大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析匯報

大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析一·行列式計算的典型例題分析：解將第三列乘以-3和-5分別加到第一列、第二列，然后按第一行展開，得再將第三列乘以6加到第一列：按第三行展開，得由以上演算過程可知，對于任意n階行列式D,皆可用行列式性質(zhì)變?yōu)榈戎档膎-1階行2.利用化三角形法計算。計算解：將第二行與第三行都加到第一行上，冉提出公因子(a+b+c),得行，得3.利用升階法。列倍、第5列倍加到第一列上第2列倍、第3列倍、第4得這個結(jié)。這里設(shè)a?≠n(i=1,2,3,4)論可以推廣到n階行列式的情4.利用德蒙公式。例10解方程解將行列式轉(zhuǎn)置便知它是一個4階范德蒙行列式。即=(2-x)(-3-x)(5-x)(-3-2)(5-2(方程的解為x=2,x=-3,x=5)=二.矩陣例5已知求A-'。例5已知取A?=0A?=-1解法(2)初等行變換法其中故例7:求X使XA=B,這里分析：根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，X應(yīng)為3階方陣。若A可逆，則XA=B兩側(cè)同乘A?,即可得解法一：先求4-1注意：這里因為A乘X右側(cè)，因此X=B4~,而不是A^^B。實際上相當于KA=B等式兩邊同時右乘A?!:解法二：XA=B,則X=B4?。A^可以看成一些初等矩陣之積，它們右乘B,相當于對B進行列變換。而這些初等矩陣右乘A,即得I,即對A和B施行同樣的列初等變換，把A變?yōu)镮時，即把B變?yōu)閄=B4-1,因此∴例8:設(shè)求X使AX=2X+B。解法一：AX=2X+B,則(A-2I)X=B若A-2I可逆，則X=(A-2I)-1B先求(A-2I)-',因為為準對角矩陣，則只需求的逆?！?說明：對二階方陣用伴隨陳求逆也很方便)∴∴說明：這里幾個等試證明中用到了以下結(jié)論：(2)(k·B)-1=k-B-1三.向量和線性方程組例7已知α?=(1,2,3),a?=(3,-1,2),a?=(2,3,a),試問(1)當a為何值時α?,αz,α?線性無關(guān)?(2)當a取何值時α?,az,α?線性相關(guān)，并將α?表為α?,αz,的線性組合.解：此題借助于例5,例6分析當k,k?,k,只有零解時，a,α:a,線性無關(guān)；當k,k?A,有非零解時，a,a?,?線性相關(guān)，于是系數(shù)行列式(1)當D=-7(a-5)≠0時，方程組只有零解，因此當a≠5時，α?,α?,α,線性無關(guān).(2)當D=-7(α-5)=0時，方程組有非零解，因此當a=5時，α?,α?,α?線性相關(guān).設(shè)α?=k'α?+k'?α?則(3,2,5)=(k'?+3k'?,2k'-k'z,3k1+2k'?)2β=(1,1,b+3,5)問(1)a,b為何值時，β不能表示成α,α?,α?,α。的線性組合；(2)a,b為何值時，β阿以由α,α,,αx,α.線性表示，且表示法唯一.解：如例6分析，上述問題等價于β=k?a?+k?a?+k?a?+k?α?是否有解，即其中kr;+r;表示矩陣第i行乘以k加到第j行.因此，當a=-1,b=0時，方程組有無窮多解，β阿以表示成α?,α?,α?,α?的線性組合.當a=-1,b=0時，方程組有無窮多解，此時β阿以表示成α,a?,α?,α?的線性組合，但表示法不唯一.當α≠-1時，β可以唯一地表示成方法1.直接用行列式求矩陣的秩，即找出矩陣中最高不為零子式的階數(shù).方法2.利用初等變換來求矩陣的秩.采用方法1與方法2一般根據(jù)矩陣階數(shù)來定，對于較高矩陣利用初等變換較為方便.解方法一：A有一個二階子式而所有包含D的三階子式為因此秩A=2例5.判斷a?=(1,23),α?=(3,2,1),a?=(1,3,1)是否線性相關(guān).分析：研究向量組α?,α?,…,αm的線性相關(guān)的問題，由定義可知，就是考察是否存在m個不全為零的數(shù)k,k?,…,k.,使線性組合.因此，向量組α?,α?,…,α。是否線性相關(guān)，等價于齊次線性方程組(3)是否有非零解，若方程組(3)有非零解，則α?,α?,…,α,線性相關(guān)，若方程組(3)只有零解，則a?,α?…α。線性無關(guān).因此研究向量間是否線性相關(guān)問題，實質(zhì)上就是研究齊次線性方程組(3)有沒有零解問題.解法一設(shè)存在一組數(shù)k,k?,k?,使k,α?+k?α?+k?α?=0,亦即(k?+3k?+k?,2k?+2k?+3k?,3k?+k?+k?)=(0,0,0),系數(shù)矩陣只有零解，故α?α?,α?線性無關(guān).MA=州 例1.求矩陣的特征值和特征向量解(一):∴A的特征值為A?=n?=2,i?=1。對于?=2,方程組(2I-A)X=0,即為000∴解是屬于2的特