導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的解題技巧

專題十【命題趨向】數(shù)命題趨勢：

導(dǎo)數(shù)題的解題技巧綜觀2007全國各套高考數(shù)學(xué)題發(fā)對數(shù)的考查有以下一些知識類型與點：.,.12---17.【考點透視】123【例題解析】考點1

導(dǎo)數(shù)的概念.例年京卷）f

是

f)

13

3x

的導(dǎo)函數(shù)，則f

的值是．[考查目本主要考函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計算等基礎(chǔ)知和能[解答過]

f

2

f

故填3.例(2006年南）設(shè)函數(shù)

f(x)

xx

,合

{|f)0}

{f

()

,MP,則數(shù)a的值圍是()A.(-,1)B.(0,1)C.(1,+)D.[1,+∞)1

[考查目]本題主要考查數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識的用能[解答過]由

當時a;當a時,xy

xx

/

x綜上可得

考點2

曲線的切線（）關(guān)于曲線在某一點的切線求曲線在一點（）的切線，即求出函y在P點導(dǎo)數(shù)就曲線在該點的切線的斜（）關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時與曲線相切，則稱該直線為兩曲的公切典型例題例3.（年南文）已知函數(shù)值點．的最大值；（）求2

f(x

113axbx32

在區(qū)間[內(nèi)各一個極（II）a

時，設(shè)函數(shù)f(x在點Af(1))

處的切線為l，l在點處穿函數(shù)yf)

的圖象（即動點點A近沿曲線yf(x

運動，經(jīng)過點A時，l的側(cè)入另一側(cè)函數(shù)f()

的表達式．思啟：求來求得切線斜率解過I）因為函

f(x

113axbx32

在區(qū)間[內(nèi)分別有一個極點，所以

fx2ax

在[內(nèi)別有一個實根，設(shè)兩實根為

，x（xxx122

a

，

．于是a

2

，0

16，且當即a，b

時等號成立．故

b

的最大值是16．（II）法一：由

知(x)在點(1))

處的切線l的程是(1)f

，即

(1x

2a3

，2

22因為切線l在f(x))

處空過()

的圖象，所以

g(f(x)[(1)x

21a]32

在x兩附近的函數(shù)值異號，x

不是g(x

的極值點．而g(x

1121ax2bx)a3232

，且

x

)x

x1)(x)

．若

1，則x和x都(x)

的極值點．所以

1

，即

a

，又由

2

，得

b

，故

fx)

13

3

2

．解法二：同解法得

g(f()x

2a]313a3(1)[(1xa)]32

．因為切線l在點A，(1))

處穿過f()

的圖象，所以g()

在x兩附近的函數(shù)值異號，于是存在

m，m（m21

當

m

時，g(x)

，當

xm

時，x)

；或當

m

時，x)，xm

時，(x)

．設(shè)h)

2

1

a

3

，則當

m

時，()0，當1

時，h()0

；或當

m

時，()

，當

x

時，()

．由h(1)

知

x

是h(x)

的一個極值點，

h2

32

，所以

，由a

2

b，f(x

13

3

2

．例（年安卷若曲線

y

的一條切線l

與直線

x

垂直則l

的方程）A．

yy

BD

xyxy[考查目]本題主要考查數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知的應(yīng)用能3

2211//22y2211//22y22[解過]與直線

xy

垂直的直線l

為

x

，即

y

在某一點的導(dǎo)數(shù)，而y

，所以

yx

在，1)處數(shù)為，此點的切為

x

.故選A.例．(年慶)過標原點且與x+

x+=0切的直線的方程為()=-3x或=B.=-3xy=-C.y或=-x或y33[考查目]本題主要考查數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能[解答過程解法1：切線的方程為

ykx0.又

,心為

kk

1,3kk,3y

13

x或y故選A.解法由解法知切點坐標為

1(),,22

由,2(y

/

y

/

()

k

/

()

.y,故選A.

x例已知兩拋物

C:y,Cya取值時C有且只有一條公線1出此時公切線的思路啟迪對Cyx,C:y212解答過程：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為'yxx

2

求導(dǎo)數(shù).，曲線

1

在點

xx11

)處切線方程為)2)(x)1111

，即

yx11

2

①曲線在點()的線方程是122

y224

即

得方程，2時，得方程，2時，解得1xy

②若直線l過點和點的切線，則①式和②式都l的程故得x,1

x

，消去

x

2

2x若eq\o\ac(△,=)

2(1)

