2023屆高考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)練習(xí)：連續(xù)型隨機(jī)變量（含答案）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練：連續(xù)型隨機(jī)變量

一、選擇題(共15小題)

1X2-4X+4

I.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為f(x)=^e—―,則()

A.g=2,。=3B.4=3,a=2C.g=2,a=y/3D.4=3,<7=V3

2.已知隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(3,O2),且p(xW4)=0.84,則P(2<x<4)=()

A.0.84B.0.68C.0.32D.0.16

3.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4《2),若P(X>m)=0.3,則P(X>8-m)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.與的值有關(guān)

4.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2《2),p(x<4)=0.84,則P(X40)=()

A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84

5.某市進(jìn)行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測(cè)，考試后統(tǒng)計(jì)的所有考生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布.已知數(shù)

學(xué)成績(jī)的平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%,則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至120分之間的考生人

數(shù)所占的百分比約為()

A.10%B.20%C.30%D.40%

6.已知隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布N(0,O2),若p(z>2)=0.023,則P(-2<z<2)=()

A.0.477B.0.625C.0.977D.0.954

7.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生成績(jī)f服從正態(tài)分布N(100,<72)(<7>0),若f在(80,120)內(nèi)的概率為

0.8,則f在(0,80)內(nèi)的概率為()

A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2

8.若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為/'(X)=康6一條，xe(-8,+8),則在(一2,—1)與(1,2)內(nèi)取

值的概率分別為P1與P2，則P1與P2的大小關(guān)系為()

A.P1>P2B.p1<p2c.P1=P2D.不確定

9.某班有48名同學(xué)，一次考試后各位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為80,標(biāo)準(zhǔn)差為10,

則理論上來(lái)說(shuō)在80分到90分間的人數(shù)是()

A.32B.16C.8D.20

10.把一個(gè)正態(tài)曲線。沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到一條新曲線b,下列說(shuō)法中，不正確

的是()

A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；

B.曲線G和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等；

C.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線。為概率密度曲線的總體的方差大2；

D.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線。為概率密度曲線的總體的期望大2.

11.圖是正態(tài)分布可3曲)，N(ji,母),NQ源)相應(yīng)的曲線，則()

aT

A.&>?>3B.a3>a2>0C.>(3>o2D.a2>^>a3

12.某地市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)f服從正態(tài)公布NCIOO,/),

已知P(80<tW100)=0.40,若按成績(jī)分層抽樣的方式取100份試卷分析，則應(yīng)從120分以

上的試卷中抽取()

A.5份B.10份C.15份D.20份

13.高三某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)f服從正態(tài)分布：f?N(105,102),已知P(95W

<<105)=0.3413,該班學(xué)生此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15分以上的概率為()

A.0.1587B.0.3413C.0.1826D.0.5000

14.設(shè)隨機(jī)變量X~NQ,c2),且X落在區(qū)間(一3,-1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)的概率相等，若

P(X>2)=p,則P(0<X<2)等于()

A.|+pB.1—pC.1—2pD.|—p

15.已知隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(082),p(f>2)=0.023,則P(-2<f<2)=()

A.0.954B.0.977C.0.488D.0.477

二、填空題(共7小題)

16.若X~N(0,；),則P(-l<X<1)?.

17.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果f服從正態(tài)分布N(lQ2)e>0).若S在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,

則f在(0,2)內(nèi)取值的概率為.

18.已知某電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布N(1000,502),那么該電子元件的使

用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為.

19.若隨機(jī)變量f~N(2,1),且P(f>3)=0.158,則P(f>l)=

20.若隨機(jī)變量X?N(JI?2),且p(x>5)=P(X<-1)=0.2,則P(2<X<5)=.

21.某個(gè)部件由3個(gè)型號(hào)相同的電子元件并聯(lián)而成，3個(gè)電子元件中有一個(gè)正常工作，則該部件正常

工作，已知這種電子元件的使用年限f(單位：年)服從正態(tài)分布，且使用年限少于3年的概率

和多于9年的概率都是0.2.那么該部件能正常工作的時(shí)間超過(guò)9年的概率為.

