數(shù)據(jù)處理與實驗設(shè)計

數(shù)據(jù)處理與實驗設(shè)計第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日實驗數(shù)據(jù)的整理誤差分析整理列表曲線標繪求取數(shù)學模型第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)實驗數(shù)據(jù)的列表整理評定實驗精度的幾個特征值

1.平均值

2.均方差3.平均值標準差算術(shù)平均值加權(quán)平均值等精度測量不等精度測量第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)實驗數(shù)據(jù)的列表整理實驗數(shù)據(jù)的初步整理步驟

1.求出算術(shù)平均值2.求出各測定值的均方差3.確定其最大可能誤差，并驗證各測定誤差是否超過最大可能誤差4.確定其算術(shù)平均值的均方差第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)實驗數(shù)據(jù)的列表整理例：整理某亞高效過濾器灰塵穿透個數(shù)的結(jié)果

第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)實驗數(shù)據(jù)的列表整理1.求出算術(shù)平均值2.求出各測定值的均方差3.確定其最大可能誤差，并驗證各測定誤差是否超過最大可能誤差最大可能誤差第六個測定值不可靠第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日4.確定其算術(shù)平均值的均方差第一節(jié)實驗數(shù)據(jù)的列表整理算術(shù)平均值練習題如果實驗中，某氣體流量計的相對誤差為12％，那么，應(yīng)指定量測多少次，才能保證其結(jié)果的相對精度是10％，5％，3％和1％？第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)實驗數(shù)據(jù)的列表整理三.實驗結(jié)果的數(shù)據(jù)表1.標題應(yīng)該醒目，恰當?shù)恼f明主題；2.數(shù)據(jù)的名稱和單位，應(yīng)在表格的名稱欄中表明，不宜和數(shù)字附在一起；3.“過大”或“過小”的數(shù)據(jù)，應(yīng)該用“乘數(shù)10”來表達，并將它放在表頭；4.表中的數(shù)字應(yīng)與測定精確度相適應(yīng)，注意有效數(shù)字的運算和寫法第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)實驗數(shù)據(jù)的插值差值法：就是根據(jù)已知實驗點的數(shù)據(jù)，找出一個原函數(shù)關(guān)系的簡單表達式，時他們在給定的若干點處符合實驗值，用詞表達式近似的找出差值點的數(shù)值。內(nèi)插法外推法常用的方法：線型插值法，圖解法，拉格朗日法及樣條函數(shù)法第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)實驗數(shù)據(jù)的插值例：已經(jīng)測得不同直徑的圓柱中心冷卻速度如下：圖解法：

選一個坐標系，以橫坐標表示圓柱直徑，縱坐標表示中心冷卻速度，然后將已知的測定點標注在圖上，用光滑曲線將這些點連接起來，即得到了近似的函數(shù)曲線。在曲線上，找出橫坐標為40的點，那么縱坐標即為所求的插值結(jié)果。求40cm的圓柱中心冷卻速度。第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)實驗數(shù)據(jù)的插值第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)實驗數(shù)據(jù)的插值線性插值法：

線性插值就是我們早已用過的部分正比法，他是把插值區(qū)間的函數(shù)關(guān)系，近似當作直線來處理。設(shè)被插值的原函數(shù)，，的值分別為則通過此兩點，的直線方程為：

第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)實驗數(shù)據(jù)的插值第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日拉格朗日法：

設(shè)為給定的節(jié)點，，為相應(yīng)的函數(shù)值，求一個次數(shù)不超過的多項式，使其滿足，.這類問題稱為插值問題。稱為被插值函數(shù)，稱為插值函數(shù)，稱為插值節(jié)點一、問題提出第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日y=f(x)Oyxy=p(x)

幾何解釋

求代數(shù)多項式，使其通過給定的點，并用它近似已知曲線.第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日

定理1

設(shè)為給定的彼此互異的個插值節(jié)點，則存在唯一的次數(shù)不超過的多項式，滿足條件,.二、存在唯一性第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、Lagrange插值多項式的構(gòu)造

求一個n次多項式,使其滿足如下條件

其中為Kroneker符號.注意到當時,為的根,故可設(shè),其中C為待定常數(shù).此時由另一條件當時,得,

得到常數(shù)C,進而得到基函數(shù)

從而Lagrange插值多項式可以表示為

第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日四、線性插值和拋物插值

當n=1時,插值結(jié)點為,相應(yīng)的函數(shù)值為,插值基函數(shù)滿足故線性插值多項式可表示為

幾何意義:通過兩點的直線.

第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日

當n=2時,插值結(jié)點為,相應(yīng)的函數(shù)值為,插值基函數(shù)滿足

故拋物插值多項式可表示為

幾何意義:通過三點的拋物線.

