2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-22年真題)26 數(shù)列的通項公式

專題26數(shù)列的通項公式

【考點預(yù)測】

類型I觀察法:

已知數(shù)列前若干項,求該數(shù)列的通項時,一般對所給的項觀察分析,尋找規(guī)律,從而根據(jù)規(guī)律寫出此

數(shù)列的ー個通項.

類型∏公式法:

_ド1,(n=l)

若已知數(shù)列的前〃項和“"與明的關(guān)系,求數(shù)列｛4｝的通項%可用公式

=はーS)IT,(“22)

構(gòu)造兩式作差求解.

用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，ー種是“一分為二’‘，即分段式;另ー種是“合二為ー’‘，即q和ス

合為ー個表達，(要先分〃=1和〃≥2兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)ー).

類型!H累加法：

fl

?-n-ι=∕(n-l)

形如。川=し+/(〃)型的遞推數(shù)列(其中イ(〃)是關(guān)于”的函數(shù))可構(gòu)造：/1-""2="〃ー2)

a2-?|=/(?)

將上述叫個式子兩邊分別相加，可得：%=/(〃—l)+f(〃ー2)+..J(2)+AD+q,("22)

①若f(〃)是關(guān)于“的ー次函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;

②若f(〃)是關(guān)于〃的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;

③若丁(〃)是關(guān)于"的二次函數(shù),累加后可分組求和;

④若f(〃)是關(guān)于"的分式函數(shù)，累加后可裂項求和.

類型!V累乘法:

厶=/(D

%

也=f("-2)

/(")型的遞推數(shù)列(其中是關(guān)于"的函數(shù))可構(gòu)造：■a

形如?≈,,+ι=%如(")f(")n-2

7

一)

將上述";2個式子兩邊分別相乘,可得：aπ??(n-1)-/(n-2)...../(2)/(1)?,,(?>2)

有時若不能直接用,可變形成這種形式,然后用這種方法求解.

類型V構(gòu)造數(shù)列法：

(-)形如(M=Pq,+<?(其中，M均為常數(shù)且PKO)型的遞推式：

(1)若P=I時,數(shù)列｛ム｝為等差數(shù)列;(2)若4=0時,數(shù)列｛ち｝為等比數(shù)列;

（3）若p≠l且q≠0時,數(shù)列｛も｝為線性遞推數(shù)列,其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方

法有如下兩種:

法一:設(shè)。,用+2=p（α,,+兀）,展開移項整理得a”+]=pq,+（PT）え，與題設(shè)“用=必ク+4比較系數(shù)

（待定系數(shù)法）得ス=丄J■,（2≠0）=>%+∣+ース=。（6,+丄J"）=>an+?-=p（?.l+-?-）,即

p-?p-?p-1p-1p-1

[“+'ー]構(gòu)成以q+—9ー為首項,以ハ為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項公式求出

IP-Ij。ー1

>"+—”｝的通項整理可得

法二:由。〃+|=Pan+q得an=Pan-?+り（〃22）兩式相減并整理得—~~—=即｛ム+|ー?！埃龢?gòu)成以

?-?-ι

%-%為首項,以〃為公比的等比數(shù)列,求出｛。1ー％｝的通項再轉(zhuǎn)化為類型ΠI（累加法）便可求出。〃.

（二）形如?！?]=PQ“+/（〃）（PWl）型的遞推式:

（1）當(dāng).ア5）為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時:

法一:設(shè)?！?An+B=〃[?！═+Λ（n-1）÷B]?通過待定系數(shù)法確定A、8的值,轉(zhuǎn)化成以al+A+B

首項，以ん，=kJ為公比的等比數(shù)列｛%+A”+母,再利用等比數(shù)列的通項公式求出｛all+An+B｝的

[n-m）l

通項整理可得?！?

法二：當(dāng)/（〃）的公差為”時,由遞推式得：an+l=pan+?（n）,%=。。“_1+/（"-1）兩式相減得：

。同一メ=P（α“一可τ）+d，令bl,=aχ-a“得:"=。Z*+d轉(zhuǎn)化為類型V㈠求出ク，再用類型HI（累加

法）便可求出”“.

