數(shù)學(xué)建模決策分析

數(shù)學(xué)建模決策分析第一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日決策分析模型一、概述在決策問(wèn)題中，每個(gè)可供選擇的方案稱之為行動(dòng)，記為a，而所有可能行動(dòng)a的集合稱為行動(dòng)空間，記為A。行動(dòng)是決策系統(tǒng)的自變量，它可以是連續(xù)的，也可以是離散的。

例如，某地要?jiǎng)?chuàng)建出租車(chē)公司，制定了三種購(gòu)車(chē)方案：100輛、150輛、200輛，這里的行動(dòng)就是一個(gè)離散變量。

又如，某食品銷售公司考慮購(gòu)進(jìn)一批食用油，要制定一個(gè)利潤(rùn)大、庫(kù)存積壓少的購(gòu)入量方案，這時(shí)的行動(dòng)就是一個(gè)連續(xù)變量。2第二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日方案確定以后，所產(chǎn)生的后果是否唯一確定，有時(shí)還取決于一些決策者無(wú)法控制的因素。在決策中，把行動(dòng)確定以后，目標(biāo)值所含的參數(shù)s稱為狀態(tài)，s的集合稱作狀態(tài)空間，記為Ω。狀態(tài)取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的。例如，某企業(yè)經(jīng)營(yíng)是否盈利可以分為盈利、盈虧平衡、虧損三種離散狀態(tài)。企業(yè)經(jīng)營(yíng)狀況也可以使用量化指標(biāo)表示成連續(xù)值。

行動(dòng)在狀態(tài)下產(chǎn)生的后果，可以用收益或損失表示，在決策中，收益函數(shù)、損失函數(shù)均稱為決策函數(shù)，記為F（s，a）。決策函數(shù)是決策的依據(jù)，它與行動(dòng)空間、狀態(tài)空間一直構(gòu)成了決策系統(tǒng)，記為（Ω，A，F(xiàn)）。3第三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日決策分類確定性決策非確定性決策不確定性決策風(fēng)險(xiǎn)決策決策環(huán)境（狀態(tài)空間）確定（唯一的）大致概率完全不確定4第四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日例1、某石油公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)海底石油，有四種勘探方案A1,

A2,

A3,

A4可供選擇?？碧缴形催M(jìn)行，只知可能有以下三種結(jié)果：S1:干井，

S2：油量中等，S3:油量豐富，對(duì)應(yīng)于各種結(jié)果各方案的損益情況已知，應(yīng)如何決策？

例2、某洗衣機(jī)廠，根據(jù)市場(chǎng)信息，認(rèn)為全自動(dòng)洗衣機(jī)應(yīng)發(fā)展?jié)L筒式，有兩種方案。A1:改造原生產(chǎn)線，

A2：新建生產(chǎn)線。市場(chǎng)調(diào)查知，滾筒式銷路好的概率為0.7，銷路不好為0.3。兩種方案下各種情況的損益情況已知，應(yīng)如何決策？5第五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日確定性決策方法

根據(jù)行動(dòng)的性質(zhì)，確定性決策問(wèn)題可以劃分為離散型和連續(xù)型兩種，由于同一問(wèn)題往往有多種處理方法，因此，這里只能簡(jiǎn)單介紹幾種常用方法。1、加權(quán)評(píng)分法在行動(dòng)方案有限且離散的情況下，加權(quán)評(píng)分法是確定性問(wèn)題的一種簡(jiǎn)便決策方法，該方法把方案涉及到的因素用指標(biāo)表示，同時(shí)考慮不同指標(biāo)在不同方案下的不同作用（指標(biāo)值）及各指標(biāo)重要性（指標(biāo)權(quán)重）的差異，指標(biāo)權(quán)重和指標(biāo)值經(jīng)算術(shù)和，綜合成一個(gè)可比量值，來(lái)實(shí)現(xiàn)方案選優(yōu)。這種方法能從主觀和客觀兩方面反映問(wèn)題，所產(chǎn)生的結(jié)果一般比較符合實(shí)際。6第六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日2、微分法當(dāng)行動(dòng)是連續(xù)變量，或者行動(dòng)雖是離散變量，但其取值個(gè)數(shù)很多，甚至是無(wú)窮多，行動(dòng)的取什多一個(gè)或少一個(gè)數(shù)量間接對(duì)行動(dòng)結(jié)局基本沒(méi)有影響，可用微分法求最佳行動(dòng)。微分法的理論依據(jù)是極值理論，其決策準(zhǔn)則是；使收益函數(shù)達(dá)到最大或使損失函數(shù)達(dá)到最小的行動(dòng)就是最佳行動(dòng)，因此，求最佳行動(dòng)就是求函數(shù)的最大值（或最小值）。7第七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日3、數(shù)學(xué)規(guī)劃法上面介紹的加權(quán)評(píng)分法和微分法是確定性決策方法中的兩種古典方法，其出發(fā)點(diǎn)在于求收益函數(shù)的最大值和損失函數(shù)的最小值。這兩種方法通常適用于變量不多的決策問(wèn)題，隨著變量增加其適用性越來(lái)越差。近幾十年來(lái)，隨著運(yùn)籌學(xué)等數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，以數(shù)學(xué)規(guī)劃理論為基礎(chǔ)的一整套最優(yōu)化方法在決策方面起著越來(lái)越重要的作用。例如，處理多變量決策問(wèn)題的線性規(guī)劃法，處理離散變量決策問(wèn)題的整數(shù)規(guī)劃法等。8第八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)：不確定性決策例1、電視機(jī)廠，99年產(chǎn)品更新方案：A1：徹底改型

