優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學必修第四冊112 平面的基本事實與推論

11.2平面的基本事實與推論課標闡釋思維脈絡(luò)1.理解平面的三個基本事實與三個推論,會運用三種語言表示事實和推論.2.能進行文字語言、圖形語言、符號語言之間的互相轉(zhuǎn)化.激趣誘思知識點撥日常生活中存在如下的現(xiàn)象:固定照相機或測量用的平板儀的支撐架都設(shè)計成三腳架;自行車、摩托車加一個側(cè)撐就可平穩(wěn)地放在地面上;一扇門用兩個合頁和一把鎖就可以固定了.你知道這些設(shè)計的原理嗎?激趣誘思知識點撥知識點一:點、線、面之間的位置關(guān)系及表示

文字語言圖形語言符號語言點A在直線l上A∈l點A不在直線l上A?l點A在平面α內(nèi)A∈α點A不在平面α內(nèi)A?α激趣誘思知識點撥文字語言圖形語言符號語言直線l在平面α內(nèi)l?α直線l不在平面α內(nèi)l?α直線l和直線m相交于點Al∩m=A平面α與平面β相交于直線aα∩β=a激趣誘思知識點撥微思考1“直線l不在平面α內(nèi)”就是說“直線l與平面α平行”對嗎?提示:不對,直線l不在平面α內(nèi)說明直線l與平面α平行或者直線l與平面α相交.微思考2若A∈a,a?α,是否可以推出A∈α?提示:根據(jù)直線在平面內(nèi)定義可知,若A∈a,a?α,則A∈α.激趣誘思知識點撥微練習如圖所示,平面ABEF記作平面α,平面ABCD記作平面β,根據(jù)圖形填寫:(1)A∈α,B

α,E

α,C

α,D

α.

(2)α∩β=

.

(3)A∈β,B

β,C

β,D

β,E

β,F

β.

(4)AB

α,AB

β,CD

α,CD

β,BF

α,BF

β.答案:(1)∈

∈

?

?

(2)AB

(3)∈

∈

∈

?

?

(4)?

?

?

?

?

?激趣誘思知識點撥

知識點二:平面的基本事實

文字語言圖形語言符號語言基本事實1經(jīng)過不在一條直線上的3個點,有且只有一個平面,即不共線的3點確定一個平面若A,B,C三點不共線,則有且只有一個平面α,使A∈α,B∈α,C∈α基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi)如果A∈α,B∈α,那么直線AB?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線,這條直線通常稱為兩個平面的交線如果A∈α,A∈β,則α∩β=a且A∈a激趣誘思知識點撥名師點析

1.基本事實1中,“有且只有一個”有兩層含義,“有”表示存在,“只有一個”表示唯一,故“有且只有一個”表示存在并且唯一.本事實的作用:①確定平面;②證明點、線共面.2.基本事實2中,闡述了兩個觀點:一是整條線在平面內(nèi);二是直線上所有點在平面內(nèi).本事實的作用:可判斷直線是否在平面內(nèi),點是否在平面內(nèi),也可用直線來檢驗平面.3.基本事實3中,此事實中強調(diào)的是兩個不重合的平面,只要它們有公共點,其交集就是一條直線,若無特別說明,提到的兩個平面,都指不重合的兩個平面.激趣誘思知識點撥微思考1經(jīng)過空間中的三點,能作出幾個平面?提示:當三點共線時,能作出無數(shù)個平面,當三點不共線時,只能過這三點作出唯一的一個平面.微思考2兩個平面的交線可能是一條線段嗎?提示:不可能.由基本事實3知,兩個平面若相交,則它們的交線是一條直線.激趣誘思知識點撥微練習1如果直線a?平面α,直線b?平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么(

)

A.l?α B.l?α

C.l∩α=M D.l∩α=N答案:A解析:因為M∈a,N∈b,a?α,b?α,所以M∈α,N∈α,根據(jù)基本事實2可知l?α.故選A.激趣誘思知識點撥微練習2若兩個不重合的平面有公共點,則公共點有(

)A.1個

B.2個C.1個或無數(shù)個

D.無數(shù)個且在同一條直線上答案:D解析:利用基本事實3可知若兩個平面有一個公共點,則它們就一定有一條交線,而線是由無數(shù)個點構(gòu)成的,所以這兩個平面有無數(shù)個在同一直線上的交點.激趣誘思知識點撥微練習3已知直線m?平面α,P?m,Q∈m,則(