（2）當(dāng).ハ〃）為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時:

法一：設(shè)4,+え/（號）=。[α,,τ+えf（〃ー1）],通過待定系數(shù)法確定え的值,轉(zhuǎn)化成以q+えイ（1）為首項,

以ズ二首兩為公比的等比數(shù)列｛%+えf（〃）｝,再利用等比數(shù)列的通項公式求出｛%+えf（〃）｝的通項整理

可得?！?

法二：當(dāng)/（〃）的公比為q時,由遞推式得：an+l=pan+f（n）-----①，an=pan_x+f（n-1）,兩邊同時

乘以タ得a,“=。死“T+け（〃T）----②,由①②兩式相減得。,用ー?！?lt;?=。（?！耙弧?）,即國!ーー—=/?,在

%-q%

轉(zhuǎn)化為類型V㈠便可求出?！?

法三:遞推公式為q,+∣=。し+グ（其中。,q均為常數(shù)）或α,,+∣=。?！?;"グ（其中。,q,r均為常數(shù)）

時，要先在原遞推公式兩邊同時除以グ”，得：??=乙、+丄,引入輔助數(shù)列也“｝（其中勿=&）,得:

qqqqq

ク川=ムa+丄再應(yīng)用類型V（一）的方法解決.

qq

（3）當(dāng)/5）為任意數(shù)列時,可用通法:

在*=P4,+仆）兩邊同時除以む可得到筋=今+噌，令を=2，則しi+賞，在

轉(zhuǎn)化為類型∏I（累加法）,求出hn之后得a,=p-h,l.

類型V!對數(shù)變換法:

a

形如n+?=Paq（P>0,へ>0）型的遞推式:

在原遞推式〃〃+1=〃ば兩邊取對數(shù)得lg%+∣=4lg%+Igp,令-=Iga〃得:-+1=效+Igp,化歸為

〃,用=〃ち+ク型,求出ん之后得し=10%（注意:底數(shù)不一定要取10,可根據(jù)題意選擇）.

類型Vn倒數(shù)變換法:

形如4ι-%=pα,ι/（ハ為常數(shù)且。?。）的遞推式:兩邊同除于a,/,,,轉(zhuǎn)化為丄=丄+。形式,

へ。働

化歸為αnt,=pan+q型求出丄的表達式,再求α,,；

a

n

還有形如%M=ー吧」的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成」ー=‘丄+‘形式,化歸為

p%+q?,.+iqへp

“"+1=P。"+ク型求出丄的表達式，再求明?

冊

類型皿形如an+2=PaN+敦“型的遞推式:

用待定系數(shù)法,化為特殊數(shù)列｛與-4,一｝的形式求解,方法為:設(shè)“川ーねバ=力（。,用ーね“）,比較系數(shù)

得ft+k=p,-hk=q,可解得ん、ん,于是｛4fl+∣ー如”｝是公比為人的等比數(shù)列,這樣就化歸為a,.=p%+4型.

總之,求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解,對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列,

可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式4“.

【題型歸納目錄】題型ー:觀察法

題型二：疊加法

題型三:疊乘法

題型四:待定系數(shù)法

題型五:同除以指數(shù)

題型六：取倒數(shù)法

題型七:取對數(shù)法

題型ハ：已知通項公式an與前”項的和S,,關(guān)系求通項問題

題型九:周期數(shù)列

題型十:前〃項積型

題型_|_一.“和”型求通項

題型十二:正負(fù)相間討論、奇偶討論型

題型十三:因式分解型求通項

題型十四：其他幾類特殊數(shù)列求通項

題型十五：雙數(shù)列問題

題型十六:通過遞推關(guān)系求通項

【典例例題】

題型ー:觀察法

例1.（2022?山東聊城?高三期末）某數(shù)學(xué)興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類似的數(shù)陣,將一行數(shù)列中相鄰

兩項的乘積插入這兩項之間,形成下一行數(shù)列,以此類推不斷得到新的數(shù)列.如圖,第一行構(gòu)造數(shù)列1,2；

第二行得到數(shù)列1,2,2;第三行得到數(shù)列1,2,2,4,2,……，則第5行從左數(shù)起第6個數(shù)的值為.用ん

=IogA,?