A2：只改機(jī)芯，不改外殼A3：只改外殼，不改機(jī)芯問(wèn)：如何決策？9第九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日收益矩陣：高中低

S1S2S3(萬(wàn)元)A1201-6A2980

A3654事件方案10第十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日(一)、樂(lè)觀準(zhǔn)則(最大最大法則)max[maxVij]ij選A1

S1S2S3Vi=max{Vij}A1201-620A29809A36546maxVi=20i

樂(lè)觀原則是一種冒險(xiǎn)的決策模式，它反映了決策者的樂(lè)觀情緒和風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)。這種模式適用于最好狀態(tài)發(fā)生的可能性很大，或研究對(duì)象承受風(fēng)險(xiǎn)能力強(qiáng)的情況。11第十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日

悲觀原則反映了決策者的悲觀情緒，是一種保守的決策方法。例如，企業(yè)承受風(fēng)險(xiǎn)的能力較差，或最壞的狀態(tài)很可能發(fā)生時(shí)，常采用這種決策原則。(二)、悲觀準(zhǔn)則(最大最小法則)max[minVij]ij12第十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日選A3

S1S2S3Vi=min{Vij}A1201-6-6A29800A36544maxVi=4ij13第十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日

悲觀原則顯得過(guò)于悲觀保守，而樂(lè)觀原則又顯得太冒險(xiǎn)，這種情況下可采用樂(lè)觀系數(shù)法。這種方法要求決策者首先提出一個(gè)系數(shù)（用表示，0≤≤1）來(lái)表示其樂(lè)觀程度。決策者越樂(lè)觀，值越接近于1；越悲觀，值越接近于0。因此，這種方法叫樂(lè)觀系數(shù)法。這種方法盡管避免了兩種極端情況，但也沒(méi)有利用全部可用信息，而且，樂(lè)觀系數(shù)的恰當(dāng)確定也是一個(gè)難點(diǎn)。(三)、折衷準(zhǔn)則(樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則)加權(quán)系數(shù)α(0α1)max{α(maxVij)+(1-α)(minVij)}α=0.6ijj14第十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日選A1

S1S2S3Vi1=maxVi2=min加權(quán)平均

A1201-620-69.6A2980905.4A3654645.2max=9.6i15第十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日max{Vij}1nnj=1i(四)、等可能準(zhǔn)則在缺乏準(zhǔn)確信息的情況下，各行動(dòng)狀態(tài)是未知的。因此，有理由認(rèn)為每一狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相同的。16第十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日選A2S1S2S3Vi=Vij

A1201-65A29805A36545max=523231317第十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日(五)、后悔值準(zhǔn)則(最小機(jī)會(huì)損失)

min{max{max{Vij}-Vij}}

該原則與悲觀原則相似，也帶有保守性質(zhì)，反映了決策者的悲觀情緒。但后悔值原則與悲觀原則又有所不同，其一是它從損失的角度考慮問(wèn)題，其二它又不是過(guò)分保守。ijj18第十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日選A1

S1S2S3S1S2S3maxA1201-6071010A2980110411A3654143014min=1019第十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日20第二十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日例：產(chǎn)品，成本30元/件，批發(fā)價(jià)35元/件，當(dāng)月售不完－1元/件。每批10件，最大生產(chǎn)力40件/月(批量生產(chǎn)與銷售)，應(yīng)如何決策？010203040Vi=Vij

