中考數學 專題三 方案設計問題

專題三方案設計問題考點一:方程不等式型方案設計方程、不等式型方案設計常見的兩種類型1.方程(組)型方案設計:根據題意,列出方程(組),通過求其整數解,確定設計方案.2.方程、不等式綜合型方案設計:根據題意,列出方程及不等式(組),通過解方程、不等式,求出其整數解,確定設計方案.【例1】(2015·涼山州中考)2015年5月6日,涼山州政府在邛?！翱樟小表椖靠疾熳剷吓c多方達成初步合作意向,決定共同出資60.8億元,建設40千米的環(huán)邛?？罩辛熊?這將是國內第一條空中列車.據計算,將有24千米的“空列”軌道建設在水上,其余建設在陸地上,并且每千米水上建設費用比陸地建設費用多0.2億元.(1)求每千米“空列”軌道的水上建設費用和陸地建設費用各需多少億元?(2)設計在某段“空列”軌道的建設中,每天至少需要運送沙石1600m3,施工方準備租用大、小兩種運輸車共十輛.已知每輛大車每天運送沙石200m3,每輛小車每天運送沙石120m3,大、小車每天每輛租車費用分別是1000元,700元,且要求每天租車的總費用不得超過9300元,問施工方有幾種租車方案?哪種租車方案費用最低,最低費用是多少?【解題指南】1.信息獲得:(1)共建設40千米的環(huán)邛海空中列車,其中24千米在水上,16千米在陸地上.(2)每千米水上建設費用-每千米陸地建設費用=0.2億元,費用總計60.8億元.(3)大、小車輛運送沙石數量及費用情況:(4)每天至少運送沙石1600m3,每天租車總費用不超過9300元.運沙石體積(m3)費用(元/輛)大車2001000小車1207002.信息分析:(1)根據等量關系“水上建設總費用+陸地建設總費用=60.8”列方程分別求得每千米“空列”軌道的水上建設費用和陸地建設費用.(2)根據不等式關系“每天運送沙石數量≥1600,每天租車總費用≤9300”列不等式組,求得租用大車、小車的方案.【自主解答】(1)設每千米“空列”軌道的陸地建設費用為x億元,則每千米水上建設費用為(x+0.2)億元,根據題意得:24(x+0.2)+(40-24)x=60.8,24x+4.8+16x=60.8,40x=56,x=1.4,∴1.4+0.2=1.6(億元),∴每千米“空列”軌道的水上和陸地建設費用分別為1.6億元,1.4億元.(2)設施工方準備租用小車a輛,則租用大車(10-a)輛,根據題意得:∴≤a≤5,∵a為整數,∴a=3,4,5租車方案如下:方案小車大車方案一3輛7輛方案二4輛6輛方案三5輛5輛方案一的費用為:3×700+7×1000=9100(元)方案二的費用為:4×700+6×1000=8800(元)方案三的費用為:5×700+5×1000=8500(元)∴應選方案三,即租用小車5輛,大車5輛時費用最低,最低費用為8500元.【特別提醒】(1)列方程解應用題一般有設未知數、根據等量關系列出方程、解列出的方程、寫答案這四個步驟.(2)建立不等式組解決實際問題的一般步驟是:①分析題目中的不等關系,列出不等式組.②求得不等式組的解集,再結合實際問題取解,即可得到設計方案.【變式訓練】1.(2015·東營中考)東營市出租車的收費標準是:起步價8元(即行駛距離不超過3千米都需付8元車費),超過3千米以后,每增加1千米,加收1.5元(不足1千米按1千米計).某人從甲地到乙地經過的路程是x千米,出租車費為15.5元,那么x的最大值是(

)A.11 B.8 C.7 D.5【解析】選B.依題意得8+1.5(x-3)≤15.5,解得:x≤8.即他乘此出租車從甲地到乙地行駛路程不超過8千米.2.(2015·寧波中考)寧波火車站北廣場將于2015年底投入使用,計劃在廣場內種植A,B兩種花木共6600棵,若A花木數量是B花木數量的2倍少600棵.(1)A,B兩種花木的數量分別是多少棵?(2)如果園林處安排26人同時種植這兩種花木,每人每天能種植A花木60棵或B花木40棵,應分別安排多少人種植A花木和B花木,才能確保同時完成各自的任務?【解析】(1)設B種花木的數量是x棵,則A種花木的數量是(2x-600)棵.根據題意,得x+(2x-600)=6600,解得x=2400,2x-600=4200.答:A種花木的數量是4200棵,B種花木的數量是2400棵.(2)設安排y人種植A花木,則安排(26-y)人種植B花木.根據題意,得

