x+2-3×4x的最值