000000010-1050505050190/520-2040100100100320/530-303090150150390/540-402080140200400/515SiAi21第二十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)：風(fēng)險(xiǎn)決策(一)、期望值準(zhǔn)則(1)、矩陣法例1S1S2S30.30.50.2A1201-65.3A29806.7A36545.1SiPjAjPjVij選A222第二十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日例2S1S2P(S1)=0.70.3A1500-200290A2-1501000195PjVij分析當(dāng)α＝P(S1)為何值時(shí)，方案會(huì)從A1→A223第二十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)P(S1)=0.8P(S2)=0.2時(shí)，E(A1)=0.8×500+(-200)×0.2=360E(A2)=0.8×(-150)+0.2×(1000)=80,仍A1P(S1)=0.6P(S2)=0.4時(shí)E(A1)=220E(A2)=310,選A224第二十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日一般：E(A1)=α×500+(1-α)(-200)=700α-200E(A2)=α×(-150)+(1-α)(1000)=-1150α+1000令E1=E2得α=0.65稱α=0.65為轉(zhuǎn)折概率α>0.65選A1α<0.65選A225第二十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日(2)、決策樹(shù)法方案分枝概率分枝決策點(diǎn)

標(biāo)決策期望效益值方案點(diǎn)

標(biāo)本方案期望效益值

結(jié)果點(diǎn)

標(biāo)每個(gè)方案在相應(yīng)狀態(tài)下面的效益值概率分枝標(biāo)自然狀態(tài)的概率26第二十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日例1S1S20.40.6A1100-20

A27510A35030電視機(jī)廠試生產(chǎn)三種電視機(jī)Ai(i=1,2,3)。市場(chǎng)大、小Sj(j=1,2)。生產(chǎn)哪種？27第二十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日解：100-207510503012340.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.428第二十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日解：100-20751050303812823633840.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4多級(jí)決策問(wèn)題29第二十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日例2、化工原料廠，由于某項(xiàng)工藝不好，影響效益，現(xiàn)廠方欲改革工藝，可自行研究(成功可能為0.6)，買(mǎi)專利(成功可能為0.8)。若成功，則有2種生產(chǎn)方案可選，1是產(chǎn)量不變，2是增產(chǎn)；若失敗，則按原方案生產(chǎn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下。試求最優(yōu)方案。30第三十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日按原工藝方案生產(chǎn)價(jià)低0.1-100-200-300-200-300中0.5050500-250價(jià)高0.4100150250200600買(mǎi)專利(0.8)自研(0.6)產(chǎn)量不變?cè)霎a(chǎn)產(chǎn)量不變?cè)霎a(chǎn)(萬(wàn)元)31第三十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日解：0.132第三十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日解：0.133第三十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日最優(yōu)決策

買(mǎi)入專利，成功則增產(chǎn)，失敗則保持原產(chǎn)量。34第三十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日(3)、貝葉斯法(后驗(yàn)概率法)(Bayes法)處理風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題時(shí)，需要知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率：P(1)，P(2)，…，P(n)，這些概率稱為先驗(yàn)概率。風(fēng)險(xiǎn)是由于信息不充分造成的，決策過(guò)程還可以不斷收集信息，如果收集到進(jìn)一步信息S，對(duì)原有各種狀態(tài)出現(xiàn)概率估計(jì)可能會(huì)有變化，變化后的概率為P(jS)，此條件概率表示在追加信息S后對(duì)原概率的一個(gè)修正，所以稱為后驗(yàn)概率。Bayes法就是一種后驗(yàn)概率方法。35第三十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日P(jSi)通過(guò)概率論中Bayes公式計(jì)算得出Bayes公式：

P(j)P(Sij)P(jSi)＝P(Si)其中

p(Si):預(yù)報(bào)為Si的概率，P(Si/j):狀態(tài)j被調(diào)查預(yù)報(bào)為Si的概率36第三十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日例1某鉆井大隊(duì)在某地進(jìn)行石油勘探，主觀估計(jì)該地區(qū)為有油(1)地區(qū)的概率為

P(1)＝0.5,沒(méi)油(2)的概率為

P(2)＝0.5，為提高勘探效果，先做地震試驗(yàn)，根據(jù)積累資料得知：37第三十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日有油地區(qū)，做試驗(yàn)結(jié)果好(F)的概率P(F1)＝0.9有油地區(qū)，做試驗(yàn)結(jié)果不好(U)的概率P(U1)＝0.1無(wú)油地區(qū)，做試驗(yàn)結(jié)果好(F)的概率P(F2)＝0.2無(wú)油地區(qū)，做試驗(yàn)結(jié)果不好(U)的概率P(U2)＝0.8求：在該地區(qū)做試驗(yàn)后，有油和無(wú)油的概率各為多少？38第三十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日解：做地震試驗(yàn)結(jié)果好的概率P(F)＝P(1)P(F1)＋P(2)P(F2)＝0.5×0.9+0.5×0.2=0.55做地震試驗(yàn)結(jié)果不好的概率P(U)＝P(1)P(U1)＋P(2)P(U2)＝0.5×0.8+0.5×0.1=0.4539第三十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日用Bayes公式求解各事件的后驗(yàn)概率：做地震試驗(yàn)結(jié)果好的條件下有油的概率