解得y=14.經檢驗,y=14是原方程的根,且符合題意.26-y=12.答:安排14人種植A花木,安排12人種植B花木,才能確保同時完成各自的任務.考點二:函數型方案設計函數型方案設計常見的三種類型1.根據一次函數性質確定最優(yōu)方案:首先根據題意,列出兩個變量的一次函數解析式;再根據題意,列出不等式組,利用一次函數的增減性確定有最大值(或最小值)的方案.2.列出兩個函數解析式,確定最優(yōu)方案:根據題意(或函數圖象),列出兩個函數解析式,通過求方程(組)的解,確定最佳方案.3.比較函數值,確定最優(yōu)方案:根據題意,列出兩個一次函數解析式,通過比較函數值的大小確定最優(yōu)方案.【例2】(2015·陜西中考)胡老師計劃組織朋友暑假去革命圣地延安兩日游,經了解,現(xiàn)有甲、乙兩家旅行社比較合適,報價均為每人640元,且提供的服務完全相同,針對組團兩日游的游客,甲旅行社表示,每人都按八五折收費;乙旅行社表示,若人數不超過20人,每人都按九折收費,超過20人,則超出部分每人按七五折收費,假設組團參加甲、乙兩家旅行社兩日游的人數均為x人.(1)請分別寫出甲、乙兩家旅行社收取組團兩日游的總費用y(元)與x(人)之間的函數關系式.(2)若胡老師組團參加兩日游的人數共有32人,請你計算,在甲、乙兩家旅行社中,幫助胡老師選擇收取總費用較少的一家.【解題探究】1.信息獲取:(1)甲旅行社:每人八五折收費.(2)乙旅行社:不超過20人,每人九折收費,超過20人,超出部分每人七五折收費.2.信息分析:(1)甲旅行社費用=報價×0.85×人數(2)乙旅行社費用=報價×0.9×人數(0≤x≤20)乙旅行社費用=報價×0.9×20+報價×0.75×(人數-20)(x>20)【自主解答】(1)甲旅行社的總費用:y甲=640×0.85x=544x;乙旅行社的總費用:當0≤x≤20時,y乙=640×0.9x=576x;當x>20時,y乙=640×0.9×20+640×0.75(x-20)=480x+1920.(2)當x=32時,y甲=544×32=17408(元),y乙=480×32+1920=17280(元),因為y甲>y乙,所以胡老師選擇乙旅行社.【變式訓練】1.(2015·南京中考)某企業(yè)生產并銷售某種產品,假設銷售量與產量相等.圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1(單位:元)、銷售價y2(單位:元)與產量x(單位:kg)之間的函數關系.(1)請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義.(2)求線段AB所表示的y與x之間的函數表達式.(3)當該產品產量為多少時,獲得的利潤最大?最大利潤是多少?【解析】(1)點D的橫坐標、縱坐標的實際意義:當產量為130kg時,該產品每千克生產成本與銷售價相等,都為42元.(2)設線段AB所表示的y與x之間的函數關系式為y=k1x+b1.∵y=k1x+b1的圖象過點(0,60)與(90,42),∴這個一次函數的表達式為y=-0.2x+60(0≤x≤90).(3)設y2與x之間的函數關系式為y2=k2x+b2,∵經過點(0,120)與(130,42),