)A.P?α,Q∈α B.P∈α,Q?αC.P?α,Q?α D.Q∈α答案:D解析:∵Q∈m,m?α,∴Q∈α.∵P?m,∴有可能P∈α,也可能有P?α.激趣誘思知識點撥知識點三:平面基本事實的推論

文字語言圖形語言符號語言推論1經(jīng)過一條直線與直線外一點,有且只有一個平面,即直線與直線外一點確定一個平面點A?直線BC?存在唯一的平面α,使A∈α,直線BC?α推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面直線AB∩直線AC=A?存在唯一的平面α,使直線AB?α,且直線AC?α推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面l∥m?存在唯一的平面α,使l?α,且m?α激趣誘思知識點撥微思考經(jīng)過空間任意兩條直線能確定一個平面嗎?提示:不一定.只有經(jīng)過空間兩條相交或平行的直線才能確定一個平面.激趣誘思知識點撥微練習1三點可確定平面的個數(shù)是(

)

A.0 B.1C.2 D.1或無數(shù)個答案:D解析:當這三點共線時,可確定無數(shù)個平面;當這三點不共線時,可確定一個平面.微練習2三條直線兩兩相交,可確定

個平面.

答案:一或三解析:當三條直線共點時可確定三個或一個,當三條直線不共點時可確定一個平面.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測文字、圖形、符號三種語言的轉(zhuǎn)化例1用符號語言和文字語言分別表示下面的圖形.解:符號語言:l?α,m∩α=M,M?l.文字語言:直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點M,點M不在直線l上.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練

1用文字語言表示下列符號語言,并畫圖表示(其中P是點,a,b,m是直線,α,β是平面):α∩β=m,a?α,b?β,a∩m=P,b∩m=P.解:用文字語言表示為:分別在兩個相交平面α,β內(nèi)的兩條直線a和b相交,且交點P在平面α,β的交線m上.圖形如圖所示(畫法不唯一).探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測證明多線共面問題例2求證:如果兩兩平行的三條直線a,b,c都與另一條直線l相交,那么這四條直線共面.證明:如圖所示,因為a∥b,可知直線a與b確定一個平面,設(shè)為α.因為l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,則A∈α,B∈α.又因為A∈l,B∈l,所以由基本事實2可知l?α.因為b∥c,所以直線b與c確定一個平面β,同理可知l?β.因為平面α和平面β都包含著直線b與l,且l∩b=B,而由經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面,可知平面α與平面β重合,所以直線a,b,c和l共面.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練

2過直線l外一點P,引兩條直線PA,PB和直線l分別交于A,B兩點.求證:三條直線PA,PB,l共面.證明:如圖所示,∵PA∩PB=P,∴過PA,PB確定一個平面α.∴A∈α,B∈α.∵A∈l,B∈l,∴l(xiāng)?α.∴PA,PB,l共面.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測證明多點共線問題例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點共線.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測證明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知:點P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P,Q,R三點共線.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

證明點線共面的常用方法(1)歸一法:先由部分元素確定一個平面,再證其余元素也在這個平面內(nèi),其中第一步要應用基本事實1,第二步要應用基本事實2.(2)重合法:應用基本事實2,先由部分元素分別確定平面,然后應用基本事實1證明這幾個平面重合.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練

3

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,體對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC,BD交于點M.求證:C1,O,M三點共線.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測證明:由AA1∥CC1,則AA1與CC1確定一個平面ACC1A1.∵A1C?平面ACC1A1,而O∈A1C,∴O∈平面ACC1A1.又A1C∩平面BC1D=O,∴O∈平面BC1D.∴O點在平面BC1D與平面ACC1A1的交線上.又AC∩BD=M,∴M∈平面BC1D且M∈平面ACC1A1.又C1∈平面BC1D且C1∈平面ACC1A1,∴平面ACC1A1∩平面BC1D=C1M,∴O∈C1M,即C1,O,M三點共線.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測證明三線共點問題例4如圖,在四面體ABCD中,E,G分別為BC,AB的中點,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求證:EF,GH,BD交于一點.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測證明:如圖可知,平面ABD∩平面BCD=BD.所以FH∥GE且GH,EF交于點O.因為GH?平面ABD,O∈GH.所以O(shè)∈平面ABD.因為EF?平面BCD,O∈EF,所以O(shè)∈平面BCD.所以O(shè)∈BD.所以EF,GH,BD交于一點.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

