數(shù)學(xué)建模決策分析

數(shù)學(xué)建模決策分析第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日決策分析模型一、概述在決策問題中，每個可供選擇的方案稱之為行動，記為a，而所有可能行動a的集合稱為行動空間，記為A。行動是決策系統(tǒng)的自變量，它可以是連續(xù)的，也可以是離散的。

例如，某地要創(chuàng)建出租車公司，制定了三種購車方案：100輛、150輛、200輛，這里的行動就是一個離散變量。

又如，某食品銷售公司考慮購進(jìn)一批食用油，要制定一個利潤大、庫存積壓少的購入量方案，這時的行動就是一個連續(xù)變量。2第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日方案確定以后，所產(chǎn)生的后果是否唯一確定，有時還取決于一些決策者無法控制的因素。在決策中，把行動確定以后，目標(biāo)值所含的參數(shù)s稱為狀態(tài)，s的集合稱作狀態(tài)空間，記為Ω。狀態(tài)取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的。例如，某企業(yè)經(jīng)營是否盈利可以分為盈利、盈虧平衡、虧損三種離散狀態(tài)。企業(yè)經(jīng)營狀況也可以使用量化指標(biāo)表示成連續(xù)值。

行動在狀態(tài)下產(chǎn)生的后果，可以用收益或損失表示，在決策中，收益函數(shù)、損失函數(shù)均稱為決策函數(shù)，記為F（s，a）。決策函數(shù)是決策的依據(jù)，它與行動空間、狀態(tài)空間一直構(gòu)成了決策系統(tǒng)，記為（Ω，A，F(xiàn)）。3第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日決策分類確定性決策非確定性決策不確定性決策風(fēng)險決策決策環(huán)境（狀態(tài)空間）確定（唯一的）大致概率完全不確定4第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1、某石油公司計劃開發(fā)海底石油，有四種勘探方案A1,

A2,

A3,

A4可供選擇。勘探尚未進(jìn)行，只知可能有以下三種結(jié)果：S1:干井，

S2：油量中等，S3:油量豐富，對應(yīng)于各種結(jié)果各方案的損益情況已知，應(yīng)如何決策？

例2、某洗衣機廠，根據(jù)市場信息，認(rèn)為全自動洗衣機應(yīng)發(fā)展?jié)L筒式，有兩種方案。A1:改造原生產(chǎn)線，

A2：新建生產(chǎn)線。市場調(diào)查知，滾筒式銷路好的概率為0.7，銷路不好為0.3。兩種方案下各種情況的損益情況已知，應(yīng)如何決策？5第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日確定性決策方法

根據(jù)行動的性質(zhì)，確定性決策問題可以劃分為離散型和連續(xù)型兩種，由于同一問題往往有多種處理方法，因此，這里只能簡單介紹幾種常用方法。1、加權(quán)評分法在行動方案有限且離散的情況下，加權(quán)評分法是確定性問題的一種簡便決策方法，該方法把方案涉及到的因素用指標(biāo)表示，同時考慮不同指標(biāo)在不同方案下的不同作用（指標(biāo)值）及各指標(biāo)重要性（指標(biāo)權(quán)重）的差異，指標(biāo)權(quán)重和指標(biāo)值經(jīng)算術(shù)和，綜合成一個可比量值，來實現(xiàn)方案選優(yōu)。這種方法能從主觀和客觀兩方面反映問題，所產(chǎn)生的結(jié)果一般比較符合實際。6第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日2、微分法當(dāng)行動是連續(xù)變量，或者行動雖是離散變量，但其取值個數(shù)很多，甚至是無窮多，行動的取什多一個或少一個數(shù)量間接對行動結(jié)局基本沒有影響，可用微分法求最佳行動。微分法的理論依據(jù)是極值理論，其決策準(zhǔn)則是；使收益函數(shù)達(dá)到最大或使損失函數(shù)達(dá)到最小的行動就是最佳行動，因此，求最佳行動就是求函數(shù)的最大值（或最小值）。7第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日3、數(shù)學(xué)規(guī)劃法上面介紹的加權(quán)評分法和微分法是確定性決策方法中的兩種古典方法，其出發(fā)點在于求收益函數(shù)的最大值和損失函數(shù)的最小值。這兩種方法通常適用于變量不多的決策問題，隨著變量增加其適用性越來越差。近幾十年來，隨著運籌學(xué)等數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，以數(shù)學(xué)規(guī)劃理論為基礎(chǔ)的一整套最優(yōu)化方法在決策方面起著越來越重要的作用。例如，處理多變量決策問題的線性規(guī)劃法，處理離散變量決策問題的整數(shù)規(guī)劃法等。8第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日第一節(jié)：不確定性決策例1、電視機廠，99年產(chǎn)品更新方案：A1：徹底改型