∴這個一次函數的表達式為y2=-0.6x+120(0≤x≤130),設產量為xkg時,獲得的利潤為W元,當0≤x≤90時,W=x[(-0.6x+120)-(-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250,∴當x=75kg時,W的值最大,最大值為2250元;當90≤x≤130時,W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(x-65)2+2535,∴當x=90kg時,W=-0.6(90-65)2+2535=2160元,由-0.6<0知,當x>65時,W隨x的增大而減小,∴90≤x≤130時,W≤2160,因此當該產品產量為75kg時,獲得的利潤最大,最大值為2250元.2.(2015·綿陽中考)南海地質勘探隊在南沙群島的一小島上發(fā)現(xiàn)很有價值的A,B兩種礦石,A礦石大約565噸、B礦石大約500噸,上報公司,要一次性將兩種礦石運往冶煉廠,需要不同型號的甲、乙兩種貨船共30艘,甲貨船每艘運費1000元,乙貨船每艘運費1200元.(1)設運送這些礦石的總運費為y元,若使用甲貨船x艘,請寫出y和x之間的函數關系式.(2)如果甲貨船最多可裝A礦石20噸和B礦石15噸,乙貨船最多可裝A礦石15噸和B礦石25噸,裝礦石時按此要求安排甲、乙兩種貨船,共有幾種安排方案?哪種安排方案運費最低并求出最低運費.【解析】(1)y=1000x+1200(30-x)=-200x+36000.(2)設需要甲種貨船x艘,乙種貨船(30-x)艘,得化簡得∴23≤x≤25.因為x為整數,所以x=23,24,25.方案一:甲貨船23艘、乙貨船7艘,運費y=1000×23+1200×7=31400元;方案二:甲貨船24艘、乙貨船6艘,運費y=1000×24+1200×6=31200元;方案三:甲貨船25艘、乙貨船5艘,運費y=1000×25+1200×5=31000元.經分析得方案三運費最低為31000元.【總結歸納】解決函數型最優(yōu)方案設計問題策略(1)構建一次函數模型.(2)依據實際意義確定自變量的取值范圍.(3)由一次函數的增減性解決實際問題取最值時的方案.(4)通過運用數學模型,可使實際問題的求解過程變得簡單.將現(xiàn)實生活中的事件與數學建模聯(lián)系起來,把實際問題轉化為數學問題.另外要注意,同實際相聯(lián)系的題目,需考慮字母的實際意義,從而確定具體的取值.再進行比較.考點三:幾何圖形型方案設計幾何圖形型方案設計問題常見的兩種類型1.幾何圖形分割與拼接方案設計:把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形,這是圖形的分割.反過來,按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形,這是圖形的拼接.在圖形的分割、拼接過程中,都要結合所提供的圖形特點來思考.2.圖案設計方案:以某一個圖案為基礎,利用中心對稱、軸對稱的性質設計優(yōu)美圖案.由于思考的角度不同,審美觀各異,設計出的圖案是不唯一的.【例3】(2014·淄博中考)如圖,在正方形網格中有一邊長為4的平行四邊形ABCD,請將其剪拼成一個有一邊長為6的矩形.(要求:在圖中畫出裁剪線即可).【解題指南】此題是以幾何圖形的分割與拼接為載體的方案設計題.1.信息獲取:(1)?ABCD的一邊AB長為4,高為6.(2)剪拼成的矩形一邊長為6.2.信息分析:(1)剪拼前的平行四邊形與剪拼后的矩形面積相等,即面積都等于24.(2)矩形的另一邊長為4.【自主解答】∵平行四邊形的一邊長AB=4,高為6,∴平行四邊形ABCD的面積是24.拼剪成的矩形一邊長是6,因此另一邊長是4.平行四邊形ABCD的AB邊上的高是6.方法一:過AD邊的中點向AB作垂線段,過BC邊的中點向CD作垂線段.拼圖方法如圖所示:方法二:過點E向AB作垂線段,過點F向CD作垂線段.方法三:過點E向DF作垂線段,如圖所示.故答案為:(答案不唯一)【特別提醒】(1)拼接出的矩形一定要與要求相符合,即有邊長的要求,也有面積的要求.(2)網格中的作圖,要充分利用網格中的直角、小正方形中的邊長,全等的直角三角形.(3)幾何圖形的方案設計,答案往往不唯一,只要給出符合要求的其中之一即可.【變式訓練】1.(2015·南京中考)如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,請畫出以A為一個頂點,另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上,且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要畫出示意圖,并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數字3)【解析】滿足條件的所有等腰三角形如圖所示.2.(2015·紹興中考)某校規(guī)劃在一塊長AD為18m,寬AB為13m的長方形場地ABCD上,設計分別與AD,AB平行的橫向通道和縱向通道,其余部分鋪上草皮.(1)如圖1,若設計三條通道,一條橫向,兩條縱向,且它們的寬度相等,其余六塊草坪相同,其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN=8∶9,問通道的寬是多少?(2)為了建造花壇,要修改(1)中的方案,如圖2,將三條通道改為兩條通道,縱向的寬度改為橫向寬度的2倍,其余四塊草坪相同,且每一塊草坪均有一邊長為8m,這樣能在這些草坪建造花壇.如圖3,在草坪RPCQ中,已知RE⊥PQ于點E,CF⊥PQ于點F,求花壇RECF的面積.【解析】(1)設通道的寬為xm,AM=8ym.∵AM∶AN=8∶9,∴AN=9ym,∴通道的寬應設計為1m.(2)∵四塊相同草坪中的每一塊,有一條邊長為8m,若RP=8,則AB>13,不合題意,∴RQ=8,∴縱向通道的寬為2m,橫向通道的寬為1m,∴RP=6.∵RE⊥PQ,四邊形RPCQ是長方形,∴PQ=10,∴RE·PQ=PR·QR=6×8,∴RE=4.8.∵RP2=RE2+PE2,∴PE=3.6,同理可得QF=3.6,∴EF=2.8,∴S四邊形RECF=4.8×2.8=13.44,即花壇RECF的面積為13.44m2.考點四:測量方案型方案設計測量方案型設計問題常見的三種類型1.測量物體高度方案設計:理解俯角、仰角的定義,分析圖形:根據題意構造直角三角形.并結合圖形利用三角函數,應用解直角三角形的關系解決問題.2.測量物體寬度方案設計:理解方向角或方位角,由題意構建直角三角形,運用三角函數解直角三角形.3.測量物體深度方案設計:根據題意作出輔助線,構造出相似三角形(或直角三角形),運用相似三角形性質(或三角函數)解答實際問題.【例4】(2014·紹興中考)九(1)班同學在上學期的社會實踐活動中,對學校旁邊的山坡護墻和旗桿進行了測量.(1)如圖1,第一小組用一根木條CD斜靠在護墻上,使得DB與CB的長度相等,如果測量得到∠CDB=38°,求護墻與地面的傾斜角α的度數.(2)如圖2,第二小組用皮尺量得EF為16米(E為護墻上的端點),EF的中點離地面FB的高度為1.9米,請你求出E點離地面FB的高度.(3)如圖3,第三小組利用第一、二小組的結果,來測量護墻上旗桿的高度,在點P測得旗桿頂端A的仰角為45°,向前走4米到達Q點,測得A的仰角為60°,求旗桿AE的高度(精確到0.1米).(備用數據:tan60°≈1.732,tan30°≈0.577,≈1.732,≈1.414)【解題指南】此題為以測量物體高度為載體的測量方案型方案設計問題.1.信息獲取:(1)圖1中DB=CB,∠CDB=38°,(2)圖2中EF=16米,EF的中點到地面的距離為1.9米,(3)圖3中∠AQB=60°,∠APB=45°,PQ=4米.2.信息分析:(1)利用“等邊對等角”及三角形外角性質即可求解.(2)畫出符合題意的圖形后,容易想到利用三角形的中位線的判斷及性質進行解答.(3)構造直角三角形APG,利用正切三角函數,將PG,QG用AG的代數式來表示,再由PQ=4米,列方程求得AG的長,最后利用(2)的結果即可求得旗桿的高度.【自主解答】(1)α=76°.(2)過點E作EG⊥FB,垂足為G,過EF的中點O作OH⊥FB,垂足為H,如圖甲.∵OH=1.9,∴EG=2OH=3.8,∴E點離地面FB的高度為3.8米.(3)延長AE交直線PB于G,如圖乙,設AG=x,在Rt△QAG中,tan∠AQG=,得QG=x,在Rt△PAG中,tan∠APG=,得PG=x,∵PQ+QG=PG,∴4+x=x,解得x≈9.46,∴AE≈5.7,∴旗桿AE的高度是5.7米.【特別提醒】1.針對實際問題建立幾何模型，分析出題目中的各種邊或角的大小及位置關系.2.利用三角函數、相似三角形、勾股定理等知識求出結論.【變式訓練】1.(2015·義烏中考)如圖,從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點P的仰角是45°,向前走6米到達B點,測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°.(1)求∠BPQ的度數.(2)求該電線桿PQ的高度(結果精確到1米).備用數據:≈1.7,≈1.4.【解析】(1)如圖,延長PQ交直線AB于點H,則PQ⊥AB.在Rt△BPH中,∵∠BHP=90°,∠PBH=60°,∴∠BPQ=30°.(2)設BH的長為x米.在Rt△BPH中,∵∠PBH=60°,∴PH=BHtan60°=x.在Rt△APH中,∵∠PAH=45°,∴AH=PH=x.∵AB=6,∴AH-BH=6.即x-x=6.解得:x=∴在Rt△BQH中,