第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)實驗數(shù)據(jù)的插值有了這n個n－1次多項式，可寫出插值多項式

本例已知：x1=19;x2=25;x3=25;x4=75;y1=105;y2=55;y3=19;y4=10;求x＝40時y的值。第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日例2.求過點(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項式。第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日解：用4次插值多項式對5個點插值

第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日

第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日于是有第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日評價優(yōu)點:Lagrange基函數(shù)容易構(gòu)造,結(jié)構(gòu)緊湊,便于理論研究.缺點:當增加或減少插值結(jié)點時,基函數(shù)需要重新構(gòu)造,不便于實際的計算使用第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線4-2-2圖解法處理實驗數(shù)據(jù)作圖時要先整理出數(shù)據(jù)表格，并要用坐標紙作圖。作圖步驟：實驗數(shù)據(jù)列表如下1、選擇合適的坐標分度值，確定坐標紙的大小坐標分度值的選取應(yīng)能反映測量值的有效位數(shù)，一般以1～2mm對應(yīng)于測量儀表的最小分度值或?qū)?yīng)于測量值的次末位數(shù)）。作圖六點要求：第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、標明坐標軸：用粗實線畫坐標軸，用箭頭標軸方向，標坐標軸的名稱或符號、單位,再按順序標出坐標軸整分格上的量值。4、連成圖線：用直尺、曲線板等把點連成直線、光滑曲線。一般不強求直線或曲線通過每個實驗點，應(yīng)使圖線兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖線正穿過實驗點時可以在點處斷開。3、標實驗點：實驗點可用“+”、“*”、“?！钡确枠顺觯ㄍ蛔鴺讼迪虏煌€用不同的符號）。第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)5.標出圖線特征：在圖上空白位置標明實驗條件或從圖上得出的某些參數(shù)。利用所繪直線可給出被測電阻R大?。簭乃L直線上讀取兩點A、B的坐標就可求出R值。6.標出圖名：在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。電阻伏安特性曲線第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日圖2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學元件伏安特性曲線橫軸坐標分度選取不當。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍。第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日改正為：I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學元件伏安特性曲線第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日定容氣體壓強～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當。實際作圖時，坐標原點的讀數(shù)可以不從零開始。第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日改正為：定容氣體壓強～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線一.坐標的選擇1.直角坐標；優(yōu)點：最常用的方式，也是最熟悉的方式優(yōu)點：A變量之一在所研究的范圍內(nèi)，有若干數(shù)量級的變化時，例如橫坐標在20，40，60，80，100，500，1000，2000，4000，此橫坐標，如采用直角坐標的花，曲線開始部分的坐標點幾乎無法描繪。B當自變量在起始階段的少許變化，引起因變量有劇烈變化時C當需要將非線性函數(shù)關(guān)系，變換成執(zhí)行函數(shù)關(guān)系時。2.單對數(shù)坐標紙；第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線3.雙對數(shù)坐標；4.極坐標；第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日二比例尺的選擇

1.兩個坐標比例尺應(yīng)遵守的比例法則

第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線保證兩個坐標軸各自所取的比例應(yīng)遵守一定的關(guān)系兩軸比例尺的選擇應(yīng)保證“雙雙誤差”面積成正方形第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線二.比例尺的選擇1.兩個坐標比例尺應(yīng)遵守的比例法則；

兩軸比例尺的選擇應(yīng)保證“雙雙誤差”面積成正方形。例：

當自變量x為1，2，3，4時，因變量y為8.0，8.2，8.3，8.0?，F(xiàn)在任取坐標軸比例尺來作圖，如縱坐標比例尺取得過分短或者過分長時，所獲得兩個曲線則完全不同。第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線

在本例子中，自變量測定誤差為0.05，而因變量測量誤差為0.02。

取沿x軸1單位為20mm，實驗點的底邊在圖上的寬度：

為保證點的高度在圖上也等于2mm時，縱坐標1個單位就應(yīng)等于Mmm（M為待定比例尺），即按第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線2.單坐標軸比例尺的選擇1.比例尺的大小，應(yīng)保證所描出的實驗誤差“點”的面積，通常在2－4mm2之內(nèi)，且應(yīng)使所有測試數(shù)據(jù)易于在圖面上繪出確切的坐標點。2.自變量至于x軸上，因變量置于y軸上，沿y軸標示的變量應(yīng)該包括所研究區(qū)間的全部變化值；3.應(yīng)使所繪曲線，占滿坐標紙面，如果是直線關(guān)系，應(yīng)使其盡量接近一根斜率為1的直線。第三十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)如何正確的繪制實驗結(jié)果曲線四.通過數(shù)據(jù)點描繪曲線的方法1.標繪數(shù)據(jù)點是，可用各種符號，如圓