數(shù)值分析三次樣條插值

數(shù)值分析三次樣條插值第一頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作2高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值）Hermite插值分段插值但分段線性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑分段Hermite插值但導(dǎo)數(shù)值不容易提取（找到）三次樣條插值（先由函數(shù)值確定導(dǎo)數(shù)值，再由分段Hermite插值解決問題）舉例：1汽車、船的外形設(shè)計(jì)，流體力學(xué)等要求流線型（光滑）；2木樣條的來源。背景第二頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作3什么是樣條:樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項(xiàng)式拼合而成的曲線在拼接處,不僅函數(shù)是連續(xù)的,且一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的1946年,Schoenberg將樣條引入數(shù)學(xué),即所謂的樣條函數(shù)一、三次樣條插值函數(shù)定義1.第三頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作4------(1)第四頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作5二、三次樣條插值多項(xiàng)式------(2)第五頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作6------(3)------(4)第六頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作7少兩個(gè)條件并且我們不能只對(duì)插值函數(shù)在中間節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行限制也要對(duì)插值多項(xiàng)式在兩端點(diǎn)的狀態(tài)加以要求也就是所謂的邊界條件:第一類(轉(zhuǎn)角)邊界條件:第二類(彎矩)邊界條件第三類(周期)邊界條件------(5)------(6)------(7)第七頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作8加上任何一類邊界條件(至少兩個(gè))后一般使用第一、二類邊界條件,即------(8)或常用第二類邊界條件第八頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作92、三彎矩構(gòu)造法三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達(dá)式，有時(shí)用二階導(dǎo)數(shù)值表示時(shí)，使用更方便。在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個(gè)彎矩有關(guān)，故稱用表示的算法為三彎矩算法。對(duì)積分兩次,并利用插值條件定出積分常數(shù),可以得到由于在區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，故在上是線性函數(shù)，可表示為其中第九頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作10

這是三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)求出后,就由上式完全確定.對(duì)求導(dǎo)得由此可得當(dāng)時(shí),的表達(dá)式可得,因此有

利用條件得第十頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作11其中

上述方程組是關(guān)于的方程組,有個(gè)未知數(shù),但只有個(gè)方程.可由前面給出的任一種邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程。

對(duì)于轉(zhuǎn)角邊界條件，可以導(dǎo)出兩個(gè)方程第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作12這樣可解出，從而得的表達(dá)式,若令

則方程組可以寫成矩陣形式對(duì)于彎矩邊界條件,直接得然后再求解矩陣方程。第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作13對(duì)于周期性邊界條件，有可解出，方程組的矩陣形式為其中第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作14例1.對(duì)于給定的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)值解:第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作15得方程組第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作16第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日華長(zhǎng)生制作17定理.設(shè)在[a,b]上連續(xù)，s(x)為滿足轉(zhuǎn)角邊界條件（或彎矩邊界條件）的三次樣條插值函數(shù)，則對(duì)任意有