表示第“行所有項的乘積,若數(shù)列｛與｝滿足Bn2則數(shù)列｛紇｝的通項公式為.

案】8紇=之土?【解析】(1)根據(jù)題意,

第5行的數(shù)歹リ依次為：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2

2

從左數(shù)起第6個數(shù)的值為8；

(2)A=2',

2+2f,

A2=2=2',

5I+3+3

A3=2=2°',

?-214=21+39+3'+32,

n,

ΛIl+3^

?=241=2"3Ml+3,3S故有ん=21+3。+3ゼ+3。.ザ,I-3-h--------

2匕=22

1+3"T

l+3,1-1

則紇=Iog24=IOg222

2~

故答案為:①8；②紇=與里

例2.（2022?河南商丘?高三階段練習(xí)（理））將數(shù)列｛2"｝與｛3〃+1｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛%｝,

則其通項un=.

【答案】4"

【解析】數(shù)列｛2"｝中的項為:2,4,8,16,32,64,128,256,…

經(jīng)檢驗，數(shù)列｛2"｝中的偶數(shù)項都是數(shù)列｛3〃+1｝中的項.

即4,16,64,256,…可以寫成3〃+1的形式,觀察,歸納可得し=4".

故答案為:4".

例3.（2022?云南?昆明一中高三階段練習(xí)（文））2022北京冬奧會開幕式上，每個代表團都擁有一朵專屬

的“小雪花’‘，最終融合成一朵“大雪花’’，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界!（如圖一），如圖

二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是從ー個正三角形開始,把

每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底邊,反復(fù)進行這ー過程,

就得到ー個“雪花‘‘狀的圖案.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為3,把圖二中的①，②，③，④，……圖形

的周長依次記為4,?2,?3，%,…，得到數(shù)列｛叫.

值;

（2）求數(shù)列｛%｝的通項公式.【解析】（1）%=12,α3=16.

（2）由圖形的作法可知:

從邊數(shù)看,后ー個圖形的邊數(shù)是前ー個圖形的邊數(shù)的4倍，所以,從ー個正三角形開始,“雪花‘‘圖案的作

法所得圖形的邊數(shù)是

以3為首項，4為公比的等比數(shù)列,所以，第〃個圖形的邊數(shù)為3?4"τ,

從邊長看,后ー個圖形的邊長是前ー個圖形的邊長的g倍,所以,從ー個正三角形開始,“雪花’’圖案的作

法所得圖形的邊長是

以3為首項,［為公比的等比數(shù)列,所以,第〃個圖形的邊長為3?g）"τ,

所以，a=9>

nr

例4.（2022?寧夏六盤山高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））ー種十字繡作品由相同的小正方形構(gòu)成,圖①，②,

③，④分別是制作該作品前四步時對應(yīng)的圖案,按照此規(guī)律,第n步完成時對應(yīng)圖案中所包含小正方形的

個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列記為他〃｝.

■⑴寫出。2,。3，為，。5的值;

①②

(2)猜想數(shù)列｛”“｝的表達式,并寫出推導(dǎo)過程;

⑶求證:ー工+エ+….+=<1(?>2).

生一1—14一14T

【解析】(1)解:根據(jù)圖①，②，③，④分別是制作該作品前四步時對應(yīng)的圖案,按照此規(guī)律,

可知4=1,出=5,o?=13fg=25,=41.

2

(2)解:數(shù)列的通項公式為:an=2n-2n+l;

推導(dǎo)過程如下:

由圖可得;

/ー4=4X1；

a3-a2=4x2；

%—%=4x3；

%ー。4=4x4；

(71-1)/?

...由上式規(guī)律,可得〃〃ー?！ī`1=4(〃ー1),所以〃≥2,α,j_ム=4(l+2+3+4+?…+〃ー1)=4=2∕ι(n-l),

2

所以〃〃=2/?2-2/?+1,當(dāng)/?二1符合

即數(shù)列的通項公式為へ=2ガー2〃+1.

