蘇教版選擇性必修第二冊第6章6.3.4空間距離的計算學(xué)案

空間距離的計算課程標(biāo)準(zhǔn)能用向量的方法解決點到直線的距離和點到平面的距離1.點到直線的距離(1)P為直線l外一點,A是l上任意一點,在點P和直線l所確定的平面內(nèi)取一個與直線l垂直的向量n,則點P到直線l的距離為d=.(2)P為直線l外一點,A是l上任意一點,e是直線l的方向向量,記φ=<,e>,則點P到直線l的距離為d=||sin__φ.

2.點到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,PQ⊥α,垂足為Q,A為平面α內(nèi)任一點,則平面外一點P到平面α的距離為:PQ===.1.已知平面α的一個法向量為n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點P(-2,1,4)到平面α的距離為()A.10 B.3 C.83 D.【解析】選D.點P到平面α的距離d==|-2-4-2.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是()A.66 B.63 C.36【解析】選D.分別以PA,PB,PC所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個法向量為n=(1,1,1),則d==33.3.設(shè)A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),則點D到平面ABC的距離為________.

【解析】設(shè)平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z).所以n·=0,n·=0,所以(即2x-令z=-2,則n=(3,2,-2).又因為=(-7,-7,7),所以點D到平面ABC的距離為d==|3×(-7答案:494.在長方體OABC-O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,AA1=2,求O1到直線AC的距離.【解析】方法一:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0),過O1作O1D⊥AC于點D,設(shè)D(x,y,0),則=(x,y,-2),=(x-2,y,0).因為=(-2,3,0),⊥,∥,所以-2x所以D1813所以||=18132+12即O1到直線AC的距離為2286方法二:連接AO1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0),所以=(-2,0,2),=(-2,3,0),所以·=(-2,0,2)·(-2,3,0)=4,a==(-2,0,2),u==-213,313所以=413,所以O(shè)1到直線AC的距離d=a2-(a一、選擇題1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=a,AA1=2a,則點D1到直線AC的距離為()A.3a B.32a C.22a3 【解析】選D.方法一:連接BD,AC交于點O(圖略),則D1O=(2a)2+方法二:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,易得C(a,a,0),D1(0,a,2a),取a==(-a,0,2a),u==22,2則點D1到直線AC的距離為a2-(a·u2.Rt△ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=95,則點P到斜邊AB的距離是(A.3 B.9 C.12 D.23【解析】選A.以點C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(4,0,0),B(0,3,0),P0,所以=(-4,3,0),=-4,0所以點P到AB的距離d==16+8125-3.若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則直線A1C1到平面ACD1的距離為() B.33 C.36【解析】選B.因為A1C1∥AC,AC?平面ACD1,A1C1?平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1,則點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易知=(0,0,1),由題得AC⊥BD,AC⊥BB1,BD∩BB1=B,BD,BB1?平面BDB1,所以AC⊥平面BDB1,所以AC⊥DB1,同理AD1⊥DB1,因為AC∩AD1=A,AC,AD1?平面ACD1,所以DB1⊥平面ACD1,所以是平面ACD1的一個法向量,所以平面ACD1的一個法向量為=(1,-1,1),故所求的距離為=13=33.4.(2022·揚(yáng)州高二檢測)已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1,則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為()A.36 B.33 C.23【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0),設(shè)平面A1C1D的一個法向量為m=(x,y,1),則即x解得x故m=(1,1,1),顯然平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d==13=335.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,D,E分別是CC1與A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,則點A1到平面ABD的距離為()A.63 B.263 C.【解析】選B.由題意,以C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CA=CB=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,0,1),A1(a,0,2),可得Ea2Ga3,a3,13,=因為點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,所以GE⊥平面ABD,所以·=0,即a6×0+a6×(-a)+解得a=2,即=13,則點A1到平面ABD的距離為d=2||=263二、填空題6.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點,則直線MN到平面ACD1的距離為________;點D到平面ACD1的距離為________.

【解析】如圖,以點D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M1,1,1所以=0,1,12,=(-1,1,0),設(shè)平面ACD1的法向量為n=x,則即-x令x=1,則y=z=1,所以n=(1,1,1),所以點M到平面ACD1的距離d==32.又12,故MN∥平面ACD1.故直線MN到平面ACD1的距離為32.又=(1,0,0),所以點D到平面ACD1的距離為d==13=33答案:327.(2022·如皋高二檢測)已知直線l經(jīng)過點A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直線與l垂直,則點P(4,3,2)到l的距離為________.

【解析】因為=(-2,0,-1),又n與l垂直,所以點P到l的距離為=|-2+1|2=答案:28.如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點.則點D到平面PEF的距離為________;直線AC到平面PEF的距離為________.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,12,0,F12,1,0,=1,設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z),則即x+解得x=y,令x=y=2,得n=(2,2,3),因此,點D到平面PEF的距離為=317=317因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC,又EF?平面PEF,所以AC∥平面PEF,所以直線AC到平面PEF的距離為=117=1717答案:317179.如圖,空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,點M,N分別是邊AB,CD的中點,則MN的長為________.

