優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊103復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算

*10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.知道復(fù)數(shù)的模和輻角的定義.2.會(huì)求復(fù)數(shù)的模和輻角主值.3.能求出復(fù)數(shù)的三角形式.4.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1.如圖①,角θ的終邊上一點(diǎn)P(x,y),設(shè)P到原點(diǎn)O的距離|OP|=r,那么怎樣用角θ和r表示x,y?圖①

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥圖②

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一:復(fù)數(shù)的三角形式由下圖可以看出,對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi,有所以z=a+bi=(rcosθ)+(rsinθ)i=r(cosθ+isinθ).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一般地,任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是復(fù)數(shù)z的模,θ是復(fù)數(shù)z的輻角.r(cosθ+isinθ)叫做非零復(fù)數(shù)z=a+bi的三角形式,為了與三角形式區(qū)分開來,a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個(gè),而且任意兩個(gè)輻角之間都相差2π的整數(shù)倍.特別地,在[0,2π)內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值,記作argz,即0≤argz<2π.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2答案:BCD激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)3已知復(fù)數(shù):其中,是三角形式的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥答案:A解析:①中,不滿足模r≥0;②中,滿足復(fù)數(shù)三角形式的特征;③中,不滿足同一個(gè)角θ;④中,不滿足i與sin

θ相乘;⑤中,不滿足cos

θ與isin

θ之間用加號(hào)連接.綜上可知,只有②是復(fù)數(shù)的三角形式.故選A.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)二:復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化1.復(fù)數(shù)的三角形式z=r(cosθ+isinθ)化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),只要計(jì)算出三角函數(shù)值(應(yīng)用a=rcosθ,b=rsinθ)即可.2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R)化為復(fù)數(shù)的三角形式一般步驟:(3)寫出復(fù)數(shù)的三角形式.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥3.每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角主值,并且由它的模與輻角主值唯一確定.因此,兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角主值分別相等,即z1=z2?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

復(fù)數(shù)三角形式的判斷依據(jù)和變形步驟1.依據(jù):三角形式的結(jié)構(gòu)特征“模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連”.2.步驟:首先確定復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限,其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱,最后確定輻角.可簡記為“定點(diǎn)→定名→定角”.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考1把一個(gè)復(fù)數(shù)表示成三角形式時(shí),輻角θ一定要取主值嗎?微思考2每一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一的模與輻角主值嗎?提示:

不一定,復(fù)數(shù)0的輻角主值有無數(shù)個(gè),每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)才有唯一的模與輻角主值.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1兩個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2的模與輻角分別相等,是z1=z2成立的(

)

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件答案:A解析:當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2的模與輻角分別相等時(shí),一定可以推出z1=z2,充分性成立;但當(dāng)z1=z2時(shí),不一定非要z1,z2的輻角相等,它們可以相差2π的整數(shù)倍,故必要性不成立.綜上,兩個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2的模與輻角分別相等,是z1=z2成立的充分不必要條件.故選A.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式:激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)三:復(fù)數(shù)三角形式的乘法及運(yùn)算律1.復(fù)數(shù)三角形式的乘法若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].這就是說,兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.簡單地說,兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為:模數(shù)相乘,輻角相加.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥3.復(fù)數(shù)的三角形式乘法法則有如下推論(1)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘,結(jié)論亦成立,即z1z2…zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)…rn(cosθn+isinθn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)當(dāng)z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ時(shí),zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則,即:模數(shù)乘方,輻角n倍.(3)在復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則中,當(dāng)r=1時(shí),則有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ.這個(gè)公式叫做棣莫弗公式.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考1使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算的條件是什么,輻角要求一定是主值嗎?提示:使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算的條件是復(fù)數(shù)必須是三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式,輻角不要求一定是主值.微思考2兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)嗎?任意多個(gè)復(fù)數(shù)的積呢?提示:

兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù),可推廣到任意多個(gè)復(fù)數(shù),任意多個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)計(jì)算下列各式,并把結(jié)果化為代數(shù)形式.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)四:復(fù)數(shù)三角形式的除法及運(yùn)算律1.復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),這就是說,兩個(gè)復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.簡單地說,兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式相除的法則為:模數(shù)相除,輻角相減.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的幾何意義

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1計(jì)算下列各式:激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)的模與輻角

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)A

(2)C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化例2將下列復(fù)數(shù)化為三角形式:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練

2將下列復(fù)數(shù)化為三角形式:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算及其幾何意義

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)B

(2)C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的綜合應(yīng)用

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)代數(shù)形式與三角形式轉(zhuǎn)化出錯(cuò)典例下列復(fù)數(shù)的形式是不是三角形式,若不是,化為三角形式:(1)z1=-2(cosθ+isinθ);(2)z2=cosθ-isinθ;(3)z3=-sinθ+icosθ;(4)z4=-sinθ-icosθ;(5)z5=cos60°+isin30°.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)由“模非負(fù)”知不是三角形式.z1=2(-cos

θ-isin

θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)].(2)由“加號(hào)連”知不是三角形式.z2=cos

θ-isin

θ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cos

θ-isin

θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ).(3)由“余弦前”知不是三角形式.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點(diǎn)睛1.復(fù)數(shù)的三角形式要符合z=r(cos

θ+isin

θ)(r>0).2.如果不符合即利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為三角形式.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.8i÷[2(cos45°+isin45°)]=

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