22

解:由ガー當(dāng)"時,

(3)4=22"+l,N22

an一1In一2〃〃(〃-1)n-?〃

iHハ11111z1

所以原式=]---1-------------1------------h???+(-----------

223347?-1nn

因為“CN?,可得3()’可得し+エ+二+????+-?7<1(Λ≥2).

ムー1

例5.(2022?安徽?合肥市第六中學(xué)高二期末)如圖,第1個圖形需要4根火柴,第2個圖形需要7根火柴,

,設(shè)第〃個圖形需要《,根火柴.

□コ⑴試寫出處,并求見;

123n

(2)記前〃個圖形所需的火柴總根數(shù)為S”,設(shè)d=S“+n],求數(shù)列I，?的前〃項和ス

2

【解析】(1)由題意知:4=4,%=7,^3—10?ム=13,

可得每增加一個正方形,火柴增加3根,即a,川=%+3,

所以數(shù)列｛叫是以4為首項，以3為公差的等差數(shù)列,則し=4+3(〃ー1)=3"+1.

(2)由題意可知I,S“=4〃+〃(；-1)X3=〃(3；+5),

疋nれ(〃+)

所以1"=S"+ラ3=一2^,則1廠_礪2②_=14fズ1爲(wèi)1]｝

所以北=X鬪+%ー撲/H卜…+説ーセ?心"/—)=白3(識:+2)，

_12π+3_3ガ+5〃

卬”23(n÷l)(∕ι+2)6(ガ+3〃+2).

例6?(2022?全國?高二課時練習(xí))古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派將1,3,6,10等數(shù)稱為三角形數(shù),因為這些

數(shù)目的點總可以擺成一個三角形,如圖所示.把所有的三角形數(shù)按從小到大的順序排列,就能構(gòu)成一個數(shù)列

｛為｝，寫出外，%以及%?■?■■??

??????????

【解析】由題意得:a,l+i=an+n+?,

所以g=α,z+”

〃”一I=?-2÷w-1,,a2-a?+2累加可得?！?q+2+3+…+ね=1+2+3+…+シ=~~~-(n≥2),

當(dāng)/?=1時,al=1滿足上式,

所以％=約羅("∈N*),

所以6=15,も=21

例7.(2022?全國?高二課時練習(xí))觀察數(shù)列的特點,在每個空白處填入一個適當(dāng)?shù)臄?shù),并寫出每個數(shù)列的

ー個通項公式:

(1)1,3,7,,31,,127；

(2)2,5,,17,26,,50；

丄_丄_J_?丄

4,------'16,32,------，128；

(4)1,√2，，2,√5，____，√7.

【解析】(1)觀察數(shù)列得各項加【后是2的幕次,應(yīng)填空15：63,4,=2"-l;

(2)觀察數(shù)列得各項減1后是正整數(shù)的平方,應(yīng)填空10；37,ガ+1；

+

(3)觀察數(shù)列得后項等于前項乘以ー;,應(yīng)填空)；-?,αn=(-?';

2〇642

(4)觀察數(shù)列得各項都化為二次根式后,為正整數(shù)的正的平方根,應(yīng)填空G;√6,an=^ι.

例8.(2022?廣東?廣州市培正中學(xué)三模)設(shè)｛4｝是集合｛Z+2"05＜「且屮€2｝中所有的數(shù)從小到大排

列成的數(shù)列,即q=3,a2=5,a3=β,4=9,α5=10,?=12,....將成,｝各項按照上小下大、左小

3

56

91012

右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表.

(1)寫出該三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)(不必說明理由)；

(2)設(shè)｛“｝是該三角形數(shù)表第〃行的〃個數(shù)之和所構(gòu)成的數(shù)列,寫出｛〃,｝的通項公式;

(3)求《〇〇的值.