證明三線共點的常用方法先說明兩條直線共面且交于一點,再說明這個點在兩個平面內(nèi).于是該點在這兩個平面的交線上,從而得到三線共點.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

(1)例4中將證明EF,GH,BD交于一點改為判斷E,F,G,H四點是否共面并證明.(2)例4中如果將條件改為在AB,BC,CD,DA上分別取點G,E,F,H并且滿足GH與EF相交于一點O,結(jié)論如何?探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測故GE∥HF且GE≠HF,所以E,F,G,H四點共面且組成梯形.(2)EF,GH,BD交于點O.證明:因為GH與EF相交于一點O,GH在平面ABD內(nèi),EF在平面BCD內(nèi),所以O(shè)在兩平面的交線上,而平面ABD與平面BCD交于直線BD,所以O(shè)在BD上,即EF,GH,BD交于點O.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測交線問題例5如圖所示,G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長線上一點,E,F是棱AB,BC的中點.試分別畫出過下列點、直線的平面與正方體表面的交線.(1)過點G及直線AC;(2)過三點E,F,D1.分析找出兩個平面的兩個公共點,則過這兩個公共點的直線為兩平面的交線.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)畫法:連接GA交A1D1于點M;連接GC交C1D1于點N;連接MN,AC,則MA,CN,MN,AC為所求平面與正方體表面的交線.如圖①所示.(2)畫法:連接EF交DC的延長線于點P,交DA的延長線于點Q;連接D1P交CC1于點M,連接D1Q交AA1于點N;連接MF,NE,則D1M,MF,FE,EN,ND1為所求平面與正方體表面的交線.如圖②所示.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

(1)畫兩平面的交線時,關(guān)鍵是找到這兩個平面的兩個公共點,這兩個公共點的連線即是.在找公共點的過程中往往要借助于基本事實2和基本事實3.(2)還要注意:①在平面幾何中,凡是所引的輔助線都要畫成虛線.②在立體幾何中,被遮擋的部分畫成虛線,沒被遮擋的部分則畫成實線.在學習時,一定要正確添加輔助線,否則將影響空間立體感的形成,不利于空間想象力的培養(yǎng).探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測分類討論思想的應用典例三個平面將空間分成幾部分?請畫出圖形.分析平面具有無限延展性,任一平面都將空間分為兩部分.可先對兩個平面在空間中的位置分類討論,再讓第三個平面以不同的情況介入,分類解決.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)當平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)時,將空間分成4部分,如圖①所示.①

探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測(2)當平面α與平面β平行,平面γ與它們相交(即α∥β,γ與其相交)時,將空間分成6部分,如圖②所示.②

(3)當平面α、平面β、平面γ都相交,且三條交線重合時,將空間分成6部分,如圖③所示.③

探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測(4)當平面α、平面β、平面γ都相交,且三條交線共點,但互不重合時,將空間分成8部分,如圖④所示.④

探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測(5)當平面α、平面β、平面γ兩兩相交,且三條交線平行時,將空間分成7部分,如圖⑤所示.⑤

探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測1.下面是一些命題的敘述語(A,B表示點,a表示直線,α,β表示平面):①∵A∈α,B∈α,∴AB∈α;②∵A∈α,A∈β,∴α∩β=A;③∵A?α,a?α,∴A?a;④∵A∈a,a?α,∴A?α.其中命題和敘述方法都正確的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案:B解析:③正確.①錯,其中的AB∈α應為AB?α.②錯,其中α,β應該交于一條過A點的直線.④錯,因為點A可能是直線a與平面α的交點.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當堂檢測2.(2020陜西綏德中學高一期末)下列說法錯誤的是(

)A.平面α與平面β相交,它們只有有限個公共點B.經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面C.經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面D.如果兩個平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合答案:A解析:對于A,平面與平面相交成一條直線,因此它們有無數(shù)個公共點,A錯誤;對于B,直線和直線外一點確定一個平面,B正確;對于C,兩條相交直線確定一個平面,C正確;對于D,不共線的三點確定一個平面,D正確.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成