，即

x

，此時點P、Q重∴當時

，

和C有且只有一公切線，由①式得公切線方程1

yx

.考點3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:1..;2.;;;5.典型例題例7年天津卷）函數(shù)

f()

的定義域為開區(qū)

(a

，導(dǎo)函數(shù)

f

在

(,)

內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)

f()

在開區(qū)間

(,b)

內(nèi)有極小值點（）A1個B2個．3

y

y

D．個[考查的]本主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識

a

O

b

的應(yīng)用能力[解答過程由圖象可見在間(內(nèi)的象上有一個極小值點故選A.例.（2007年國）設(shè)函數(shù)

f(x)

在x時得值．（Ⅰ）求a、b的；（Ⅱ）若對于任的x，有(

2

成立，求的值范圍思路啟迪函數(shù)

f(

在及時取得極值造方程組求ab的值．5

c在，c在，解答過程Ⅰ）

x

ax

，因為函數(shù)

f()

在x及x取得極值，則有

f，f

．即

a，a解得

b．（Ⅱ）由（Ⅰ）可，

f(x)xx2x

，f

x

xxx

．當

(0

時，

f

；當

時，

f

；當

時，

f

．所以，當

x

時，f()

取得極大值

fc，又f(0)cf(3)

．則當

x

f)

的最大值為

f

．因為對于任意的

x

f(x)

恒成立，所以

9

2

，解得

因此的取值范圍為

(

(9

．例函數(shù)

yx

的值域是思路啟迪函的值域是中學(xué)數(shù)中的難點一般可以通過象觀察或利用不等式性質(zhì)求解也可以用函數(shù)的單調(diào)性求出最大小值此例的形式結(jié)構(gòu)為復(fù)雜采導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。解答過程：

得，

，即函數(shù)的定義為

[

.y'

2x

，又

2x

x

，

當

時，

'

，

函數(shù)

yxx(

上是增函數(shù)，而

f(yxx

的值域是

[

.6

在，令處取得極小值，可得在，令處取得極小值，可得例2006年津卷）已知函數(shù)

fcoscos

，其中

,

為參數(shù)，且

．（）當時

0

，判斷函數(shù)

是否有極值；（）要使函數(shù)

f(x)

的極小值大于零求參取值范圍；（）若對）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參a求實數(shù)的取值范圍．

，函數(shù)f

在區(qū)間

函數(shù)，[考查目]本小題主要考運用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性及極值不式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分和解決問題的能力，以及分類論的數(shù)學(xué)思想方[解答過]（Ⅰ）當

c

時，

f()x

3，則

f(x(

內(nèi)是增函數(shù)，故極（Ⅱ）

f)x

2

x

'(x

，得

cos

.由（Ⅰ需分下面兩種情況①當cos

時，隨的變化

f)

的符號及

f()

的變化情況如下：x

(

0

(0,

)

cos

(

f'(xf()

+↗

0極大值

-↘

0極小值

+↗因此，函數(shù)

f(x)

在

f()2

，且

13(cos3

.要使

cosf)

，必有

3)cos4

32

.由于

cos

，故6

.②當時

，隨變化，

f)

的符號及

f()

的變化情況如下：x

(

cos

)

2

(

cos

,0)

0

(0,f'(xf()

+0極大值

-

0極小值

+因此，函數(shù)

f(在

處取得極小值

f(0)

，且

3(0)cos16

若

f(0)0

，則

.盾所以當

時，

f()

的極小值不會大7

與3),)cos函數(shù)在時與3),)cos函數(shù)在時，函數(shù)在f(x)0,(x在綜上，要使函數(shù)

f(x)

在

內(nèi)的極小值大于，參取范圍為

11(,)(226

.（III解：由II）知函數(shù)

f()

在區(qū)間

cos((

內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)

f((2a)

內(nèi)是增函數(shù)，則a滿足不等式組a

或

2a12a2

由II數(shù)時22

32

.使不等式

acos

關(guān)于參數(shù)

恒成立，必有

a

，43

.綜上，解得a或

438

.所以

a

的取值范圍是

([

3

,1)

.例．年東設(shè)數(shù)fxax－(+1)ln(x，中a，求f()的單調(diào)區(qū)間[考查目本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法函數(shù)的極值的判,查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題能力[解答過]由已知得函數(shù)

f(x)

的定義域為

，且

axx)(（）當

時，

f(x)0,f(x)(

上單調(diào)遞減，（）當a時由

f

()

解得

xf

()

、

f()

隨

的變化情況如下f'(xfx

(—

0極小值

(+從上表可知當

)