0202l303l

【解析】(1)由題意，α1=2'+2=3,α2=2+2=5,α3=2+2=6,a4=2+2=9,a5=2+2=10,

,2

a6=2+2=12,

44I424

...第四行:%=2+2'＞=17,＜?=2+2=18,α9=2+2=20I即＞=2+2'=24,

5O5525354

第五行:αl,=2+2=33,αl2=2+2'=34,α13=2+2=36,αl4=2+2=40,al5=2+2=48,

(2)由(1)知:第〃行的〃個數(shù)之和々=〃?2"+(2〇+2'+...+2"T)=處"+----=(n+l)-2,,-l,

...め｝的通項公式々=(〃+1)2-1；

(3)由前〃行的項數(shù)為普リ個,而笆＜100＜史尹,易知?w為第十四行的第9項,由上知:

Sノ通項公式中f表示笫f行,S表示第s+ι歹リ,

48

Λ?O=2'+2=16640.

【方法技巧與總結(jié)】

觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等,通過觀察分析數(shù)列各項的變化規(guī)律,求其通項.使用觀察

法時要注意:①觀察數(shù)列各項符號的變化,考慮通項公式中是否有(-1)"或者(-1)"T部分.②考慮各項的

變化規(guī)律與序號的關(guān)系.③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方｛ガ｝、｛2"｝與

(-1)"有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列.

題型二:疊加法

例9.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知q=0,?+l=α,,+2n-l,求通項ち=.

【答案】("ーげ

【解析】解:???ム+1=%+2〃ー1,即。向ーム=2”-1,

.?.a2-ay=1,a3-a2=3,a4-a3=5,L,an-an_{=2n-3(n≥2),

以上各式相カ口得ルーイ=1+3+5+7+…+(2)-3)=0+2"-3)("T)=("-I)2("≥2),又q=0,所以

?=(y7-?)2("≥2),

而q=。也適合上式,，an=(77-1)".

故答案為:(〃ー1)-

例10.(2022?內(nèi)蒙古烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(文))已知數(shù)列{叫滿足り=2Me=%ー〃,則求q00=

【答案】-4948

【解析】「4=2,綜+[=a〃ー，

aa

:,n+l~n=ー〃，

a2-ai=-?.

%=-2,

%一%=一3,

(X)—"99=-99,

將以上99個式子都加起來可得“∣00-4=-l-2-3-…-99=一994,網(wǎng)=-4950,

400=-4948.

故答案為:-4948.

例IL(2022?全國?高三專題練習(xí))己知數(shù)列｛し｝滿足り=2,a,m-2=M+2〃(〃eN*),則數(shù)列翳的前

2022項的和為

【答案】踞

【解析】由題意可知,滿足4=2M"L4=2M+2,

當(dāng)“N2時,a?-a?_1=2("-l)+2=2",

Λ?-6Z1=4,?-?=6,4ー。3=8,…M“一〃"_]=2〃,以上各式累加得,

Cin-Ciy+(/-01)+(%—ム)+(〃4-6)+??,+(”〃—Q“_])=2+4+6+8+???+2".

(2+7)〃=ル+D,

1

當(dāng)?shù)?1時,4=2,也滿足上式,，ム=〃(〃+1),則丁=

/t(n+l)nπ÷l'

??.數(shù)歹リ亂的前幾項ネロ為Sn=丄+丄+…+丄=1

ー丄+11-I-???+111J—1_?

%23nτt+l〃+1τt+l

_2022

20222023

故答案為:痂

，一，則見

例12.(2022.全國?高三專題練習(xí))數(shù)列也｝中,a?=1，4+1=a+

nn+n

【答案】!

【解析】因為*/+七，所以。用ー〃“11

n+nn7?+1

__丄_丄

則當(dāng)〃≥2∕∈V時,'％'23,將〃ー1個式子相加可得

11

々〃ー。I=1一く+!—?+…+—^ー丄=1ー丄,因為4=1,貝リ。〃=2—(n≥2),

223〃-1nn〃

當(dāng)〃=1時,q=2-l=l符合題意,所以例=2ー丄,"≥l,"eN*.