22.己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3?2),若P(1<XW3)=0.3,則P(X>5)=.

三、解答題(共8小題)

23.平均數(shù)為〃，標(biāo)準(zhǔn)差為。的正態(tài)分布在各區(qū)間的概率如圖所示，試?yán)谜龖B(tài)分布表驗(yàn)證該圖的正

確性.

〃一317〃一2。"p-<y〃〃+<T"+ZC7//+W

24.在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)X服從正態(tài)分布/V(90,100).

(1)試求考生成績(jī)X位于區(qū)間［70,110］內(nèi)的概率；

(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計(jì)成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的考生大約有多少人？

25.某工廠為檢驗(yàn)車間一生產(chǎn)線工作是否正常，現(xiàn)從生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取一批零件樣本，測(cè)量它們的

尺寸(單位：mm)并繪成頻率分布直方圖，如圖所示.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)

線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸Z(mm)服從正態(tài)分布N(H?2),其中〃近似為零件樣本平均數(shù)元，

小近似為零件樣本方差52.

附：V110?10.5；若Z?NQz,d),則P(“一CT<Z<〃+<7)B0.6827,P(〃-<Z<〃+

2a)?0.9545,P(〃-3a<Z<n+3c)?0.9974.

頻率

組距

0.035

0.030

0.020

0.010

0.005

0

(1)求這批零件樣本的元和S2的值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，求P(54<Z<85.5)；

(3)若從生產(chǎn)線中任取一零件，測(cè)量其尺寸為30mm,根據(jù)3。原則判斷該生產(chǎn)線是否正常.

26.在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,100).己知成績(jī)?cè)?/p>

90分以上(含90分)的學(xué)生有12名.

可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中(X。)=P(x<x0)如下：

%00123456789

1.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.9015

1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177

1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.9319

1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.9767

2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817

2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857

(1)試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總?cè)藬?shù)約為多少?

(2)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？

27.某食品公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的零售食品，從產(chǎn)品中抽取100件作為樣本，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)

質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如圖頻率分布直方圖.參考數(shù)據(jù)，若Z?N(〃,82),則p?—

Z</z+6)=0.6826,P(ji-25<Z</I+28)=0.9544.

(1)求直方圖中a的值；

(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(200,12.22),試計(jì)

算數(shù)據(jù)落在(187.8,212.2)上的頻率；

(3)設(shè)生產(chǎn)成本為y,質(zhì)量指標(biāo)為x,生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=

6仔an建舞，假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替,試計(jì)算生產(chǎn)該食

(.0.8%—80,X>205

品的平均成本.

28.2019年2月13日《煙臺(tái)市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民

閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè)，某高校為了解條例發(fā)布以來(lái)全

校學(xué)生的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間X(單位：小時(shí))并繪制如圖所示的

頻率分布直方圖.

參考數(shù)據(jù)：V1780.773419?0.0076.若丫?N(0,l),則P(YW0.75)=0.7734.

(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)元和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中間值代表)；

(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該校學(xué)生每周的閱讀時(shí)間X服從正態(tài)分布N(〃R2),其中〃近似

為樣本平均數(shù)元，d近似為樣本方差s2.

①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若X~N3R2),令

y=F，則y?N(o,l),且P(XWa)=P(yW于)，利用直方圖得到的正態(tài)分布，求

P(X<10)；

②從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取20名，記Z表示這20名學(xué)生中每周閱讀時(shí)間超過(guò)10小時(shí)的

人數(shù)，求P(Z22)(結(jié)果精確到0.0001)以及Z的數(shù)學(xué)期望.