【解析】設(shè)=p,=q,=r,由題意可知,|p|=|q|=|r|=1,且p,q,r三個向量兩兩夾角均為60°,=-=12-12=12(q+r-p),所以||2=·=14q+r-p·(q+r-p)=14[q2+r2+p2+2(q·r-q·p-r·p)]=所以||=22,即MN的長為22答案:2三、解答題10.在三棱錐B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱長AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求點D到平面ABC的距離.【解析】如圖所示,以AD的中點O為原點,以O(shè)D,OC所在直線為x軸,y軸,過O作OM⊥平面ACD交AB于點M,以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A-1B3-12,0,1所以=12,32,0=-12設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC的法向量,則y=-33x,z=-3x,取n=(-3代入d=,得d=32+32即點D到平面ABC的距離是3913一、選擇題1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,若點P滿足=35+13+14,則點P到直線AB的距離為()A.25144 B.512 C.1320 【解析】選B.如圖,過點P作PM⊥平面ABCD于點M,過點M作NM⊥AB于點N,連接PN,則PN的長即為所求,因為滿足=35+13+14,所以AN=35,MN=13,MP=所以PN=MN2+2.如圖,在四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,BC=BD=2,點E是CD的中點,若直線AB與平面ACD所成角的正弦值為13,則點B到平面ACD的距離為(A.22 B.43 C.223 【解析】選B.在四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,以B為原點,BC所在直線為x軸,BD所在直線為y軸,BA所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,BC=BD=2,點E是CD的中點,設(shè)BA=t,則A(0,0,t),B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),=(0,0,-t),=(-2,0,t),=(-2,2,0),設(shè)平面ACD的法向量n=(x,y,z),則,取x=1,得n=1,因為直線AB與平面ACD所成角的正弦值為13所以=2(-t)2解得t=4(t=-4,舍),所以平面ACD的法向量n=1,1,所以點B到平面ACD的距離為d==294=43.在棱長為1的正四面體ABCD中,M為AD上的一點,且AM=13AD,N為AC的中點,則點A到平面BMN的距離為(A.105 B.55 C.1010 【解析】選C.取BC的中點E,連接AE交BN于點O,連接DO.因為四面體ABCD為正四面體,N,E分別為AC,BC的中點,所以O(shè)為等邊三角形ABC的中心,且DO⊥平面ABC,以N為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,其中DO∥z軸,因為正四面體ABCD的棱長為1,所以AO=23AE=23×1-所以DO=1-13則A0,-12,0,D36所以=32,因為AM=13AD,即=13,所以M318所以=318,-設(shè)平面BMN的法向量為n=(x,y,z),則令z=3,則x=0,y=6,所以n=(0,6,3),又=0,1所以點A到平面BMN的距離d==626+9=104.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若棱長為1,點E,F分別為線段B1D1,BC1上的動點,則下列結(jié)論正確的是()A.DB1⊥面ACD1B.面A1C1B∥面ACD1C.點F到面ACD1的距離為定值3D.直線AE與面BB1D1D所成角的正弦值為定值1【解析】選ABC.以A為坐標(biāo)原點可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),設(shè)E(x,y,1),=λ,即(x-1,y,0)=(-λ,λ,0),所以E(1-λ,λ,1),設(shè)F(1,y',z'),=μ,即(0,y',z')=(0,μ,μ),所以F(1,μ,μ).對于A,因為=(1,-1,1),=(1,1,0),=(0,1,1),所以所以DB1⊥AC,DB1⊥AD1,又AC,AD1?平面ACD1,AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1,A正確;對于B,因為DB1⊥平面ACD1,所以=(1,-1,1)為平面ACD1的一個法向量,因為=(1,1,0),=(1,0,-1),所以所以DB1⊥A1C1,DB1⊥A1B,又A1C1,A1B?平面A1C1B,A1C1∩A1B=A1,所以DB1⊥平面A1C1B,所以平面A1C1B∥平面ACD1,B正確;對于C,因為=(1,μ,μ),所以點F到面ACD1的距離d==13=33,為定值,C正確對于D,因為幾何體為正方體,所以AC⊥平面BB1D1D,所以=(1,1,0)是平面BB1D1D的一個法向量,又=(1-λ,λ,1),設(shè)直線AE與平面BB1D1D所成角為θ,則sinθ==12·2λ2-二、填空題5.(2022·天津高二檢測)已知點P(5,3,6),直線l過點A(2,3,1),且一個方向向量為l=(1,0,-1),則點P到直線l的距離為________.

【解析】由題設(shè),=(3,0,5),所以|cos<,l>|==22×34=1717,故sin<,l>=4所以P到直線l的距離為||·sin<,l>=34×41717=42.答案:426.已知三棱錐P-ABC的每個頂點都在球O的球面上,PA,PB,PC兩兩互相垂直,且2PB=PA=PC,若球O的表面積為36π,則球心O到平面ABC的距離為________.

【解析】因為在三棱錐中PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以可把該三棱錐看作一個長方體的一部分,將該三棱錐補(bǔ)形,得到長方體PADC-BEFG,此長方體內(nèi)接于球O,長方體的體對角線為球的直徑,球心O為長方體對角線的中點,設(shè)球O的半徑為R,球O的表面積S=4πR2=36π,則R=3,設(shè)PB=x,則x2+(2x)2×22=3,解得x=2,即PB=2,所以PA=PC=4,以點P為坐標(biāo)原點,分別以PA,PC,PB方向為x軸則O(2,2,1),A(4,0,0),C(0,4,0),P(0,0,0),B(0,0,2),所以=(-4,0,2),=(-4,4,0),=(-2,-2,1),設(shè)平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z),則即則z令x=1,得n=(1,1,2).設(shè)球心O到平面ABC的距離為d,因為=(2,-2,-1),則d==21+1+4=63.答案:6三、解答題7.如圖,已知四棱錐S-ABCD,SA⊥底面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,AB=4,BC=3,AS=4,E是AB的中點,F在BC上,且BF=12FC,求點A到平面SEF的距離【解