!〃

所以%=2==]

故答案為:

例13.(2022?湖北?華中師大一附中模擬預(yù)測)在數(shù)列｛%｝中，已知も=丄,%“=’七，p>0,neNλ

(1)若ク=I,求數(shù)列｛凡｝的通項公式;

⑵記￡="4,若在數(shù)列｛%｝中,?<?(∕j≡W*),求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)由題意,“‘川='J，得:-——~=n,運用累加法:

%+l%+ι%

1111Il,Cn(n+?)

---------+——1+???H............=]+2+???+〃=,

a2qa3a2aιι+?an..................................2

”(“+1)+1_n2+n+2p

2a}2

2

%+1=

九2+〃+2〃""=ET石'P=L

2,2n

〃=1時,也成立,Ci--------------U---------------

サ7^nKΞ;⑵由⑴n2—n-V2p，nn2—n-V2p

2n4

由題意仇=ふ也"ー即---------≤-----

n2-n+2p6+p

化簡得:("-4)"≤2"(〃ー4),

當(dāng)《<4時,p≥2∕ι,即スN(2")mχ=2x3=6

當(dāng)〃>4時,p<In,即，≤(2”)min=2x5=10,

即クe[6,10]

綜上,an=

【方法技巧與總結(jié)】

數(shù)列有形如%+1=4+/(〃)的遞推公式,且/(1)+/(2)+???+/(n)的和可求,則變形為ル+1ー%=/(〃)，

利用疊加法求和

題型三:疊乘法

例14.(2022.浙江浙江.二模)已知等差數(shù)列｛ム｝的前"項和為5,,滿足∕=6,S4=20.數(shù)列也,｝滿足

b2(ガ+1)

b.=l,411=」_____L，〃∈N'.

2

bn(π+l)+l

(1)求數(shù)列｛q｝,｛々｝的通項公式;

⑵設(shè)數(shù)列k｝滿足g=目ー,〃∈N*,記數(shù)列に｝的前〃項和為7“,若北≥豐,求”的最小值.

，?り+1?12

a÷2J=64=2

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意可得:4q+6d=20’解得:

d=2

所以4=4+[n-?)d=2〃,所以數(shù)列｛%｝的通項公式為ち=2"；

ガ+

因為數(shù)列他,｝滿足仇=1,如ー2(21)

,〃∈N*,

b,,(〃+I)2+1

所以

當(dāng)“≥2時,

22ヽ((π-l)2+l)"

??Jx2x屮0÷0×U2xH(2÷')x...x2〃

b=h.×-×-×?2×

t>-?22+l32+lw2+lM2+1

n√/

又ム=1滿足,所以數(shù)列也｝的通項公式為ス=―-

n~+1

⑵由⑴可得+笠Lガ+〃,所以，“=年ら=Mデ7=戸+[正一E4

T_1111—n+2

ゆ以?L=ラ一戸+K("+]""']=>("+)""

111n+2ノ1

所以いnr即為岡ア"運

又因為『(〃+りー/(〃)<〇恒成立，

所以)(〃)=(11)F，〃eN單調(diào)遞減,且〃6)=木,所以解ホyデrく帀得〃次,

故〃的最小值為6.

例15.(2022.全國?高三專題練習(xí)(理))已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為5,,,且滿足S,=(〃+げ為ー3,Λ∈N+.

⑴求｛ら｝的通項公式;

(2)若4=(2〃+3)(一ザ労,求他,｝的前〃項和卻

【解析】⑴解:〃=1時,4=44一3,解得α1=l.

當(dāng)"≥2,"cN,時,S,一=ガ*-3,故〃“=S,,-S,ι=(〃+]//ー〃ユ%,

所以計n

n+2

aa.ムスnn-?32,6

an

故∏=----------?-??1=----------------1=7-----Γ7-----r

an_xan_2a2a]n+2n+?54(n+l)(n+2),

生符合上式

.ゝ6

故｛an｝的通項公式為へ=但+])(〃+2),〃eN_.

(2)解:結(jié)合(1)得

勿=(2〃+3)(-1)"4=+

n+?n+2

所以1,=b?+b+???+b=-6÷1÷1÷...÷+」

2n6(34丿77+1n+2

例16.(2022?全國?高三專題練習(xí))在數(shù)列｛%｝中,下3,ム4ー1(論2),求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式.

ann-?