P(1)P(F1)0.459P(1F

)＝==P(F

)0.5511做地震試驗(yàn)結(jié)果好的條件下無(wú)油的概率

P(2)P(F2)0.102P(2F

)＝==P(F

)0.551140第四十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日用Bayes公式求解各事件的后驗(yàn)概率：做地震試驗(yàn)結(jié)果不好的條件下有油的概率

P(1)P(U1)0.051P(1U)＝==P(U

)0.459做地震試驗(yàn)結(jié)果不好的條件下無(wú)油的概率

P(2)P(U2)0.408P(2U

)＝==P(U)0.45941第四十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日例2某公司有資金500萬(wàn)元，如用于某項(xiàng)開(kāi)發(fā)事業(yè)，估計(jì)成功率為96%，一年可獲利潤(rùn)12％；若失敗則喪失全部資金；若把資金全存在銀行，可獲得年利率6%，為輔助決策可求助于咨詢公司，費(fèi)用為5萬(wàn)元，根據(jù)咨詢過(guò)去公司類似200例咨詢工作，有下表：42第四十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)施結(jié)果投資投資合計(jì)咨詢意見(jiàn)成功失敗可以投資1542156次不宜投資38644次合計(jì)1928200次試用決策樹(shù)方法分析該公司是否應(yīng)該咨詢？資金該如何使用？43第四十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日T1：咨詢公司意見(jiàn)：可以投資T2：咨詢公司意見(jiàn)：不宜投資E1：投資成功E2：投資失敗44第四十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日156P(T1)=×100%=0.7820044P(T2)=×100%=0.22200P(E1)=0.96P(E2)=0.0445第四十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日154P(E1/

T1)==0.9871562P(E2/

T1)==0.01315638P(E1/

T2)==0.865446P(E2/

T2)==0.1354446第四十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日P(T1)P(T2)42.72投資投資存銀行存銀行47.7247第四十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日答：求助于咨詢公司如果投資公司給出可以投資意見(jiàn)則投資如果投資公司給出不宜投資意見(jiàn)則存入銀行48第四十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日由于地位、經(jīng)驗(yàn)和性格的不同，決策者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)所取的態(tài)度往往存在著很大的差異。例1：設(shè)有兩個(gè)決策問(wèn)題問(wèn)題一：方案A1：穩(wěn)獲100元；方案B1：獲250元和0元的概率各為41%和59%。問(wèn)題二：方案A2：穩(wěn)獲10000元；方案B2：擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止，若此時(shí)所擲次數(shù)為N，則可獲2N元.直觀上看，多數(shù)人會(huì)選A1和A2。（二）效用值決策準(zhǔn)則49第四十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日但計(jì)算期望收益得：E(B1)=0.41×250+0.59×0=102.5>100=E(A1)E(B2)=(1/2)×2+(1/22)×22+(1/23)×23+…=1+1+…=∞>10000=E(A2)因此根據(jù)期望收益最大的原則，應(yīng)該選擇方案B1和B2。這會(huì)令實(shí)際的決策者難以接受。例1說(shuō)明，完全根據(jù)期望收益作為評(píng)價(jià)方案的準(zhǔn)則有時(shí)是不合理的。例2、有甲、乙二人，甲提出請(qǐng)乙擲硬幣，并約定：若出正面，乙獲利40元；若出反面，乙向甲支付10元?，F(xiàn)在，乙有兩個(gè)選擇，接受甲的建議(方案A)或者不接受甲的建議(記為B)，計(jì)算可得乙的期望收益為：E(B)=0；E(A)=0.5×40-0.5×10=1550第五十頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)期望最大化原則，乙應(yīng)該接受甲的建議。如果設(shè)乙是個(gè)窮人，手中僅有的10元錢(qián)是他一家三天的口糧錢(qián)。這時(shí)，乙對(duì)甲的建議的態(tài)度會(huì)發(fā)生變化，很可能寧愿用這10元錢(qián)來(lái)買(mǎi)全家三天的口糧，不致挨餓，而不去冒投機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)。這個(gè)例子說(shuō)明即使對(duì)同一個(gè)決策者來(lái)說(shuō)，當(dāng)其所處的地位、環(huán)境不同時(shí)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度一般也是不同的。上述例子說(shuō)明：現(xiàn)實(shí)中，決策方案的確定不僅僅依據(jù)期望收益最大原則，常要考慮到問(wèn)題發(fā)生的環(huán)境、時(shí)期及決策者對(duì)問(wèn)題的認(rèn)知等方面因素。為此經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出了效用的概念，并在此基礎(chǔ)上建立了效用理論。51第五十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日一般來(lái)說(shuō)，效用是一個(gè)屬于主觀范疇的概念，是衡量決策方案的總體指標(biāo)，反映決策者對(duì)決策問(wèn)題各因素的總體看法.(1)同一貨幣量，在不同風(fēng)險(xiǎn)情況下，對(duì)同一決策者來(lái)說(shuō)具有不同的效用值；(2)在同等風(fēng)險(xiǎn)程度下，不同決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度不同，即相同的貨幣量在不同人看來(lái)具有不同的效用。