29.在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)X服從一個(gè)正態(tài)分布，即X?N(90,100)

(1)求考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率

(2)若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)內(nèi)的考生大約有多少人？

30.“過(guò)大年，吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗.2020年春節(jié)前夕，某市質(zhì)檢部門隨機(jī)抽

取了100包某品牌的速凍水餃，檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，檢測(cè)結(jié)果如頻率分布直方圖所示.

附：若Z~NW，/),則：P(/z-c7<f<g+cr)=0.6826,P(〃-3T+3<r)=0.9974.

O。O心M>

0.013

aoio

(1)求所抽取的100包水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù).

(2)由直方圖可以認(rèn)為，水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(〃Q2),其中“近似為樣本

平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算得◎=V142.75x11.95,求Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率.

(3)將頻率視為概率，若某人買了3包該品牌水餃，記這3包水餃中質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)

內(nèi)的包數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

答案

1.c

(X-2)：

【解析】由/(x)=/裊后e2(甸2,得〃=2,a=V3.

2.B

【解析】因?yàn)镻(x<4)=0.84,所以P(x>4)=1-0.84=0.16,

所以P(x<2)=P(x>4)=0.16,

所以P(2<%<4)=P(x<4)-P(x<2)=0.84-0.16=0.68.

3.C

4.A

【解析】隨機(jī)變量X落在指定的兩個(gè)數(shù)Q,b之間的概率就是對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線在x=a,x=b兩直線之

間的曲邊梯形的面積，而X?N(2,(J2),由p(XN4)=l-P(XW4)=0.16,P(X<0)=P(X>4)：

0.16.

5.D

【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，其曲線關(guān)于％=〃=90對(duì)稱.因?yàn)榇笥?20分的人數(shù)占10%,

60分以下的人數(shù)占10%,所以60分到120分的人數(shù)占80%,故90分到120分的人數(shù)占40%.

6.D

7.B

【解析】由題意，得P(80<f<100)=P(100<120)=0.4,P(0VfV100)=0.5,

所以P(0VfV80)=0.1.

8.C

9.B

10.C

【解析】在正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)的過(guò)程中，。始終保持不變，

所以曲線的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)(即正態(tài)密度函數(shù)的最大值患。)和方差d沒有變化，

設(shè)曲線。的對(duì)稱軸為%=m,

那么曲線b的對(duì)稱軸為x=m+2,

說(shuō)明期望從TH變到m+2,增大了2.

11.A

【解析】因?yàn)楸绢}中三個(gè)正態(tài)分布的〃值一樣，

所以正態(tài)曲線的形狀由。確定，

。越小，曲線越“高瘦”；

。越大，曲線越“矮胖”，

觀察圖象可得。1>%>。3.

12.B

13.A

【解析】因?yàn)榭荚嚨某煽?jī)<服從正態(tài)分布N(105,102),

所以考試的成績(jī)率關(guān)于f=105對(duì)稱，

因?yàn)镻(95<f<105)=0.3413,

所以P(f>115)=0.5-0.3413=0.1587.

14.D

【解析】由X落在(一3,-1)內(nèi)的概率和落在(1,3)內(nèi)的概率相等得〃=0.

又因?yàn)镻(X>2)=p,

所以尸(一2<x<2)=l-2p,

所以P(0<X<2)=詈=：-p.

15.A

【解析】P(—2<f<2)=1-2Pq>2)=0.954.

16.0.954

【解析】由題意可知4=0,a=|?故P(—1WXW1)=P(〃-2cr4XW〃+2o)=0.954.

17.0.8

【解析】如圖，易得P(0<f<1)=P(1<f<2)

故P(0<§<2)=2P(0<f<1)=2x0.4=0.8.

19.0.842

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量f?N(2,l),所以正態(tài)曲線關(guān)于x=2對(duì)稱，

因?yàn)槭?gt;3)=0.158,所以P(f>1)=1—P(f<1)=1-0.158=0.842.

20.0.3

【解析】因?yàn)镻(X>5)=P(X<-1)=0.2,

所以P(-l<x<5)=1-2x0.2=0.6,

所以尸(2<X<5)=笠=0.3.