A2：只改機芯，不改外殼A3：只改外殼，不改機芯問：如何決策？9第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日收益矩陣：高中低

S1S2S3(萬元)A1201-6A2980

A3654事件方案10第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日(一)、樂觀準(zhǔn)則(最大最大法則)max[maxVij]ij選A1

S1S2S3Vi=max{Vij}A1201-620A29809A36546maxVi=20i

樂觀原則是一種冒險的決策模式，它反映了決策者的樂觀情緒和風(fēng)險意識。這種模式適用于最好狀態(tài)發(fā)生的可能性很大，或研究對象承受風(fēng)險能力強的情況。11第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日

悲觀原則反映了決策者的悲觀情緒，是一種保守的決策方法。例如，企業(yè)承受風(fēng)險的能力較差，或最壞的狀態(tài)很可能發(fā)生時，常采用這種決策原則。(二)、悲觀準(zhǔn)則(最大最小法則)max[minVij]ij12第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日選A3

S1S2S3Vi=min{Vij}A1201-6-6A29800A36544maxVi=4ij13第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日

悲觀原則顯得過于悲觀保守，而樂觀原則又顯得太冒險，這種情況下可采用樂觀系數(shù)法。這種方法要求決策者首先提出一個系數(shù)（用表示，0≤≤1）來表示其樂觀程度。決策者越樂觀，值越接近于1；越悲觀，值越接近于0。因此，這種方法叫樂觀系數(shù)法。這種方法盡管避免了兩種極端情況，但也沒有利用全部可用信息，而且，樂觀系數(shù)的恰當(dāng)確定也是一個難點。(三)、折衷準(zhǔn)則(樂觀系數(shù)準(zhǔn)則)加權(quán)系數(shù)α(0α1)max{α(maxVij)+(1-α)(minVij)}α=0.6ijj14第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日選A1

S1S2S3Vi1=maxVi2=min加權(quán)平均

A1201-620-69.6A2980905.4A3654645.2max=9.6i15第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日max{Vij}1nnj=1i(四)、等可能準(zhǔn)則在缺乏準(zhǔn)確信息的情況下，各行動狀態(tài)是未知的。因此，有理由認(rèn)為每一狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相同的。16第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日選A2S1S2S3Vi=Vij

A1201-65A29805A36545max=523231317第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日(五)、后悔值準(zhǔn)則(最小機會損失)

min{max{max{Vij}-Vij}}

該原則與悲觀原則相似，也帶有保守性質(zhì)，反映了決策者的悲觀情緒。但后悔值原則與悲觀原則又有所不同，其一是它從損失的角度考慮問題，其二它又不是過分保守。ijj18第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日選A1

S1S2S3S1S2S3maxA1201-6071010A2980110411A3654143014min=1019第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日20第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日例：產(chǎn)品，成本30元/件，批發(fā)價35元/件，當(dāng)月售不完－1元/件。每批10件，最大生產(chǎn)力40件/月(批量生產(chǎn)與銷售)，應(yīng)如何決策？010203040Vi=Vij

000000010-1050505050190/520-2040100100100320/530-303090150150390/540-402080140200400/515SiAi21第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日第二節(jié)：風(fēng)險決策(一)、期望值準(zhǔn)則(1)、矩陣法例1S1S2S30.30.50.2A1201-65.3A29806.7A36545.1SiPjAjPjVij選A222第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2S1S2P(S1)=0.70.3A1500-200290A2-1501000195PjVij分析當(dāng)α＝P(S1)為何值時，方案會從A1→A223第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日當(dāng)P(S1)=0.8P(S2)=0.2時，E(A1)=0.8×500+(-200)×0.2=360E(A2)=0.8×(-150)+0.2×(1000)=80,仍A1P(S1)=0.6P(S2)=0.4時E(A1)=220E(A2)=310,選A224第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日一般：E(A1)=α×500+(1-α)(-200)=700α-200E(A2)=α×(-150)+(1-α)(1000)=-1150α+1000令E1=E2得α=0.65稱α=0.65為轉(zhuǎn)折概率α>0.65選A1α<0.65選A225第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)、決策樹法方案分枝概率分枝決策點

標(biāo)決策期望效益值方案點

標(biāo)本方案期望效益值

結(jié)果點

標(biāo)每個方案在相應(yīng)狀態(tài)下面的效益值概率分枝標(biāo)自然狀態(tài)的概率26第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1S1S20.40.6A1100-20

A27510A35030電視機廠試生產(chǎn)三種電視機Ai(i=1,2,3)。市場大、小Sj(j=1,2)。生產(chǎn)哪種？27第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：100-207510503012340.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.428第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：100-20751050303812823633840.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4多級決策問題29第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2、化工原料廠，由于某項工藝不好，影響效益，現(xiàn)廠方欲改革工藝，可自行研究(成功可能為0.6)，買專利(成功可能為0.8)。若成功，則有2種生產(chǎn)方案可選，1是產(chǎn)量不變，2是增產(chǎn)；若失敗，則按原方案生產(chǎn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下。試求最優(yōu)方案。30第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日按原工藝方案生產(chǎn)價低0.1-100-200-300-200-300中0.5050500-250價高0.4100150250200600買專利(0.8)自研(0.6)產(chǎn)量不變增產(chǎn)產(chǎn)量不變增產(chǎn)(萬元)31第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：0.132第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：0.133第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日最優(yōu)決策

買入專利，成功則增產(chǎn)，失敗則保持原產(chǎn)量。34第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日(3)、貝葉斯法(后驗概率法)(Bayes法)處理風(fēng)險決策問題時，需要知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率：P(1)，P(2)，…，P(n)，這些概率稱為先驗概率。風(fēng)險是由于信息不充分造成的，決策過程還可以不斷收集信息，如果收集到進(jìn)一步信息S，對原有各種狀態(tài)出現(xiàn)概率估計可能會有變化，變化后的概率為P(jS)，此條件概率表示在追加信息S后對原概率的一個修正，所以稱為后驗概率。Bayes法就是一種后驗概率方法。35第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日P(jSi)通過概率論中Bayes公式計算得出Bayes公式：

P(j)P(Sij)P(jSi)＝P(Si)其中

p(Si):預(yù)報為Si的概率，P(Si/j):狀態(tài)j被調(diào)查預(yù)報為Si的概率36第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1某鉆井大隊在某地進(jìn)行石油勘探，主觀估計該地區(qū)為有油(1)地區(qū)的概率為

P(1)＝0.5,沒油(2)的概率為

P(2)＝0.5，為提高勘探效果，先做地震試驗，根據(jù)積累資料得知：37第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日有油地區(qū)，做試驗結(jié)果好(F)的概率P(F1)＝0.9有油地區(qū)，做試驗結(jié)果不好(U)的概率P(U1)＝0.1無油地區(qū)，做試驗結(jié)果好(F)的概率P(F2)＝0.2無油地區(qū)，做試驗結(jié)果不好(U)的概率P(U2)＝0.8求：在該地區(qū)做試驗后，有油和無油的概率各為多少？38第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：做地震試驗結(jié)果好的概率P(F)＝P(1)P(F1)＋P(2)P(F2)＝0.5×0.9+0.5×0.2=0.55做地震試驗結(jié)果不好的概率P(U)＝P(1)P(U1)＋P(2)P(U2)＝0.5×0.8+0.5×0.1=0.4539第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日用Bayes公式求解各事件的后驗概率：做地震試驗結(jié)果好的條件下有油的概率

P(1)P(F1)0.459P(1F

)＝==P(F

)0.5511做地震試驗結(jié)果好的條件下無油的概率

P(2)P(F2)0.102P(2F

)＝==P(F

)0.551140第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日用Bayes公式求解各事件的后驗概率：做地震試驗結(jié)果不好的條件下有油的概率

P(1)P(U1)0.051P(1U)＝==P(U

)0.459做地震試驗結(jié)果不好的條件下無油的概率

P(2)P(U2)0.408P(2U

)＝==P(U)0.45941第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2某公司有資金500萬元，如用于某項開發(fā)事業(yè)，估計成功率為96%，一年可獲利潤12％；若失敗則喪失全部資金；若把資金全存在銀行，可獲得年利率6%，為輔助決策可求助于咨詢公司，費用為5萬元，根據(jù)咨詢過去公司類似200例咨詢工作，有下表：42第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日實施結(jié)果投資投資合計咨詢意見成功失敗可以投資1542156次不宜投資38644次合計1928200次試用決策樹方法分析該公司是否應(yīng)該咨詢？資金該如何使用？43第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日T1：咨詢公司意見：可以投資T2：咨詢公司意見：不宜投資E1：投資成功E2：投資失敗44第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日156P(T1)=×100%=0.7820044P(T2)=×100%=0.22200P(E1)=0.96P(E2)=0.0445第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日154P(E1/

T1)==0.9871562P(E2/

T1)==0.01315638P(E1/

T2)==0.865446P(E2/

T2)==0.1354446第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日P(T1)P(T2)42.72投資投資存銀行存銀行47.7247第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日答：求助于咨詢公司如果投資公司給出可以投資意見則投資如果投資公司給出不宜投資意見則存入銀行48第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于地位、經(jīng)驗和性格的不同，決策者對于風(fēng)險決策帶來的風(fēng)險所取的態(tài)度往往存在著很大的差異。例1：設(shè)有兩個決策問題問題一：方案A1：穩(wěn)獲100元；方案B1：獲250元和0元的概率各為41%和59%。問題二：方案A2：穩(wěn)獲10000元；方案B2：擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止，若此時所擲次數(shù)為N，則可獲2N元.直觀上看，多數(shù)人會選A1和A2。（二）效用值決策準(zhǔn)則49第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日但計算期望收益得：E(B1)=0.41×250+0.59×0=102.5>100=E(A1)E(B2)=(1/2)×2+(1/22)×22+(1/23)×23+…=1+1+…=∞>10000=E(A2)因此根據(jù)期望收益最大的原則，應(yīng)該選擇方案B1和B2。這會令實際的決策者難以接受。例1說明，完全根據(jù)期望收益作為評價方案的準(zhǔn)則有時是不合理的。例2、有甲、乙二人，甲提出請乙擲硬幣，并約定：若出正面，乙獲利40元；若出反面，乙向甲支付10元?，F(xiàn)在，乙有兩個選擇，接受甲的建議(方案A)或者不接受甲的建議(記為B)，計算可得乙的期望收益為：E(B)=0；E(A)=0.5×40-0.5×10=1550第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日根據(jù)期望最大化原則，乙應(yīng)該接受甲的建議。如果設(shè)乙是個窮人，手中僅有的10元錢是他一家三天的口糧錢。這時，乙對甲的建議的態(tài)度會發(fā)生變化，很可能寧愿用這10元錢來買全家三天的口糧，不致挨餓，而不去冒投機的風(fēng)險。這個例子說明即使對同一個決策者來說，當(dāng)其所處的地位、環(huán)境不同時，對風(fēng)險的態(tài)度一般也是不同的。上述例子說明：現(xiàn)實中，決策方案的確定不僅僅依據(jù)期望收益最大原則，常要考慮到問題發(fā)生的環(huán)境、時期及決策者對問題的認(rèn)知等方面因素。為此經(jīng)濟學(xué)家提出了效用的概念，并在此基礎(chǔ)上建立了效用理論。51第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日一般來說，效用是一個屬于主觀范疇的概念，是衡量決策方案的總體指標(biāo)，反映決策者對決策問題各因素的總體看法.(1)同一貨幣量，在不同風(fēng)險情況下，對同一決策者來說具有不同的效用值；(2)在同等風(fēng)險程度下，不同決策者對風(fēng)險的態(tài)度不同，即相同的貨幣量在不同人看來具有不同的效用。

效用值是一個相對的指標(biāo)，它的大小表示決策者對于風(fēng)險的態(tài)度，對某事物的傾向和偏差等主觀因素的強弱程度。52第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日為此，在對某個問題提供決策的咨詢意見時，我們可以通過與決策者進(jìn)行對話，來建立相應(yīng)的效用函數(shù)。此效用函數(shù)應(yīng)能在一定的程度上反映決策者在決策問題上的決策偏向和評價標(biāo)準(zhǔn)。于是，利用這種效用函數(shù)作決策，依據(jù)的原則就稱為效用值準(zhǔn)則。在一個決策問題中，通常情況下，我們將可能得到的最大收益值b的效用值取為1；而把可能得到的最小收益值a的效用值取為0。用效用值進(jìn)行決策：首先把要考慮的因素折合成效用值，然后在決策準(zhǔn)則下選出效用值最大的方案，作為最優(yōu)方案。53第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日

如何通過與決策者對話建立相應(yīng)的效用函數(shù)呢？對于一個決策問題，如果最小收益值為a，最大收益值為b，我們以收益x為自變量，[a,b]上的效用函數(shù)設(shè)為U（x），并有U(a)=0,U(b)=1。對于x∈[a,b],U（x）稱為x的效用值，U（x）∈[0,1]。效用函數(shù)曲線用效用量化決策者對風(fēng)險的態(tài)度對每個決策者，都可以確定反映他對風(fēng)險態(tài)度的效用曲線，主要用對比提問法確定效用曲線。54第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日對比提問法：設(shè)計兩種方案A1，A2A1：無風(fēng)險可得一筆金額X2A2：以概率P得一筆金額X3，以概率(1-P)損失一筆金額X1X1<X2<X3，u(xi)表示金額xi的效用值。55第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日在某種條件下，決策者認(rèn)為A1，A2兩方案等效。P·U(x1)+(1-P)U(x3)=U(x2)(

)P,x1,

x2,

x3為4個未知數(shù)。已知其中3個可定第4個。56第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日提問的方式大體有3種：1)每次固定x1,x2,x3的值，改變P，并向決策者提問：“P取何值時，您認(rèn)為A1和A2等價？”2)每次固定P，x2,x3的值，改變x1

，并向決策者提問：“x1取何值時，您認(rèn)為A1和A2等價？”3)每次固定P，x1,x2的值，改變x3

，并向決策者提問：“x3取何值時，您認(rèn)為A1和A2等價？57第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日一般用改進(jìn)的V－M法，即固定P=0.5,每次給出x1,

x3，通過提問定x2，用(*)求出U(x2)5點法，定5個點作圖58第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1、在某次交易中，決策者認(rèn)為：可承擔(dān)的最大損失是-1000萬元可獲得的最大收益是2000萬元U(2000)=1U(-1000)=0提問(1)A1:無風(fēng)險得？你覺得A1，A2等效？A2:以0.5可能得2000萬，0.5可能損失1000萬?；卮?200萬，0.5U(2000)+0.5U(-1000)=U(1200)則U(1200)=0.559