效用值是一個(gè)相對(duì)的指標(biāo)，它的大小表示決策者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，對(duì)某事物的傾向和偏差等主觀因素的強(qiáng)弱程度。52第五十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日為此，在對(duì)某個(gè)問(wèn)題提供決策的咨詢意見(jiàn)時(shí)，我們可以通過(guò)與決策者進(jìn)行對(duì)話，來(lái)建立相應(yīng)的效用函數(shù)。此效用函數(shù)應(yīng)能在一定的程度上反映決策者在決策問(wèn)題上的決策偏向和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。于是，利用這種效用函數(shù)作決策，依據(jù)的原則就稱為效用值準(zhǔn)則。在一個(gè)決策問(wèn)題中，通常情況下，我們將可能得到的最大收益值b的效用值取為1；而把可能得到的最小收益值a的效用值取為0。用效用值進(jìn)行決策：首先把要考慮的因素折合成效用值，然后在決策準(zhǔn)則下選出效用值最大的方案，作為最優(yōu)方案。53第五十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日

如何通過(guò)與決策者對(duì)話建立相應(yīng)的效用函數(shù)呢？對(duì)于一個(gè)決策問(wèn)題，如果最小收益值為a，最大收益值為b，我們以收益x為自變量，[a,b]上的效用函數(shù)設(shè)為U（x），并有U(a)=0,U(b)=1。對(duì)于x∈[a,b],U（x）稱為x的效用值，U（x）∈[0,1]。效用函數(shù)曲線用效用量化決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度對(duì)每個(gè)決策者，都可以確定反映他對(duì)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的效用曲線，主要用對(duì)比提問(wèn)法確定效用曲線。54第五十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)比提問(wèn)法：設(shè)計(jì)兩種方案A1，A2A1：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)可得一筆金額X2A2：以概率P得一筆金額X3，以概率(1-P)損失一筆金額X1X1<X2<X3，u(xi)表示金額xi的效用值。55第五十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日在某種條件下，決策者認(rèn)為A1，A2兩方案等效。P·U(x1)+(1-P)U(x3)=U(x2)(

)P,x1,

x2,

x3為4個(gè)未知數(shù)。已知其中3個(gè)可定第4個(gè)。56第五十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日提問(wèn)的方式大體有3種：1)每次固定x1,x2,x3的值，改變P，并向決策者提問(wèn)：“P取何值時(shí)，您認(rèn)為A1和A2等價(jià)？”2)每次固定P，x2,x3的值，改變x1

，并向決策者提問(wèn)：“x1取何值時(shí)，您認(rèn)為A1和A2等價(jià)？”3)每次固定P，x1,x2的值，改變x3

，并向決策者提問(wèn)：“x3取何值時(shí)，您認(rèn)為A1和A2等價(jià)？57第五十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日一般用改進(jìn)的V－M法，即固定P=0.5,每次給出x1,

x3，通過(guò)提問(wèn)定x2，用(*)求出U(x2)5點(diǎn)法，定5個(gè)點(diǎn)作圖58第五十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，2022年，8月28日例1、在某次交易中，決策者認(rèn)為：可承擔(dān)的最大損失是-1000萬(wàn)元可獲得的最大收益是2000萬(wàn)元U(2000)=1U(-1000)=0提問(wèn)(1)A1:無(wú)風(fēng)險(xiǎn)得？你覺(jué)得A1，A2等效？A2:以0.5可能得2000萬(wàn)，0.5可能損失1000萬(wàn)?；卮?200萬(wàn)，0.5U(2000)+0.5U(-1000)=U(1200)則U(1200)=0.559