振動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

振動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§1簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征2第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程3第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的x-t,v-t,a-t圖4第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量我們以彈簧振子為例來(lái)討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量問題。設(shè)振動(dòng)物體在任一時(shí)刻t的位移為x，速度為v，于是它所具有的動(dòng)能EK和勢(shì)能EP

分別為5第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§2簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：6第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日（2）頻率與圓頻率

7第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日3、相位和初相8第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例題在一輕彈簧下端懸掛m0=100克砝碼時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)8厘米，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛m=250克的物體。將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4厘米并給予向上的21厘米/秒的初速度。選X軸向下，求振動(dòng)的表達(dá)式。9第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例題一個(gè)輕彈簧在60N的拉力作用下可伸長(zhǎng)30cm。現(xiàn)將一物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，他們的總質(zhì)量為4kg。待其靜止后再把物體向下拉10cm，然后無(wú)初速釋放。問（1）此小物體是停在振動(dòng)物體上面還是離開它？（2）若使放在振動(dòng)物體上的小物體與振動(dòng)物體分離，則振幅A須滿足何條件？二者在何位置開始分離？解：10第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法為了直觀地表明簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量的物理意義，可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（1）旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度等于11第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日旋轉(zhuǎn)矢量與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系A(chǔ)諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量t+T振幅初相相位圓頻率諧振動(dòng)周期半徑初始角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度園周運(yùn)動(dòng)周期(4）比較兩個(gè)諧振動(dòng)的相位差Φ2－φ1＝2kπ稱同相Φ2－φ1＝（2k+1）π稱反相π>Φ2－φ1>0稱2超前π>φ1－Φ2>0稱1超前12第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日旋轉(zhuǎn)矢量確定初位相13第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例題：由諧振子能量推出振幅公式。解：結(jié)論：例題：1.A由系統(tǒng)能量決定；2.t=0的含義；3.x0、v0含義。14第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日5、彈簧的串并聯(lián)思考1：等分n段，每段k0=?思考2：n段串聯(lián)，等效k0=?K0=nkK0=k/n15第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例題

一質(zhì)點(diǎn)在X軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=4cm，周期T=2s,其平衡位置取坐標(biāo)原點(diǎn)。若t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)第一次通過x=-2cm處，且向X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)第二次通過x=-2cm處的時(shí)刻為（A）1s（B）（2/3）s（C）（3/4）s（D）2s例題

一長(zhǎng)度為l的倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧分割成l1和l2的兩部分，且l1=nl2則相應(yīng)的倔強(qiáng)系數(shù)k1和k2為16第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§3微振動(dòng)的簡(jiǎn)諧近似1.單擺在角位移很小的時(shí)候，單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。角頻率,振動(dòng)的周期分別為：?jiǎn)螖[結(jié)論當(dāng)時(shí)17第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日2.復(fù)擺（物理擺）為m繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?？偨Y(jié)：復(fù)擺的諧振動(dòng)方程：

當(dāng)時(shí)振動(dòng)的角頻率、周期完全由振動(dòng)系統(tǒng)本身來(lái)決定。

18第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§4平行簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

結(jié)論：仍然是同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)19第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日討論一：合振幅最大。稱為干涉相長(zhǎng)討論二：稱為干涉相消。討論三：一般情況：A1=A2

時(shí)，A=020第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例題三個(gè)諧振動(dòng)方程分別為畫出它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖。并在同一x-t坐標(biāo)上畫出振動(dòng)曲線。寫出合振動(dòng)方程。合振動(dòng)方程X=021第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二、同方向的N個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)它們的振幅相等，初相位依次差一個(gè)恒量。其表達(dá)式為：在OCP中：22第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日所以，合振動(dòng)的表達(dá)式上兩式相除得23第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日討論1：即各分振動(dòng)同相位時(shí)，合振動(dòng)的振幅最大。當(dāng)討論2：這時(shí)各分振動(dòng)矢量依次相接，構(gòu)成閉合的正多邊形，合振動(dòng)的振幅為零。以上討論的多個(gè)分振動(dòng)的合成在說(shuō)明光的干涉和衍射規(guī)律時(shí)有重要的應(yīng)用。當(dāng)且24第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日三、同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成利用：合成振動(dòng)表達(dá)式：當(dāng)都很大，且相差甚微時(shí)，可將視為振幅變化部分，合成振動(dòng)是以為角頻率的諧振動(dòng)。其振幅變化的周期由振幅絕對(duì)值變化來(lái)決定，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱，所以它是近似的諧振動(dòng)。這種合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍。25第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻顯然，拍頻是振動(dòng)的頻率的兩倍。26第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§5垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)振動(dòng)方向相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即上式是個(gè)橢圓方程，具體形狀由相位差決定。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與有關(guān)。當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，橢圓退化為圓。一、同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成27第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日上式的推導(dǎo)：X=A1cos(ωt+φ1)Y=A2cos(ωt+φ2)變換：Y=A2cos(ωt+φ2)=A2cos(ωt+φ1+φ2-φ1)令α=ωt+φ1β=φ2-φ1則有：X=A1cosαY=A2cos(α＋β）得：Y=A2[cosαcosβ-sinαsinβ]改寫為：兩邊平方，利用cosα=X/A128第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日討論1所以是在直線上的振動(dòng)。討論2所以是在直線上的振動(dòng)。29第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日討論3

所以是在X軸半軸長(zhǎng)為，

Y軸半軸長(zhǎng)為的橢圓方程，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。討論4所以是在X軸半軸長(zhǎng)為，

Y軸半軸長(zhǎng)為的橢圓方程，且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。X和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。質(zhì)點(diǎn)的軌道是圓。質(zhì)點(diǎn)的軌道是圓。30第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日討論5則為任一橢圓方程。綜上所述：兩個(gè)頻率相同的互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后，合振動(dòng)在一直線上或者在橢圓上進(jìn)行（直線是退化了的橢圓）。31第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二、垂直方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一般是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌道不是封閉曲線，即合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)是順時(shí)針轉(zhuǎn)；時(shí)是逆時(shí)針轉(zhuǎn)。如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)的軌道是封閉曲線，運(yùn)動(dòng)也具有周期。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為李薩如圖形。P128圖。用李薩如圖形在無(wú)線電技術(shù)中可以測(cè)量頻率：在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)輸入兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形去比較，就可得知另一個(gè)未知的頻率。32第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§6、7阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振一.阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)微分方程令為阻尼因子通解33第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日1.欠阻尼振動(dòng)------阻尼很小通解txo2.過阻尼振動(dòng)------阻尼很大通解不能往復(fù)運(yùn)動(dòng)。如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長(zhǎng)時(shí)間。34第三十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日3.臨界阻尼振動(dòng)通解衰減函數(shù)臨界阻尼達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短，但仍不能超過平衡位置。過阻尼臨界阻尼三種阻尼振動(dòng)比較欠阻尼35第三十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二.受迫振動(dòng)