21.0.488

【解析】因?yàn)槭褂媚晗奚儆?年的概率和多于9年的概率都是0.2,

所以P(0<f<3)=P(f>9)=0.2,

所以正態(tài)分布的對(duì)稱軸為f=6,

所以9年內(nèi)每個(gè)電子元件能正常工作的概率為0.2.

所以9年內(nèi)部件不能正常工作的概率為0.83=0.512,

所以該部件能正常工作的時(shí)間超過(guò)9年的概率為1-0.512=0.488.

22.0.2

【解析】由題意得，相應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于直線x=3對(duì)稱，于是有P(X>3)=0.5,P(l<x<3)=

P(3<XM5)=0.3,P(X>5)=P(X>3)-P(3<XW5)=0.5-0.3=0.2.

23.略.

24.(1)因?yàn)閄~N(90,100),

所以4=90,a=V100=10.

由于正態(tài)分布NO，/)在區(qū)間［p-264+2R內(nèi)取值的概率約是0.954,而在該正態(tài)分布中，〃一

20=90-2x10=70,+2d=90+2x10=110,于是考生成績(jī)X位于區(qū)間［70,110］內(nèi)的概率約

為0.954.

(2)由于A=90,a=10,

所以/z—<7=90-10=80,//+<7=90+10=100.

由于正態(tài)分布N(〃42)在區(qū)間［〃一(7,〃+司內(nèi)取值的概率約為0.683,所以考生成績(jī)X位于區(qū)間

［80,100］內(nèi)的概率約是0.683.

一共有2000名考生，成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的概率約為0.683,所以在這2000名考生中，成績(jī)?cè)?/p>

［80,100］內(nèi)的人數(shù)大約為2000X0.683=1366.

25.(1)由題意可得平均數(shù)元=55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.05=75,

s2=(55-75尸*01+(65-75)2x0.2+(75-75)2x0.35+(85-75)2x0.3+(95-75)2x0.05

=110.

(2)因?yàn)閂HUal0.5,

所以Z~N(75,10.52).

從而P(54<Z<75)=|xP(75-2x10.5<Z<75+2x10.5)?Ix0.9545=0.47725.

P(75<Z<85.5)=1xP(75-10.5<Z<75+10.5)?|x0.6827=0.34135,

所以P(54<Z<85.5)=P(54<Z<75)+P(75<Z<85.5)?0.47725+0.34135=0.8186.

(3)〃-3<7=43.5,〃+3cr=106.5.

因?yàn)?0g(43.5,106.5),

所以該生產(chǎn)線工作不正常.

26.(1)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為f,

因?yàn)閒?N(70,100),

由條件知P(f>90)=1-P(f<90)=1-0=1-⑦(2)=1-0.9772=0.0228.

這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%.

因此，參賽總?cè)藬?shù)為526.

(2)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則

>x)=1-<x)=1-0(譽(yù))=言"0.0951,

即0(詈)?0.9049,

查題表得*=1.31,

解得x=83.1.

故設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為83分.

27.(1)a=0.1-(0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002)=0.033.

(2)所以P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826,

故P(187.8,212.2)上的頻率為0.6826.

(3)設(shè)生產(chǎn)成本為y,質(zhì)量指標(biāo)為x,生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=

(0.4x,x<205

(0.8x-80,x>205'

則

y=70x0.02+74x0.09+78x0.22+82x0.33+92x0.24+100x0.08+108x0.02

=84.52.

.。/.Ax=6x0.03+7x0.1+8x0.2+9x0.35+10x0.19+11x0.09+12x0.04

Zo.k12c

=9,

sz=(6-9)2X0.03+(7-9)2X0.1+(8-9)2X0.2

+(9-9)zx0.35+(10-9)2X0.19

+(11-9)2X0.09+(12-9)2x0.04

=1.78.

(2)①由(1)知4=9,a2=1.78,

所以X~N(9,1.78),a=VV8=等?

所