上單調(diào)遞減當

x1,，f(函f(x)在(

上單調(diào)遞增綜上所述：當

時，函數(shù)

f(x

上單調(diào)遞減8

(1,2)-1），(1,2)-1），+即當

a

時，函數(shù)

f(x)

在

)

上單調(diào)遞減，函

f(x)

在

(,

上單調(diào)遞增例12年京卷）知函數(shù)

f(x)

在點

x

0

處取得極大值，導(dǎo)函數(shù)（Ⅰ）x的值0

yf)

的圖象經(jīng)過點(1,0)，，如所求：（Ⅱ）

ab

的值[考查的]本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函的極值的判定區(qū)間上二次函數(shù)最值函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)識的綜合應(yīng),考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題能力[解答過]解法一由圖像可知，

f'

，在

f'

x

，在

上f'

,故

f(x)

在上增在上遞減，因此f

處取得極大值，以x0（Ⅱ）

f

(

bx由

1=0，2）0，1）5，b0,得

解得

解法二）同解法一（Ⅱ）設(shè)

f

()2)

m又

f(),所以

mcf()

m3xmxmx由

f

m3m5,2

得

所以b例132006年北卷）設(shè)x3是函數(shù)f

的一個極值.（Ⅰ）求b

的關(guān)系式（用表b

求f

的單調(diào)區(qū)間；9

2323323233232332323331322（Ⅱ）設(shè)，

x

.存在

[考查目]本小題主要考函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決題的能[解答過]（Ⅰ）f`(x)＝－[

＋－x＋b]

x

,由`(3)=0，得－[3＋(－2)3－a]＝0，即得＝－32，則f`(x)＝＋(－x－a－a]＝－[＋(a－2)－3－3a]e

＝－(－)(x＋a+1)e令＝0得＝或＝－－，由于是極值點，12所以x+a+1≠，那么a≠－當a<4時x>3＝，則2在區(qū)間（－∞3上，f<0，f(x)為函數(shù)；在區(qū)間3，――）上，f`(x)>0f為增函數(shù)；在區(qū)間（――，＋∞），，(x)為減函數(shù).當a>4時x<3＝，則2在區(qū)間（－∞，―1）上，f<0，f為減函數(shù)；在區(qū)間（――，）上，`(x)>0f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間3，＋∞）上，`(x)，(x)減函數(shù).（Ⅱ）由（Ⅰ），當a>0時f(x)在區(qū)間（0）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間3）上單調(diào)遞減，那么(x)在間0，4]上的值域是min(f(0)f(4))，f(3)]，而(0)＝－2＋）ef(4)＝（a＋13）>0，(3)＋6，那么f在區(qū)間[0，上的值域是[（a3，＋6].又

(x

在區(qū)間[，上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[，4]的值域是[＋＋）e]，10

122f122f由于（

2

＋

）－（＋6）a

－＋＝（）

≥0，所以只須僅須（

2

＋

）－（＋6）且a>0，解得<

.2故取值范圍是0，）例14（年全二）已知函數(shù)

f)

13

32)x在

x

處取得極大值，

處取得極小值，

x2

．（）證明

；（）若=b求的值范圍[解答過]求函數(shù)fx)

的導(dǎo)數(shù)

fax2bx

．（Ⅰ）由函數(shù))在x

處取得極大值，

處取得極小值，

，x是f2

的兩個根．所以

f(x)(x)當

x時，f()

為增函數(shù)，

，由x，x得．2（Ⅱ）在題設(shè)下

x2等于即

bb

．化簡得

ba

．此不等式組表示區(qū)域為平面上三直線：

，a

．所圍成的

△ABC

6的內(nèi)部，其三個點分別為：A，，(2．7

在這三點的值依為

167

．

b所以

的取值范圍為．

11

B(22(41A，7O24

a

222322233小結(jié)本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性規(guī)劃有機結(jié)合．考點導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用建立函數(shù)模型利用典型例題例（年慶文）用長為的條圍成個長方體形狀的框架，要求長體的長與寬之比為：，問該長方體的長、寬、各為多少時，其體積最大？最體積是多少？[考查目]本小題主要考函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決際問題的能力.[解答過]設(shè)長方體的寬為（m長，高為

(m)

.故長方體的體積V())(m)

x從而Vxx

2

(4.5x)).令′（）0，解得x=0（舍去）或，因此=1.當＜＜時，V′（）0當＜＜

時′）＜，故在=1處V（）取得極大值，并且這個大值就是V（）的最大值。從而最大體積＝′）＝××（時方體的長為2，高為1.5m.答：當長方體的為時寬為，高為1.5m時體積最大，最大體積為。例162006年建卷）統(tǒng)計明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（）關(guān)于行駛速度x（米小時）的函數(shù)解析式可以表示為：y

