初中九年級數(shù)學競賽培優(yōu)講義專題13旋轉變換-答案

專題13旋轉變換例1如圖，連結OB1，OB2，B1B2，則OB1＝OB2，∠OB1B2＝∠OB2B1.又∠OB1C＝30°＝∠OB2C，∴∠CB1B2＝∠CB2B1，故CB1＝CB2.同理，B2D＝DC1.設CB1＝x，則CB2＝x，CD＝3x，DC1＝DB2＝2x，于是x＋3x＋2x＝1x1，故S六邊形ABCDEF＝SA2B2C2－3SB2CD＝331x3x333x233.33424244例2∵N，M分別為線段AB，CB的中點，∴MN＝1AC.同理MQ＝1BD，PQ＝1AC，PN＝1BD.∵AC＝BD，2222MN＝MQ＝PQ＝PN，∴四邊形NMQP為菱形.∵MN∥AC，MQ∥BD，∴AC⊥BD，∴∠NMQ＝90°，∴菱形NMQP為正方形.例3APM≌APC，＝AP，APB＝APC，PC＝PB.連結PP，由AP＝AP得APAPP＝APP，而APB＜APC，即APC＜APC，∴PPC＜PPC，于是PC＞PC，即PB＞PC.例4（1）60°45°（2）90°－1（3）∠AFB＝90°－1∠AFB＝90°＋1對∠AFB＝22290°－1證明以下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，得∠ACB＝∠ECD，BCAC，2DCECBCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE.∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝180BAC1.22例5∵EBE＝ABC＝2DEB，∴EBD＝EBD.連結DE.∵＝BD，＝EBD，BDEBDBE＝BE，∴EBD≌EBD，得ED＝ED＝CD＝CE，∴CDE為正三角形，DCE＝60°，又BC＝CD＝CE’，則EBD＝1DCE＝°∴ABC＝EBE＝2EBD＝60.230.例6將△ABE繞B點逆時針旋轉60°，得△FBG，連結GE，F(xiàn)C，則△BEG為等邊三角形，GE＝BE，∴FCFG＋GE＋EC，即FC≤EA＋EB＋EC，∵FC為定長，∴當E點落在FC上時，F(xiàn)C＝EA＋EB＋EC為最小值.∵∠FBC＝150°，F(xiàn)B＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝15°，而∠GEB＝60°，∴∠EBC＝45°，即E在正方形ABCD1的對角線BD上.作FH⊥BC交CB延伸線于H，設BC＝x，則FB＝x，F(xiàn)H＝x，HB＝3x，在Rt△FHC中，22由2x232()(xx)222.，得x＝22或x＝－（舍去），即正方形的邊長為例6題圖A級1.1或52.6150°或1205.2-3提示:如圖,過B'作MN//AD，分別AB,CD于M,N,點B’C’交CD于K，則B’M=AB’sin60°=3,B’N=1-3,AM=1,Rt△AKB≌Rt△AKD,∠KAB’=∠KAD=15°,222ADB’=75°,△ADK∽△DNB’,DKAD,DK=2-3,重疊部分面積=2S△AKD=211(23)23NB'DN26.過P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可證明四邊形PMGN為正方形,PM=12,S=S122144重疊正方形PMGN5525提示:將△CPA繞點A逆時針旋轉60°到△C’AP’,連結PP’,△APP’為等邊三角形.PB+PP’+P’C=PA+PB+PC＞AB+AC’=AB+AC.10.(1)AE’=BF’.(2)證法許多，如取OE’中點G,連結AG.11.(1)AM=AN,∠MAN=.(2)第(1)問的結論仍建立，原因以下:由△ABE≌△ACF得BE=CF,∠ABM=∠CAN,進一步能夠證明△ABM≌△CAN.B級1.2提示:MN=BM+CN2.B提示:△ACM≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又CN=CN,則△2224.33提示:將△ADF'繞MNC≌△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又∠DBN=45°+45°=90°,故m+n=x.3.D點A順時針方向旋轉90°,到△ABG.的地點,則△AEF≌△AEG.∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=31,EF=EG=2(31),S△AEF=S△ABG=1EG·AB=3.3225.(1)提示:延伸BC至E,使CE=CD連結DE,證明△ACD≌△BED.(2)將△ABD繞點A旋轉60°到△ACB’,連結B’D,B’P,則四邊形AB’DP切合(1)的條件,于是B’P=PA+PD連結AC,則△ABD≌△ACB’.BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,進而BD≤PA+PD+PC.6.直接解題有困難,△ABC繞點A逆時針旋轉120°,240°拼成正△MBC(如圖),則正△ADE變成正△AD1E1和正△ADE易知,六邊形DEDEDE是正六邊形,△DDD是正三角形,其面積是△ADE面積的3倍..因22112212此,想法由正△MBC面積為150求出△DD1D2的面積,問題就解決了.注意到BD:DC=CD1:D1M=MD2:D2B=2:3,連結DM,則S=1S2SMDDSDCD221△ADE△ABD△ADE31221232SDD1D2=14cm.7.如圖,將BP,BO,BC繞點B沿順時針方向旋轉60°，變成BP'，BO’,BC’連結OO’,PP’,則△BOO’,△BPP’都是正三角形.所以OO’=OB,PP’=PB,明顯△BO’C’≌△BOC,△BP’C≌△BPC,因為∠BO’C=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A,O,O’,C’四點共線.故AP+PP’+P’C≥AC’=AO+OO’+O’C,即PA+PB+PC≥OA+OB+OC.8.(1)提示:延伸DM交EF于1N,由△ADM≌△ENM,得DM=MN,MF=DN,FD=FN,故MD丄MF.(2)延伸DM交CE2于N,連結DF,FN先證明△ADM≌△ENM,再證明△CDF≌△ENF.第(1)問中的結論仍建立.(3)第(1)問中的結論仍建立,延伸DM至N,使MN=DM,連結DF,FN,證法同上.(9)提示:EG=CG,EG丄CG,B,E,D在一條直線上,(2)仍舊建立，延伸EG交CD于H點△FEG≌△DHG,△ECH,△ECG為等腰直角三角形.(3)仍舊建立.10.(1)612＝2(3)如圖1,△OAE≌△DAE,△ABO≌△ABD,B,D,C,三點共線.設D(a,b),則D(,)(2)553(a3)2b232,解得a96,b72,∴D(96,72),可得直線CD的分析式為y7x4.如圖2,同理可a2(4b)242,2525252524得,y7x4.2411.提示:易證∠ACB=90°,如圖，將△APC繞點A順時針旋轉60°,獲得△AQO,點D為AB的中點，連結PQ,獲得△APQ為等邊三角形.過點Q作QE丄AP,垂足為E,則∠AQE=30°,2222QE=3,AE=PE連結DE,則DE=1BP=5，于