在△BPQ中,∵∠BPQ=∠PBQ=30°,∴PQ=BQ≈10(米).2.(2015·河南中考)如圖所示,某數學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度,他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處,在A處測得大樹頂端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大樹的高度.(結果保留整數,參考數據:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73)【解析】延長BD交AE于G,作DH⊥AE于H,由題意知:∠BGA=∠DAE=30°,DA=6,∴GD=DA=6,∴GH=AH=6×cos30°=3,∴GA=6,設BC長為x米,GC=x米,在Rt△ABC中,AC=,GC-AC=GA,∴即1.73x-=10.38,x≈13,∴大樹的高度約是13米.【方法技巧】(1)仰角和俯角是指視線相對于水平線而言的,不同位置的仰角和俯角是不同的;可巧記為“上仰下俯”.(2)仰角和俯角問題是解直角三角形中的常見題型,作輔助線構造直角三角形(一般同時得到兩個直角三角形)并解之,是解這類問題的常用方法.(3)在多個直角三角形中一定要認真分析各條線段之間的關系(包括三角函數關系、相等關系),運用方程求解,有時可起到事半功倍之效.【備選習題】1.(2014·濱州中考)王芳同學到文具店購買中性筆和筆記本.中性筆每支0.8元,筆記本每本1.2元,王芳帶了10元錢,則可供她選擇的購買方案的個數為(兩樣都買,余下的錢少于0.8元)

(

)A.6

B.7

C.8

D.9【解析】選B.設王芳購買中性筆x支,筆記本y本,根據題意,得0.8x+1.2y≤10.如果只買筆記本的話,最多買8本,∴y≤8.當y=8時,10-1.2×8=0.4<0.8,不夠買中性筆的,又∵要求兩樣都買,∴y取得值可以是7,6,5,4,3,2,1.列表如下:通過表格可以看出,供她選擇的方案有7種.y7654321x23568911剩余的錢數00.400.400.402.(2014·嘉興中考)某汽車專賣店銷售A,B兩種型號的新能源汽車,上周售出1輛A型車和3輛B型車,銷售額為96萬元;本周已售2輛A型車和1輛B型車,銷售額為62萬元.(1)求每輛A型車和B型車的售價各是多少萬元.(2)甲公司擬向該店購買A,B兩種型號的新能源汽車共6輛,購車費不少于130萬元,且不超過140萬元,求有哪幾種購車方案?【解析】(1)設每輛A型車的售價為x萬元,每輛B型車的售價為y萬元.根據題意,得答:每輛A型車的售價為18萬元,每輛B型車的售價為26萬元.(2)設購買A型車a輛,則購買B型車(6-a)輛.根據題意,得∵a是正整數,∴a=2或a=3.∴共有兩種方案.方案一:購買2輛A型車和4輛B型車.方案二:購買3輛A型車和3輛B型車.3.(2014·福州中考)現(xiàn)有A,B兩種商品,買2件A商品和1件B商品用了90元,買3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B兩種商品每件各是多少元?(2)如果小亮準備購買A,B兩種商品共10件,總費用不超過350元,且不低于300元,問有幾種購買方案,哪種方案費用最低?【解析】(1)設A種商品每件x元,B種商品每件y元,根據題意,得:答:A種商品每件20元,則B種商品每件50元.(2)設小亮準備購買A種商品m件,則購買B種商品(10-m)件.由題意得:根據題意,m的值應為整數,所以m=5或m=6.方案一:當m=5時,購買費用為20×5+50×(10-5)=350元;方案二:當m=6時,購買費用為20×6+50×(10-6)=320元.∵350>320,∴購買A商品6件,B商品4件的費用最低.答:有兩種購買方案,方案一:購買A商品5件,B商品5件;方案二:購買A商品6件,B商品4件.其中方案二費用最低.4.(2014·煙臺中考)山地自行車越來越受到中學生的喜愛,各種品牌相繼投放市場,某車行經營的A型車去年銷售總額為5萬元,今年每輛售價比去年降低400元,若賣出的數量相同,銷售總額將比去年減少20%.(1)今年A型車每輛售價多少元?(用列方程的方法解答)(2)該車行計劃新進一批A型車和新款B型車共60輛,且B型車的進貨數量不超過A型車數量的兩倍,應如何進貨才能使這批車獲利最多?A,B兩種型號車的進貨和銷售價格如表:A型車B型車進貨價格(元)11001400銷售價格(元)今年的銷售價格2000【解析】(1)設今年A型車每輛售價x元,則去年每輛售價(x+400)元,根據題意,得

解得:x=1600.經檢驗,x=1600是所列方程的根.答:今年A型車每輛售價為1600元.(2)設車行新進A型車a輛,則B型車為(60-a)輛,獲利潤y元.由題意,得y=(1600-1100)a+(2000-1400)(60-a),即y=-100a+36000.∵B型車的進貨數量不超過A型車數量的2