概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4講

§1.4條件概率1一,條件概率的概念

先由一個(gè)簡潔的例子引入條件概率的概念

引例一批同型號產(chǎn)品由甲,乙兩廠生產(chǎn),產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如下表:數(shù)量廠別甲廠乙廠合計(jì)等級合格品4756441119次品255681合計(jì)50070012002從這批產(chǎn)品中隨意地取一件,則這件產(chǎn)品為次品的概率為數(shù)量廠別甲廠乙廠合計(jì)等級合格品4756441119次品255681合計(jì)50070012003在已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的條件下,它是次品的概率為數(shù)量廠別甲廠乙廠合計(jì)等級合格品4756441119次品255681合計(jì)50070012004記"取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的"這一事務(wù)為A,"取出的產(chǎn)品為次品"這一事務(wù)為B.

在事務(wù)A發(fā)生的條件下,求事務(wù)B發(fā)生的概率,這就是條件概率,記作P(B|A).

在本例中,我們留意到:5記"取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的"這一事務(wù)為A,"取出的產(chǎn)品為次品"這一事務(wù)為B.數(shù)量廠別甲廠乙廠合計(jì)等級合格品4756441119次品255681合計(jì)50070012006事實(shí)上,簡潔驗(yàn)證,對一般的古典概型,只要P(A)>0,總有7在幾何概型中(以平面區(qū)域情形為例),在平面上的有界區(qū)域S內(nèi)等可能投點(diǎn).若已知A發(fā)生,則B發(fā)生的概率為ASBAB8可見,在古典概型和幾何概型這兩類"等可能"概率模型中總有由這些共性得到啟發(fā),我們在一般的概率模型中引入條件概率的數(shù)學(xué)定義.9二,條件概率的定義

定義1設(shè)A,B是兩個(gè)事務(wù),且P(A)>0,則稱(4.1)為在事務(wù)A發(fā)生的條件下,事務(wù)B的條件概率.相應(yīng)地,把P(B)稱為無條件概率.一般地,P(B|A)P(B).1011例1一袋中裝有10個(gè)球,其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球,先后兩次從袋中各取一球(不放回)

(1)已知第一次取出的是黑球,求其次次取出的仍是黑球的概率;

(2)已知其次次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.12解記Ai為事務(wù)"第i次取到的是黑球"(i=1,2)

(1)在已知A1發(fā)生,即第一次取到的是黑球的條件下,其次次取球就在剩下的2個(gè)黑球,7個(gè)白球共9個(gè)球中任取一個(gè),依據(jù)古典概率計(jì)算,取到黑球的概率為2/9,即有

P(A2|A1)=2/913(2)在已知A2發(fā)生,即其次次取到的是黑球條件下,求第一次取到黑球的概率.但第一次取球發(fā)生在其次次取球之前,故問題的結(jié)構(gòu)不象(1)那么直觀.我們可按定義計(jì)算P(A1|A2).14注:①用維恩圖表達(dá)(4.1)式,若事務(wù)A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必需是即在A中又在B中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.因已知A已發(fā)生,故A成為計(jì)算條件概率P(B|A)新的樣本空間.SABAB15②計(jì)算條件概率有兩種方法:

(a)在樣本空間S中,先求事務(wù)P(AB)和P(A),再按定義計(jì)算P(B|A).

(b)在縮減的樣本空間A中求事務(wù)B的概率,就得到P(B|A).16例2袋中有5個(gè)球,其中3個(gè)紅球2個(gè)白球.現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè).已知第一次取得紅球時(shí),求其次次取得白球的概率.

解設(shè)A表示"第一次取得紅球",B表示"其次次取得白球",求P(B|A).17也可以干脆用古典概型的方法進(jìn)行考慮,因?yàn)榈谝淮稳∽吡艘粋€(gè)紅球,袋中只剩下4個(gè)球,其中有兩個(gè)白球,再從中任取一個(gè),取得白球的概率為2/4,所以1819三,乘法公式

由條件概率的定義立刻得到:

P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)(4.2)

留意到AB=BA,及A,B的對稱性可得到:

P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0)(4.3)

(4.2)和(4.3)式都稱為乘法公式.利用它們可計(jì)算兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率.20例3一袋中裝10個(gè)球,其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球,先后兩次從中隨意各取一球(不放回),求兩次取到的均為黑球的概率.

分析這一概率,我們曾用古典概型方法計(jì)算過,這里我們運(yùn)用乘法公式來計(jì)算.在本例中,問題本身供應(yīng)了兩步完成一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu),這恰恰與乘法公式的形式相應(yīng),合理地利用問題本身的結(jié)構(gòu)來運(yùn)用乘法公式往往是使問題得到簡化的關(guān)鍵.21例3一袋中裝10個(gè)球,其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球,先后兩次從中隨意各取一球(不放回),求兩次取到的均為黑球的概率.