3xxx80

已知甲、乙兩地距千（）當汽車以千米/小時的速度勻速行駛，從甲地到乙地要耗油多少？12

（II）汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為少升？[考查目]本小題主要考函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決際問題的能力.[解答過]（I當

x

時，汽車從甲地乙地行駛了小，要耗沒

4017.5

（升）答：當汽車以千米小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油升（II）速度為x千米/時時，汽車從甲地乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為)x

升，依題意得

10015(x)xx8).x(0120),x1280xx)(0xx640令

hx)0,

得

x當

x

時，

'(x0,(

是減函數(shù)；當

x

時，

h'(x)(x)

是增函數(shù)當x時，(x

取到極小值

(80)11.25.因為

(x

在上有一個極值，所以它是最小.答：當汽車以千米小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少最少為.13

,,訓(xùn)考一、選擇題1.=cos(sin)，則′(0)于()A.0

B.1

C.－D.22.經(jīng)原點且與曲y=A.+=0或+=0

xx

相切的方程()B.－=0或x+=0C.+=0或－=0D.－=0或－=0

3.設(shè)f()可導(dǎo)且′(0)=0,又

lim

f

x

=－1,f)A.可不是f()的極值C.一是()的極小值

B.一是()極值D.等4.設(shè)數(shù)(x)=x

(1－(為正整數(shù)，則f(x在0,1］上的大值()A.0B.1

C.

)

D.

)

5、數(shù)y=(x-1)+1在x=-1處A、有極大值、無極值、有極小值D、無法確定極值情6.f(x)=ax+3x+2，’(-1)=4，a=()A、

10

B、

13

、

16

D、

193

37.過物線y=x上的點（1）切線的傾斜角()2A、30

B45

C、60

D、908.函f(x)=x-6bx+3b在0，）內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是)A1）B∞1）C，+∞）D，）214

54302a002p+54302a002p+9.函y=x[

3,22

]上的最小值()A、

B、1

C、

D、

10、f(x)=x+ax+bx+c，且f(0)=0為函數(shù)的極值，()A、≠、當a>0時，f(0)為極大值C、b=0、當a<0時f(0)為極小值11、知函數(shù)+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間()A

B

+

D3126x+10x()A2B3CD5f()=2,

lim

f(x)()k

f(xx+1)(+2)(xnffx)=log+5x2)(a01)________.RCx+2x,l=,lC(,)(

0)lf(x)=p

x

2

(p)[1].xy=a(1)y=(+3)2

;(2)y=

3

1

.5mm/s

15

2222nn*320000000=32222nn*320000000=3xx+n1

x).f(x+afx)=a+bx+.(1)(2)x=1,f().abbae,e

bba

.22=0α(β

f()=

4

.(1)f()()(2)fx)β(3)fxβ答sinxcosx)cosxx(0)=0B

0)=1.2.(y),=

yx

,)=

(x

2

,′()=,

(

(x

2+18x

=3,y

=

0

0

,A(3

((A)=5

(5)

=1′(B

(25

,l:l:=

.A3.

lim

x

=

0(a)(a,

x

(,0)f(0)0,x(0,bf(0)f()(,0)).16

2nn2123nn222)2aa22nn2123nn222)2aa2B4.f()=2xnx)n3)

=nx-1),f′

n

(x=0,=,f()x=2f2

()=n()(122)(

.D5B、A7B8、D9、10、、C13.f(0

)=

lim

f()

()

lim

()f(x)(x)f(x)[22

]

1f(x)f(x)lim2

)1()=(x+1)(x+2)x+nf()=((x)=)+xg(),f(0)=n=nn!

f()=loge

.(3

x=

(65)x

,a1,loge0,6x+50,(31)(xf()0,f()(1,+)32f()fx(2)1,x1f()fx)(133fx)f)(,2)

,+)x22x,h+=+

,=hRh17

000000000000200000000000000200=x=

(2Rh)),

)(2Rh

)

(2)(6

(3R)(2R)h

.Sh

R(0,2Rh

(0,R)

R

(,2R)′

+0

x2

R.2

R17.lk=

yx

(0

yCy=x

3x,00

yx

=x0

2x+2,6xxx

=

yx

,x+2=x3x3x=0

=

.0,=02y0

=(

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