【解析】因為?，=1,?=l1--a-?(n>2),所以丁=ニー

πanΛ〃

所以?！?2-?里??班■.....馬.生?q="J".HI=丄,又因為當(dāng)“勺時,aι=if符合上式,

，”-2"〃-3"2。]れれ-1幾ー232n

所以。〃=—.

f5]I

例17.(2022.全國?高三專題練習(xí))記S〃為數(shù)列｛ム｝的前〃項和,已知4=L昌是公差為ヨ的等差數(shù)列.

ゝQn

(1)求｛ら｝的通項公式;

11IC

(2)證明:一+—+…+—<2.

%a2an

【解析】⑴?.?q=l,ユム=4=1,ユユ=1,

a?

又?.?｛キ｝是公差為9的等差數(shù)列,

.?.,ゆ叫二苧.?等應(yīng),

...當(dāng)〃≥2時,S,-=("+り""-',

-z,_C_c_(〃+2ル(”+1)%

整理得:(n-l)αw=(n+l)απ,l,

.?.an=alX—X—

4a2an-2%

34nn+↑n(n+?)

=l1x—X—×...×-----X-----=--------,

12n-2n-?2

顯然對于れ=1也成立,

.?.{4}的通項公式q=當(dāng)?shù)?

12Cnl)

⑵ピ而ザ?J-FI，

..」+丄+...+丄=2『一ル化一斗…仕ー丄］］=2し丄］＜2

%%ムしl2丿123丿Inn+lJJIn+?)

H+1

例18.(2022?福建南平?三模)己知數(shù)列｛し｝滿足4=1,

n

(D求數(shù)列｛4｝的通項公式;

⑵若也｝滿足ら=2ムー24,&τ=2q,-22.設(shè)S“為數(shù)列低｝的前〃項和,求S20.【解析】⑴因為q=1,

%_"+1

ann

ーー,?9ci.a23n,a,

所以當(dāng)れと2時,一..n.=τ×-×???×—7,則ーt=〃,即?！?〃,

aλa2%12n-lCll

當(dāng)れ=1時,也成立,所以?！?〃.

⑵由(1)?わ2〃=2。“-24=2〃ー24,わ2”_]=2?！ī`22—2〃—22,

則る〃+=4〃ー46,

則So=(ム+4)+(A+包)+…+(九+‰)=(4×1—46)+(4×2-46)d-----F(4×10-46)

(l+10)×10

=4χl-------L-------46x10=-240.

2

例19.（2022?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛し｝滿足:4=|,（2"+2—l）α,用=（2""-2）a,,（〃eN*）,則｛4｝的

通項公式為.

T

【答案】“一（2"ーり（2"*'_リ

,,+l

【解析】由（2"+し1）%=（2"+J2レ“得,也2-22"-1

2Λ+2-12Π+2-1

2Λ^'-1C2w^2-lC2n-3-l3

則ユL_.4i.4_l…&=2.----------2,----------2,...2.

+,,,3(2n+'-l)(2n-l),

**4τ42"-l2-l2-l

,,

即"=3?2^'E22"

所以“"nn+1

(2),-l)(2,,+l-l)，乂q=§，(2-l)(2-l)'

2"

故答案為:%=0二!）（戸口）.

例20.（2022?山西太原?二模（理））已知數(shù)列｛叫的首項為1,前〃項和為S”,且嗚M=（"+2）S,,,則數(shù)

?2

列數(shù)列+?的前〃項和Z,=

1

【，，恭/22,,+'(rt+l),

【解析】解:因為〃5向=（〃+2）S”,

S,,,.n+2S〃+1

所以年=——,則モユn=--

S.nS,,.,n-l

貝脩=ユキルかメ…やXE,

3〃ー1?-2?-3?l

"+1nn-?43n(n+i]

=--×---X---×...×--×-X11=-----當(dāng)九=1時,q=1,

n-?n—2n-3212

へ“n(n+]]n(n-?]