解設(shè)Ai表示事務(wù)"第i次取得黑球"(i=1,2),則A1A2表示事務(wù)"兩次取到的均為黑球".由題設(shè)知:于是依據(jù)乘法公式,有22注:乘法公式(4.2)和(4.3)可以推廣到有限個(gè)事務(wù)積的概率情形:

設(shè)A1,A2,,An為n個(gè)事務(wù),且

P(A1A2An-1)>0,則

P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

P(An|A1A2An-1)(4.4)23例4設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,其次次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.242526其中B(AB)=B,從而27四,全概率公式

全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式.它將計(jì)算一個(gè)困難的概率問題,可化為在不同狀況或不同緣由下發(fā)生的簡潔事務(wù)的概率的求和問題.28定理1設(shè)A1,A2,,An,是一個(gè)完備事務(wù)組,且P(Ai)>0,i=1,2,,則對任一事務(wù)B,有

P(B)=P(A1)P(B|A1)++P(An)P(BAn)+

(4.5)

證明29注:公式指出,在困難狀況下干脆計(jì)算P(B)不易時(shí),可依據(jù)具體狀況構(gòu)造一組完備事務(wù){(diào)Ai},使事務(wù)B發(fā)生的概率是各事務(wù)Ai(i=1,2,)發(fā)生條件下引起事務(wù)B發(fā)生的概率總和.直觀示意圖如下.A1A2A3A3B3031例6假設(shè)經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.依據(jù)閱歷,在利率下調(diào)時(shí),某支股票價(jià)格上漲的概率為80%,而在利率不變時(shí),其價(jià)格上漲的概率為40%,求該支股票價(jià)格上漲的概率.3233例7某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱,乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱,甲廠每箱100個(gè),廢品率為0.06,乙廠每箱裝120個(gè),廢品率為0.05,求:

(1)任取一箱,從中任取一個(gè)為廢品的概率.

(2)若將全部產(chǎn)品開箱混放,求任取一個(gè)為廢品的概率.34解記事務(wù)A,B分別為甲,乙兩廠的產(chǎn)品,C為廢品,則

(1)由全概率公式35由全概率公式36五,貝葉斯公式

利用全概率公式,可通過綜合分析一事務(wù)發(fā)生的不同緣由或狀況及其可能性來求得該事務(wù)發(fā)生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題,即一事務(wù)已經(jīng)發(fā)生,要考察引發(fā)該事務(wù)發(fā)生的各種緣由或狀況的可能性大小.37定理2設(shè)A1,A2,,An,是一完備事務(wù)組,則對任一事務(wù)B,P(B)>0,有上述公式稱為貝葉斯公式.由條件概率的定義及全概率公式即可得證.38注:公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為緣由的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.P(Ai)(i=1,2,)是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事務(wù)B是否發(fā)生)的狀況下諸事務(wù)發(fā)生的概率.當(dāng)獲得新的信息(知道B發(fā)生),人們對諸事務(wù)發(fā)生的概率P(Ai|B)有了新的估計(jì),貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變更.39例8

對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為98%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí),其合格率為55%.每天早上機(jī)器開動時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時(shí),機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?40解設(shè)A為事務(wù)"產(chǎn)品合格",B為事務(wù)"機(jī)器調(diào)整良好",已知所需求的概率為P(B|A).由貝葉斯公式得41這就是說,當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),此時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為0.97.這里,概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,即先驗(yàn)概率,而在得到信息(即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品)之后再重新加以修正的概率0.97即為后驗(yàn)概率.有了后驗(yàn)概率我們就能對機(jī)器的狀況有進(jìn)一步的了解.42例9設(shè)某批產(chǎn)品中,甲,乙,丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%,各廠的次品率分別為4%,%2,5%,現(xiàn)從中任取一件.

(1)求取到的是次品的概率;

(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)覺取到的產(chǎn)品為次品,求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.43解記A1,A2,A3為該產(chǎn)品由甲,乙,丙廠生產(chǎn),B為"該產(chǎn)品是次品".由題設(shè)知:

P(A1)=45%, P(A2)=35%, P(A3)=20%,

P(B|A1)=4%, P(B|A2)=2%, P(B|A3)=5%.

(1)由全概率公式得44解記A1,A2,A3為該產(chǎn)品由甲,乙,丙廠生產(chǎn),B為"該產(chǎn)品是次品".由題設(shè)知:

P(A1)=45%, P(A2)=35%, P(A3)=20%,

P(B|A1)=4%, P(B|A2)=2%, P(B|A3)=5%.

(1)P(B)=3.5%,

(2)由貝葉斯公式得: