九年級(jí)中考專(zhuān)題訓(xùn)練解直角三角形

第19講解直角三角形及其應(yīng)用一、選擇題1．(2022·天津)2sin45°的值等于（）A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．22．(2022·雅安)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，若AC＝6，則BC的長(zhǎng)為（）B．12C．6eq\r(3)D．12eq\r(3)3．(2022·長(zhǎng)沙)從一艘船上測(cè)得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角為30°時(shí)，船離燈塔的水平距離是（）A．42eq\r(3)米B．14eq\r(3)米C．21米D．42米4．(2022·安徽)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝eq\f(4,5)，則BD的長(zhǎng)度為（）A.eq\f(9,4)B．eq\f(12,5)C．eq\f(15,4)D．45．(2022·荊州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的斜邊OA在第一象限，并與x軸的正半軸夾角為30°.C為OA的中點(diǎn)，BC＝1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．(eq\r(3)，eq\r(3))B．(eq\r(3)，1)C．(2，1)D．(2，eq\r(3))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))6．(2022·西寧)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，BC＝6，CD＝5，則∠ACD的正切值是（）A．eq\f(4,3)B．eq\f(3,5)C．eq\f(5,3)D．eq\f(3,4)7．(2022·黔西南州)如圖，某停車(chē)場(chǎng)入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長(zhǎng)為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A．eq\f(4,sinα)米B．4sinα米C．eq\f(4,cosα)米D．4cosα米eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))8．(2022·聊城)如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（）A．eq\f(3\r(5),5)B．eq\f(\r(17),5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)9．如圖，某同學(xué)在樓房的A處測(cè)得荷塘的一端B處的俯角為24°，荷塘另一端點(diǎn)D與點(diǎn)C，B在同一直線上，已知樓房AC＝32米，CD＝16米，則荷塘的寬BD為(sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈.結(jié)果精確到（）米B．米C．米D．米二、填空題10．在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11題圖))11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝eq\f(3,5)，則BC的長(zhǎng)為．12．(2022·棗莊)人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具(如圖).若AB，AC的長(zhǎng)都為2m，當(dāng)α＝50°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度AD是m．(結(jié)果精確到m，參考依據(jù)sin50°≈，cos50°≈，tan50°≈eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))13．如圖，甲，乙兩艘船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲船沿北偏東45°的方向前進(jìn)，乙船沿北偏東75°方向以每小時(shí)30海里的速度前進(jìn)，兩船航行兩小時(shí)分別到達(dá)B，C處，此時(shí)測(cè)得甲船在乙船的正西方向，則甲船每小時(shí)行駛_海里．14．(2022·自貢)如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥長(zhǎng)6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD長(zhǎng)為米(結(jié)果保留根號(hào)).三、解答題15．(2022·黃石)如圖是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房AB的樓頂，測(cè)量對(duì)面的乙棟樓房CD的高度．已知甲棟樓房AB與乙棟樓房CD的水平距離AC＝18eq\r(3)米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是30°，底部C點(diǎn)的俯角是45°，求乙棟樓房CD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).16．(2022·遵義)某校為檢測(cè)師生體溫，在校門(mén)安裝了某型號(hào)測(cè)溫門(mén)．如圖為該測(cè)溫門(mén)截面示意圖，已知測(cè)溫門(mén)AD的頂部A處距地面高為m，為了解自己的有效測(cè)溫區(qū)間．身高m的小聰做了如下實(shí)驗(yàn)：當(dāng)他在地面N處時(shí)測(cè)溫門(mén)開(kāi)始顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭B處測(cè)得A的仰角為18°；在地面M處時(shí)，測(cè)溫門(mén)停止顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭C處測(cè)得A的仰角為60°.求小聰在地面的有效測(cè)溫區(qū)間MN的長(zhǎng)度．(額頭到地面的距離以身高計(jì)，計(jì)算精確到m，sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈17．(2022·廣西北部灣)如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島40nmile的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行．(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近(結(jié)果保留根號(hào))?(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行20eq\r(6)nmile到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少(結(jié)果保留根號(hào))?能力提升1．(2022·深圳)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝eq\f(1,2)，eq\f(BO,OD)＝eq\f(4,3)，則eq\f(S△ABD,S△CBD)＝．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))2．如圖，在四邊形ABCD中，tan∠ABC＝eq\f(7,6)，BD為對(duì)角線，∠ABD＋∠BDC＝90°，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝eq\f(2,3)DE，EC＝DC＝5，則△ABC的面積為_(kāi)．第19講解直角三角形及其應(yīng)用一、選擇題1．(2022·天津)2sin45°的值等于(B)A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．22．(2022·雅安)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，若AC＝6，則BC的長(zhǎng)為(C)B．12C．6eq\r(3)D．12eq\r(3)3．(2022·長(zhǎng)沙)從一艘船上測(cè)得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角為30°時(shí)，船離燈塔的水平距離是(A)A．42eq\r(3)米B．14eq\r(3)米C．21米D．42米4．(2022·安徽)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝eq\f(4,5)，則BD的長(zhǎng)度為(C)A.eq\f(9,4)B．eq\f(12,5)C．eq\f(15,4)D．45．(2022·荊州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的斜邊OA在第一象限，并與x軸的正半軸夾角為30°.C為OA的中點(diǎn)，BC＝1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(B)A．(eq\r(3)，eq\r(3))B．(eq\r(3)，1)C．(2，1)D．(2，eq\r(3))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))6．(2022·西寧)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，BC＝6，CD＝5，則∠ACD的正切值是(D)A．eq\f(4,3)B．eq\f(3,5)C．eq\f(5,3)D．eq\f(3,4)7．(2022·黔西南州)如圖，某停車(chē)場(chǎng)入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長(zhǎng)為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為(B)A．eq\f(4,sinα)米B．4sinα米C．eq\f(4,cosα)米D．4cosα米eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))8．(2022·聊城)如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為(D)A．eq\f(3\r(5),5)B．eq\f(\r(17),5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)9．如圖，某同學(xué)在樓房的A處測(cè)得荷塘的一端B處的俯角為24°，荷塘另一端點(diǎn)D與點(diǎn)C，B在同一直線上，已知樓房AC＝32米，CD＝16米，則荷塘的寬BD為(sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈.結(jié)果精確到(A)米B．米C．米D．米二、填空題10．在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__3__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11題圖))11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝eq\f(3,5)，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_8__．12．(2022·棗莊)人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具(如圖).若AB，AC的長(zhǎng)都為2m，當(dāng)α＝50°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度AD是．(結(jié)果精確到m，參考依據(jù)sin50°≈，cos50°≈，tan50°≈eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))13．如圖，甲，乙兩艘船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲船沿北偏東45°的方向前進(jìn)，乙船沿北偏東75°方向以每小時(shí)30海里的速度前進(jìn)，兩船航行兩小時(shí)分別到達(dá)B，C處，此時(shí)測(cè)得甲船在乙船的正西方向，則甲船每小時(shí)行駛__15(eq\r(3)－1)__海里．

14．(2022·自貢)如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥長(zhǎng)6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD長(zhǎng)為_(kāi)_6eq\r(2)__米(結(jié)果保留根號(hào)).三、解答題15．(2022·黃石)如圖是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房AB的樓頂，測(cè)量對(duì)面的乙棟樓房CD的高度．已知甲棟樓房AB與乙棟樓房CD的水平距離AC＝18eq\r(3)米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是30°，底部C點(diǎn)的俯角是45°，求乙棟樓房CD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).解：如解圖所示，由題意得：BE＝AC＝18eq\r(3)，CE＝AB，∠DBE＝30°，∠CBE＝45°，在Rt△EDB中，∠DBE＝30°，eq\f(DE,BE)＝tan30°，∴DE＝BE×tan30°＝18eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝18，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°－45°＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴CE＝AB＝AC＝18eq\r(3)，∴CD＝DE＋CE＝18＋18eq\r(3)(米).答：乙棟樓房CD的高度為(18＋18eq\r(3))米．16．(2022·遵義)某校為檢測(cè)師生體溫，在校門(mén)安裝了某型號(hào)測(cè)溫門(mén)．如圖為該測(cè)溫門(mén)截面示意圖，已知測(cè)溫門(mén)AD的頂部A處距地面高為m，為了解自己的有效測(cè)溫區(qū)間．身高m的小聰做了如下實(shí)驗(yàn)：當(dāng)他在地面N處時(shí)測(cè)溫門(mén)開(kāi)始顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭B處測(cè)得A的仰角為18°；在地面M處時(shí)，測(cè)溫門(mén)停止顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭C處測(cè)得A的仰角為60°.求小聰在地面的有效測(cè)溫區(qū)間MN的長(zhǎng)度．(額頭到地面的距離以身高計(jì)，計(jì)算精確到m，sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈解：如解圖，延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，則AE＝AD－DE＝m．BE＝eq\f(AE,tan18°)≈m，CE＝eq\f(AE,tan60°)≈m．所以BC＝BE－CE＝m．所以MN＝BC≈m.答：小聰在地面的有效測(cè)溫區(qū)間MN的長(zhǎng)度約為m．17．(2022·廣西北部灣)如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島40nmile的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行．(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近(結(jié)果保留根號(hào))?(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行20eq\r(6)nmile到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少(結(jié)果保留根號(hào))?解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，由題意可知∠BAM＝45°，則∠ABM＝45°，在Rt△ABM中，AB＝40nmile，∴BM＝AM＝eq\f(\r(2),2)AB＝20eq\r(2)nmile，∴漁船航行20eq\r(2)nmi