當(dāng)〃22時,へ=Stt-S,『、=I2丿--^-L=n,

綜上:aπ=n,

所以2“+IaM-「2"〃2^'(n+l),

所以數(shù)列《的前〃項和為:

2向3

11111111

,—.'+'""++■?''

2,×122×222×223×32"n2"IgI)22n+'(ra+l),

故答案為:ラー2叫〃+り

例21.(2022.全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的首項為1,前〃項和為S,,且〃S向=(〃+2)S”,則數(shù)列

｛?｝的通項公式為=.

【答案】〃

【解析】解:?.“S,川=(〃+2)S“，.?.黒=ザ

SSS

當(dāng)“≥2時,Sπ≈-^×-^×???×√-×5l,

〉〃ー2>1

z?+?nn-?n—26543z?(w+l)

----------X-----------X-----------X-----------X.×—X—X—X—X1=---------當(dāng)れ=1時,SI=-----=1=4成立,

n-?n—2n—3n—4432122

n(z7+l)

~2~

、レ、つHCQk(〃+1)(Zi-I)ZT

當(dāng)〃22時，%=Sn-S『1=---------------------=

當(dāng)れ=1時,4=1滿足上式,

???%=〃.

故答案為:〃

例22.(2022?全國?高三專題練習(xí))數(shù)列｛ム｝中,6=1,當(dāng)〃≥2時,％=2%,,則數(shù)列｛叫的通項公式

為.

【答案】a,=2~^【解析】解:因為q=2"%,〃≥2

所以厶=2",也=2"τ,生.=?”<,レ,"=2?

?-2啞?1

累乘得:?????"=2"?2,,~l?2Λ^222,〃≥2,〃∈N*,

a?

所以シ=22=22,n≥2,neN?

%

由于4=1,所以％=2竽，〃""eV.

顯然當(dāng)〃=I時,り滿足％=2空

所以

故答案カ:a―2—2-

,?1nFll1

例23?(2022?全國?模擬預(yù)測)在數(shù)列｛叫中,4=スム+L—ム,+LIr+7∑ΓnΓ

イ乙[〃I-乙)4C/[IIlI*1Ic<?

且對任意れwN*,《≥シ2"+4恒成立,則實數(shù)丸的取值范圍是（）

-00,ー丄

A.(-∞,-l]B.

2

c,鳥,1D.”）

【答案】A

nn-?n-2n-321

【解析】解:由.=而可?！?得し=而!rHX帀可XτL、ぶX詬X"

1211

=-------X-;---------TX—=5≥2),

2"-1仆+1)4〃(〃+1)x2"

]--1—?

所以myΓ="?2"("22)’當(dāng)〃=1時，2a「2x丄ー’符合上式，

!宀

所以，丄ハ=〃「2?

(〃+1ル,

2i+l

所以?；=lχ2∣+2χ22+???+"?2”,2Tιl=l×2+2×2+---+n-2",

作差得一(=2∣+22+L+2"ーか2向/(總)_“.2,川=(1—n)2向ー2，

所以％=(〃-I"'”+2.由(,≥;l?2"+4,得("-1)2向+2≥X?2"+4,

整理得えく2(〃ー1)一擊.易知函數(shù)y=2(x-l)ー擊在[,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x?l,+ヵ)時,

Vmin=T，所以2≤-l?

故選:A.

【方法技巧與總結(jié)】

數(shù)列有形如し=人〃)?4T的遞推公式,且7(1)?∕(2)…??/(〃)的積可求,則將遞推公式變形為

2=/(〃),利用疊乘法求出通項公式。,

%

題型四:待定系數(shù)法

例24.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知數(shù)列｛q｝滿足:4=l,%=4,4%+∣-3”,,-a,+2=0,設(shè)

ヽ1

ル?yún)^(qū)西而旗西TTP-NT-則ム+仇+…+-=-----------

2022

【答案】

2023

【解析】依題意at=l,a2=4,4απ+∣-3??-??+2=〇,

一%),

4+2-4+I=3(?+I

所以數(shù)列｛4.「4｝是首項a2-al=3,公比為3的等比數(shù)列,

3β

所以?÷∣-?="，n÷∣-?=3